数学 微分方程式

2015/9-2013/1 Yuji.W

微分方程式.変数分離

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

◇変数分離-基本◇

◎ 物理で、よく出てくる形。 ◇ xで微分 ; 積分定数 C

◆ y;=k*y .

y;/y=k (変化の割合)/(そのときのyの値)=一定 物理量にはよくある{!}

微分すると、自分自身の定数倍になる関数だから、指数関数になる。

■ y;=k*y

 y;/y=k

両辺を x で積分すると、

 左辺=${(1/y)*(dy/dx)*dx}=${(1/y)*dy}=ln(y)

 右辺=k*x+C1 だから、

 ln(y)=k*x+C1

 y=exp(k*x+C1)

 y=exp(C1)*exp(k*x)

x=0 のとき y=y0 とすれば y=y0*exp(k*x) .

★ y;=-y y;/y=-1 y=y0*exp(-x)

▲ ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1

★ y;=-k*y y;/y=-k y=y0*exp(-k*x) .

▲ k>0 のとき ${exp(-k*x)*dx}[x:0~∞]=1/k

「微分方程式-変数分離形-基本」◇ xで微分 ; 積分定数 C

■ y;=k*y y;/y=k y=y0*exp(k*x) ※ x=0 のとき y=y0

● ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1

k>0 のとき ${exp(-k*x)*dx}[x:0~∞]=1/k

☆x'=x^2-1☆

◇ 時間微分 ' 定まる前の積分定数 C

★ x'=x^2-1

 x'/[(x+1)*(x-1)]=1 変数分離できた

 1/[(x+1)*(x-1)]=(1/2)*[1/(x-1)-1/(x+1)] だから、

 x'/(x-1)-x'/(x+1)=2

積分して ln(x-1)-ln(x+1)=2*t+C

 ln[(x-1)/(x+1)]=2*t+C

 (x-1)/(x+1)=C*exp(2*t)

 x-1=C*exp(2*t)*(x+1)

 x*[1-C*exp(2*t)]=1+C*exp(2*t)

 x=[1+C*exp(2*t)]/[1-C*exp(2*t)]

★ x'=1-x^2

 x'/[(x+1)*(x-1)]=-1 変数分離できた

 1/[(x+1)*(x-1)]=(1/2)*[1/(x-1)-1/(x+1)] だから、

 x'/(x-1)-x'/(x+1)=-2

積分して ln(x-1)-ln(x+1)=-2*t+C

 ln[(x-1)/(x+1)]=-2*t+C

 (x-1)/(x+1)=C*exp(-2*t)

 x-1=C*exp(-2*t)*(x+1)

 x*[1-C*exp(-2*t)]=1+C*exp(-2*t)

 x=[1+C*exp(-2*t)]/[1-C*exp(-2*t)]

★ x'=k*(x^2-a^2) 〔k:定数 a:正の定数〕

 x'/[(x+a)*(x-a)]=k

 x'/(x-a)-x'/(x+a)=2*k*a

 ln[(x-a)/(x+a)]=2*k*a*t+C

 (x-a)/(x+a)=C*exp(2*k*a*t)

 x-a=C*exp(2*k*a*t)*(x+a)

 x=a*[1+C*exp(2*k*a*t)]/[1-C*exp(2*k*a*t)]

● 微分方程式 x'=k*(x^2-a^2) 〔k:定数 a:正の定数〕

 (x-a)/(x+a)=C*exp(2*k*a*t) x=a*[1+C*exp(2*k*a*t)]/[1-C*exp(2*k*a*t)]

◇変数分離◇

■ y;=f(x)*g(y) と表せるとき、

 dy/g(y)=f(x)*dx

 ln[g(y)]=${f(x)*dx}+C

 g(y)=C*exp[${f(x)*dx}]

● ${[1/(x^2+a^2)]*dx}=(1/a)*arctan(x/a)+C

★ x*y;+2*y=0

 y;/y=-2/x Ly=-2*Lx+C y=C/x^2

★ y;=2*x*y y;/y=2*x Ly=x^2+C y=C*exp(x^2)

