数学 微分方程式

2015/11-2014/5 Yuji.W

連立同次線型微分方程式

◎ x''=-2*x+y & y''=x-2*y

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

☆行列を使って、対角化して☆

『固有値,固有ベクトル-2行2列行列』 2015/11

◆ 2行2列正方行列 [A]=[a b|c d] Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c

■ [A]の固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 その解(固有値) h1,h2 h1+h2=Tr[A]

[A]の固有ベクトルの例 <b h1-a) , <b h2-a) 定数倍してよい

固有ベクトル <x1 y2) , <x2 y2) [P]=[<x1 y2) & <x2 y2)]=[x1 x2|y1 y2]

 [Pi]*[A]*[P]=[D(h1,h2)]

◆ x''=-2*x+y & y''=x-2*y

[A]=[-2 1|1 -2] <x y)''=[A]*<x y) det[A]=3 Tr[A]=-4

[A] の固有値 

固有方程式 h^2+4*h+3=0 h=-1,-3 固有ベクトル <1 1) , <1 -1)

 [P]=[<1 1) & <1 -1)]=[1 1|1 -1] det[P]=-2 [Pi]=[-1 -1|-1 1]/(-2)=[1 1|1 -1]/2

 [Pi]*[A]*[P]=[D(-1,-3)]

[Pi]*<x y)=<X Y) すなわち X=(x+y)/2 Y=(x-y)/2 と置けば、

 <X Y)''=[D(-1,-3)]*<X Y)=-<X 3*Y)

 X''=-X & Y''=-3*Y

 <x y)=[P]*<X Y)=<X+Y X-Y)


◆ x''=-x+y/2 & y''=x-y

[A]=[-1 1/2|1 -1] <x y)''=[A]*<x y) det[A]=1/2 Tr[A]=-2

[A] の固有値 

固有方程式 h^2+2*h+1/2=0 h=-1±root2/2

固有ベクトル <1/2 root2/2) , <1/2 -root2/2)

定数倍してもいいから <1 root2) , <1 -root2)

 [P]=[<1 root2) & <1 -root2)]=[1 1|root2 -root2] det[P]=-2*root2

 [Pi]=[-root2 root2|1 1]/(-2*root2)=[2 -2|-root2 -root2]/4

 [Pi]*[A]*[P]=[D(-1+root2/2,-1-root2/2)]

[Pi]*<x y)=<X Y) すなわち X=(x-y)/2 Y=-(x+y)*root2/4 と置けば、

 <X Y)''=[D(-1+root2/2,-1-root2/2)]*<X Y)

 X''=(-1+root2/2)*X & Y''=-(1+root2/2)*Y

 <x y)=[P]*<X Y)=<X+root2*Y X-root2*Y)

◆ x''=-x+y/2 & y''=x-y

■ X=(x-y)/2 Y=-(x+y)*root2/4 と置いて、

 X''=-(1-root2/2)*X & Y''=-(1+root2/2)*Y

 x=X+root2*Y & y=X-root2*Y

☆変数変換して☆

◎ 定数 h 変数 z x+h*y=z と変数変換する {こんなんで解けるんだ!2015/11}

◆ x''=-2*x+y & y''=x-2*y

■ h=定数 x+h*y=z〔〕と置く

x" , x を消去すると z"-h*y"=-2*z+(2*h+1)*y & y''=z-(h+2)*y

y" を消去すると z"=(h-2)*z+(1-h^2)*y

h^2=1 のとき z"=(h-2)*z とすることができ、簡単に解ける〔

h=1 とすれば x+y=z1 z1"=-z1 z1=z10*cos(t+α)
h=-1 とすれば x-y=z2 z2"=-3*z2 z=z20*cos(root3*t+β)
z10 , α , z20 , β は定数

解 x=(z1+z2)/2 y=(z1-z2)/2


◆ x''=-x+y/2 & y''=x-y

■ 定数 h 変数 z x+h*y=z と変数変換する。

x を消去すると、 

 z''-h*y''=-(z-h*y)+y/2=-z+(h+1/2)*y & y''=(z-h*y)-y=z-(h+1)*y

y'' を消去すると、 

 z''=[-z+(h+1/2)*y]+h*[z-(h+1)*y]=(h-1)*z-(h^2-1/2)*y

ここで h^2-1/2=0 とすると z''=(h-1)*z . とできる

 h=±roo2/2

h=roo2/2 のとき z1''=-(1-root2/2)*z1

h=-roo2/2 のとき z2''=-(1+root2/2)*z2

1-root2/2~1-0.707=0.293≡w1^2 1+root2/2~1+0.707=1.707≡w2^2

 x+(root2/2)*y=z1 z1''=-w1^2*z1 z1=z10*cos(w1*t+α)

& x-(root2/2)*y=z2 z2''=-w2^2*z2 z2=z20*cos(w2*t+β)

 x=(z1+z2)/2=[z10*cos(w1*t+α)+z20*cos(w2*t+β)]/2

& y=(z1-z2)/root2=[z10*cos(w1*t+α)-z20*cos(w2*t+β)]/root2 .

  連立同次線型微分方程式  

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