数学 微分方程式 2021.8-2013.1 Yuji.W
☆ 微分方程式.変数分離 ☆
〇 y*(y;x)=1 (y;x)/y=1 (y;x)/(y^2-1)=1 ★
●
2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3|
000
py-
0table-202012
微分 : 偏微分
; 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル
<A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #
2021.8
〓 微分方程式.変数分離 〓
◎ 変数 x x の関数 y y の関数 z ${z*(y;x)*dx}=${z*dy}
〇 微分方程式 g(y)*(y;x)=f(x)
● ${g(y)*dy}=${f(x)*dx}
〓 {計算例1}微分方程式.変数分離 〓
〇 微分方程式 y*(y;x)=1
● 両辺を x で積分する。
(左辺)=${y*(y;x)*dx}=${y*dy}=(1/2)*y^2
(右辺)=${1*dx}=x
⇒ (1/2)*y^2=x+C
y=root(2*x+C) ※ 積分定数 C は定数倍しても変わらない
{確かめ} y;x=(1/2)*2/root(2*x+C)=1/root(2*x+C)=1/y
〇 y>0 微分方程式 (y;x)/y=1
● 両辺を x で積分する。
(左辺)=${(y;x)*dx/y}=${dy/y}=ln(y)
(右辺)=${1*dx}=x
積分定数 C ln(y)=x+C
指数をとって、
y=exp(x+C)=exp(C)*exp(x)
面倒だから exp(C)=C と書いて、
y=C*exp(x) ★
〓 {計算例2}微分方程式.変数分離 〓
〇 y>1 (y;x)/(y^2-1)=1
● 1/(y^2-1)=1/[(y-1)*(y+1)]=(1/2)*[1/(y-1)-1/(y+1)] だから、
[1/(y-1)-1/(y+1)]*(y;x)=2
両辺を x で積分すると、
(左辺)=ln(y-1)-ln(y+1)=ln[(y-1)/(y+1)] (右辺)=2*x
ln[(y-1)/(y+1)]=2*x
(y-1)/(y+1)=C*exp(2*x)
y-1=C*exp(2*x)*(y+1)
[1-C*exp(2*x)]*y=C*exp(2*x)+1
y=[1+C*exp(2*x)]/[1-C*exp(2*x)] ★
〇 (y;x)/y^2=1/x^3
● ${dy/y^2}={dx/x^3}
-1/y=-1/(2*x^2)+C
〇 (y;x)/(y^2+1)=2*x
● ${dy/(y^2+1)}=2*${x*dx}
arctan(y)=x^2+C
y=tan(x^2+C)
〓 {計算例3}微分方程式.変数分離 〓
◎ y+(x の関数) があるとき y+(x の関数)=u(x) と置いて、変数分離に持ち込める場合がある。
〇 y;x=1/(y+x)-1
● y+x=u と置くと y;x+1=u;x
与式は u;x-1=1/u-1
u*(u;x)=1 後は解ける
〇 y;x=(y+x+1)/(y+x)
● y+x+1/2=u と置くと y;x+1=u;x
与式は u;x-1=(u+1/2)/(u-1/2)
u;x=(u+1/2)/(u-1/2)+1=2*u/(u-1/2)
(u;x)*(u-1/2)/u=2
(u;x)*(2-1/u)=4
2*u-ln|u|=4*x+C
2*(y+x+1/2)-ln|y+x+1/2|=4*x+C
2*(y-x)-ln|y+x+1/2|=C