お勉強しようUz〕 数学 微分

2016/12-2013/1 Yuji.W

2階微分の意味

◎ 2階微分;;x 平均値とのずれ ラプラシアン

◇ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

☆2階微分☆

■ 1階微分=変化の割合 2階微分=変化の割合の変化の割合 .

 f(x);;x>0 のとき 変化の割合の変化の割合>0 下に凸のグラフ .

 f(x);;x<0 のとき 変化の割合の変化の割合<0 上に凸のグラフ .

★ f(x)=x^2 f;x=2*x=変化の割合 f;;x=2

x

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

4

1

0

1

4

9

f;x

-4

-2

0

2

4

6

f;;x

2

2

2

2

2

2

 f;x の変化の割合=2 f;;x=2=(f;x)の変化の割合 下に凸なグラフ

★ f(x)=x^3 f;x=3*x^2=変化の割合 f;;x=6*x

x

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

-8

-1

0

1

8

27

f;x

12

3

0

3

12

27

f;;x

-12

-6

0

6

12

18

 f;x の変化の割合=3*x^2 f;;x=6*x=(f;x)の変化の割合

x>0 で 下に凸なグラフ x<0 で 上に凸なグラフ

{復習}展開

『展開』 ◇ [関数 f(x) を x で微分し、x=0 を代入したもの]=f(0);x

■ マクローリン展開

 f(x)=f(0)+[f(0);x]*x+[f(0);;x]*x^2/2+[f(0);;;x]*x^3/6+…

 第n項=[f(x)のn階微分に x=0]*x^n/n!

■ テイラー展開

 f(x)=f(a)+[f(a);x]*(x-a)+[f(a);;x]*(x-a)^2/2+…

 第n項=[f(x)のn階微分に x=a]*(x-a)^n/n!

☆2階微分の意味☆

■ 微少量 h に対して、

 f(x+h)=f(x)+[f(x);x]*h+(1/2)*[f(x);;x]*h^2+(1/6)*[f(x);;;x]*h^3+…

 f(x-h)=f(x)-[f(x);x]*h+(1/2)*[f(x);;x]*h^2-(1/6)*[f(x);;;x]*h^3+…

 平均=[f(x+h)+f(x-h)]/2

 (平均)-f(x)=(f;;x)*h^2/2 .

★ f(x)=x^2 x=3 h=0.1

 f(3)=9 f(3.1)=9.61 f(2.9)=8.41 平均=(9.61+8.41)/2=9.01

 平均-f(3)=9.01-9=0.01 @

一方 f(x);x=2*x f(x);;x=2 f(3);;x=2 h^2=0.01

 (2階微分)*h^2/2=2*0.01/2=0.01 A

 @=A

☆2階微分の意味.2変数.3変数☆

■ 2変数 f(x,y) 微少量 h

 f(x+h,y)=f(x,y)+(f;x)*h+(f;;x)*h^2/2+…

 f(x-h,y)=f(x,y)-(f;x)*h+(f;;x)*h^2/2-…

 f(x,y+h)=f(x,y)+(f;y)*h+(f;;y)*h^2/2+…

 f(x,y+h)=f(x,y)-(f;y)*h+(f;;y)*h^2/2-…

 平均=[f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)]/4

 (平均)-f(x)=(f;;x+f;;y)*h^2/4 .

■ 3変数 f(x,y,z) 微少量 h

 平均=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

 (平均)-f(x,y,z)=(f;;x+f;;y+f;;z)*h^2/6 .

{まとめ}2階微分の意味

『2階微分の意味』 2016/12-2015/9 微少量 h

■ 1変数 f(x) 平均=[f(x+h)+f(x-h)]/2 (平均)-f(x)=(f;;x)*h^2/2

■ 2変数 f(x,y) 平均=[f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)]/4

 (平均)-f(x)=(f;;x+f;;y)*h^2/4

■ 3変数 f(x,y,z) ラプラシアン △f(x,y,z)=f;;x+f;;y+f;;z

 平均=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

 (平均)-f(x,y,z)=△f*h^2/6 △f=-[f(x,y,z)-(平均)]*6/h^2

★ f(x)=sin(x) f;;x=-sin(x)

 Avg[sin(x),h]=[sin(x+h)+sin(x-h)]/2

ここで sin(x+h)=sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)=sin(x)*(1-h^2/2)+cos(x)*h

 sin(x-h)=sin(x)*(1-h^2/2)-cos(x)*h だから、

 Avg[sin(x),h]=sin(x)-sin(x)*h^2/2

 D[sin(x),h]=-sin(x)*h^2/2

 sin(x);;x=2*D[sin(x),h]/h^2

★ f(x)=exp(x) f;;x=exp(x)

 exp(x+h)=exp(x)*exp(h)=exp(x)*(1+h+h^2/2)

 exp(x-h)=exp(x)*(1-h+h^2/2)

 Avg[exp(x),h]=exp(x)*(1+h^2/2)

 D[exp(x),h]=exp(x)*h^2/2

 exp(x);;x=2*D[sin(x),h]/h^2

{簡単な例を計算すると、いろいろな事がみえてくる!2014/2}

◇ラプラシアンの意味◇

■ 波動方程式 u''=v^2*△u

 左辺=変位の2階時間微分 ∝ 加速度 ∝ 力
 右辺 ∝ △u ∝ 周囲の変位の平均値が、その位置の変位よりだれだけ大きいか

したがって、

@ 力の方向=変位を小さくしようとする方向 なるべく平均化しようとする

A 周囲の変位の平均値が、その位置の変位より大きいほど、その力は大きくなる

B v^2 が大きいほど、変位を小さくしようとする力が大きくなる。変化が早くなる。

お勉強しようUz〕 数学 微分 2階微分の意味

inserted by FC2 system