>数学>微分方程式  2014/5 Yuji.W

☆変分☆

〕極値や停留値を求める1つの便利な方法

☆変分☆

「変分」

◆ 関数 f(x)

■ x=X で f(X);x=0 ⇔ 微少量 h に対して f(X+h)=f(X) 

▲ 次のようなときに使うと便利{!}

@ f(x) の微分が面倒
A 微少量 h に対して f(X+h) が簡単な形になる

★ f(x)=x^3-3*x f(x);x=3*x^2-3=3*(x-1)*(x+1)

x=1,-1 で、極値or停留値をとる。

以上の事を変分の考え方で行う。

x=X で f(X);x=0 とし、微少量 h を考えて、

 (X+h)^3-3*(X+h)=X^3-3*X

 X^3+3*X^2*h-3*X-3*h=X^3-3*X  h^2,h^3 を 0 とみなしている

 h*(X^2-1)=0

任意の微少量 h に対して成り立つから X^2-1=0 X=1,-1

★ f(x)=sin(x)=Sx Sx;x=Cx x=Pi/2 などで極値or停留値をとる。

以上の事を変分の考え方で行う。

x=X で f(X);x=0 とし、微少量 h を考えて、

 sin(X+h)=sin(X)

 sin(X)*cos(h)+cos(X)*sin(h)=sin(X)

 cos(X)*h=0  cos(h)=1,sin(h)=h

任意の微少量 h に対して成り立つから cos(X)=0 X=Pi/2 など

★ f(x)=exp(x)+exp(-x) f(x);x=exp(x)-exp(-x)

x=0 で、極値or停留値をとる。

以上の事を変分の考え方で行う。

x=X で f(X);x=0 とし、微少量 h を考えて、

 exp(X+h)+exp(-X-h)=exp(X)+exp(-X)

 exp(X)*[exp(h)-1]+exp(-X)*[exp(-h)-1]=0

 exp(X)*h-exp(-X)*h=0

 [exp(X)-exp(-X)]*h=0

任意の微少量 h に対して成り立つから exp(X)-exp(-X)=0 X=0

変分

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