★ y^2*dx-x^3*dy=0

 y;/y^2=1/x^3 -1/y=-1/(2*x^2)+C

 1/x^2-2/y=C

★ x*dx-(x^2+1)*dy=0

 y;=x/(x^2+1) y=(1/2)*ln(x^2+1)+C

★ y;=2*x*(y^2+1)

 y;/(y^2+1)=2*x arctan(y)=x^2+C y=tan(x^2+C)

★ y;=k*y

 y;/y=k ln(y)=k*x y=C*exp(k*x)

★ y;=k*y*(p-y)

 y;/[y*(p-y)]=k [1/y+1/(p-y)]*y;=p*k ln(y)-ln(p-y)=p*k*x+C

 y/(p-y)=C*exp(p*k*x) [1+C*exp(p*k*x)]*y=C*p*exp(p*k*x)

 y=C*p*exp(p*k*x)/[1+C*exp(p*k*x)]

★ (x*y^2+y^2)*dx+(x^2+x^2*y)*dy=0

 (1/y+1/y^2)*dy=-(1/x+1/x^2)*dx .

 ln(y)-1/y=-ln(x)+1/x+C

 ln(x*y)=1/x+1/y+C

 x*y=C*exp(1/x+1/y)

★ Cx*Cy^2*dx+Sx^2*Sy*dy=0

 (Sy/Cy^2)*y;=-Cx/Sx^2

 ${(Sy/Cy^2)*dy}=-${(1/Cy^2)*d(Cy)}=+1/Cy

 ${(Cx/Sx^2)*dx}=${(1/Sx^2)*d(Sx)}=-1/Sx

 1/Cy=1/Sx+C

◇変数分離2◇

◆ 左辺に y; 、右辺に y+(x の関数) があるとき、y+(x の関数)=u(x) と置いて、変数分離に持ち込む。

★ y;=1/(y+x)-1 y+x=u と置くと y;+1=u;

 u;-1=1/u-1 u;=1/u u*u;=1

 (1/2)*u^2=x+C u=±root(2*x+C) y=-x±root(2*x+C)

★ y;=(y+x+1)/(y+x) y(x)+x+1/2=u(x) と置くと、

 y;+1=u;

 u;-1=(u+1/2)/(u-1/2) u;=2*u/(u-1/2) [(u-1/2)/u]*du=2*dx

 [1-(1/2)/u]*du=2*dx u-(1/2)*ln|u|=2*x+C

 y+x+1/2-(1/2)*ln|y+x+1/2|=2*x+C

 2*(y-x)+C=ln|y+x+1/2|

 y+x+1/2=C*exp(y-x)

■ y=-x+C のとき、y;=1+1/C だから、直線 y=-x+C 上で、傾きが一定

特に、直線 y=-x-1/2 上で、y;=-1 となって、直線の傾きと、グラフの傾きが等しくなるから、グラフはそこに集まるような感じになる。

 y+x>>1 or y+x<<-1 で、y;=1 {これの情報だけでもグラフの形がわかる!}

★ y;=(y+2*x)^(-2)-2 y+2*x=u と置くと、

 u;-2=u^(-2)-2 u^2*u;=1 (1/3)*u^3=x+C u=[3*(x+C)]^(1/3)

 u=(3*x+C)^(1/3) y=(3*x+C)^(1/3)-2*x

{確かめ} 左辺=y;=(1/3)*3/(3*x+C)^(2/3)-2=1/(3*x+C)^(2/3)-2
 右辺=(3*x+C)^(1/3)^(-2)-2=1/(3*x+C)^(2/3)-2

★ y;=exp(y-x)+1 y-x=u と置くと、y;-1=u; u;=exp(u)

 exp(-u)*u;=1 -exp(-u)=x+C exp(-u)=-x+C >0

 u=-ln(-x+C) y=x-ln(-x+C) -x+C>0

{確かめ} 左辺=y;=1+1/(-x+C) {符号に注意!苦労した2013/1}

 右辺=exp[-ln(-x+C)]+1=1/exp[ln(-x+C)]+1=1+1/(-x+C)

{注}ln(k*y);y=1/y ln(-y);y=-1/(-y)=1/y

{確かめをすることで、対数関数、微分について、勉強になった!}

★ y;=1/sin(y+2*x)-2 

y+2*x=u と置くと、y;+2=u; u;=1/Su Su*u;=1 -Cu=x+C

u=arccos(-x+C) y=arccos(-x+C)-2*x

微分方程式.変数分離  

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