☆ 円柱座標.距離の微分 ☆

☆ お勉強しよう　数学　2022.5-2011.10　Yuji.W

〇 h=root(x^2+y^2)　grad  div  curl  △

【数学】2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　000　py-　0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　

ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　★　

〓　円柱座標.距離の微分　〓　

▢ デカルト座標(x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)　h=root(x^2+y^2)

▷ h:x=(1/2)*2*x/h=x/h　

　(h^2):x=2*h*(h:x)=2*h*(x/h)=2*x

　(1/h):x=[(1/h):h]*h:x=-(1/h^2)*x/h=-x/h^3　

　(x/h):x=1/h-x^2/h^3　

　[ln(h)]:x={[ln(h)]:h}*(h:x)=(1/h)*(x/h)=x/h^2　

▷ h::x=(x/h):x=1/h-x^2/h^3　

　(h^2)::x=(2*x):x=2

　(1/h)::x=-(x/h^3):x=-1/h^3+3*x^2/h^5　

　[ln(h)]::x=(x/h^2):x=1/h^2-2*x^2/h^4　

▷ (x/h):x=1/h-x^2/h^3　

　(x*h^n):x=h^n+n*x^2*h^(n-2)　

　[x^2*h^(n-2)]:x

=2*x*h^(n-2)+x^2*(n-2)*x*h^(n-4)

=2*x*h^(n-2)+(n-2)*x^3*h^(n-4)　だから、

　(x*h^n)::x

=[h^n+n*x^2*h^(n-2)]:x

=n*x*h^(n-2)+2*n*x*h^(n-2)+n*(n-2)*x^3*h^(n-4)

=3*n*x*h^(n-2)+n*(n-2)*x^3*h^(n-4)　

=== まとめ ===　

▷ h:x=x/h　(h^2):x=2*x

　(1/h):x=-x/h^3　(x/h):x=1/h-x^2/h^3　[ln(h)]:x=x/h^2　

▷ h::x=1/h-x^2/h^3　(h^2)::x=2

　(1/h)::x=-1/h^3+3*x^2/h^5　[ln(h)]::x=1/h^2-2*x^2/h^4　

▷ (x/h):x=1/h-x^2/h^3　(x*h^n):x=h^n+n*x^2*h^(n-2)　

　(x*h^n)::x=3*n*x*h^(n-2)+n*(n-2)*x^3*h^(n-4)　

〓　円柱座標.微分演算子　〓　22.5

▢ 円柱座標 (h,a,z_C)　座標単位ベクトル <hu> , <au> , <zu>　

任意のスカラー関数 f(h,a,z_C)　任意のベクトル関数 <Ah Aa Az_C>

▷ <grad(f)>=<f:h　(f:a)/h　f:z_C>　

　div<Ah Aa Az_C>=[(Ah*h):h]/h+(Aa:a)/h+Az:z　

　<curl<Ah Aa Az_C>>=<(Az:a)/h-Aa:z　Ah:z-Az:h　[(Aa*h):h]/h-(Ah:a)/h_C>　

〓　grad　〓　

▢ デカルト座標 (x,y,z)

円柱座標 (h,a,z_C)　座標単位ベクトル <hu(a)> , <au(a)> , <zu>

　h=root(x^2+y^2)

　<h>=<xu>*x+<yu>*y　<hu>=<h>/h=<xu>*x/h+<yu>*y/h

▷ <grad(h)>=<xu>*(h:x)+<yu>*(h:y)=(<xu>*x+<yu>*y)/h=<hu>

{別解}　<grad(h)>=<hu>*(h:h)=<hu>

▷ <grad(1/h)>
=<xu>*[(1/h):x]+<yu>*[(1/h):y]
=-(<xu>*x+<yu>*y)/h^3
=-<hu>/h^2

{別解}　<grad(1/h)>=<hu>*[(1/h):h]=-<hu>/h^2

▷ <grad[ln(h)]>
=<xu>*[ln(h):x]+<yu>*[ln(h):y]
=(<xu>*x+<yu>*y)/h^2
=<hu>/h

{別解}　<grad[ln(h)]>=<hu>*{[ln(h)]:h}=<hu>/h

=== まとめ ===　

　<grad(h)>=<hu>　<grad(1/h)>=-<hu>/h^2

　<grad[ln(h)]>=<hu>/h

〓　div　〓　

▢ デカルト座標 (x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)　h=root(x^2+y^2)　

　<h>=<xu>*x+<yu>*y　

▷ div<h>=div(<xu>*x+<yu>*y)=x:x+y:y=1+1=2

{別解}　div<h>=div(<hu>*h)=[(h*h):h]/h=2*h/h=2

▷ div<hu>
=div(<xu>*x/h+<yu>*y/h)
=(x/h):x+(y/h):y
=(1/h-x^2/h^3)+(1/h-y^2/h^3
=2/h-(x^2+y^2)/h^3
=2/h-1/h
=1/h

{別解}　div<hu>=[(1*h):h]/h=1/h

{まとめ}  div<h>=2　div<hu>=1/h

〓　curl　〓　

▢ デカルト座標 (x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)　h=root(x^2+y^2)　

h のみの関数 H(h)　

▷ <curl[<zu>*H(h)]>
=<H:y  -H:x  0>
=<(H:h)*(h:y)  -(H:h)*(h:x)  0>
=<(H:h)*y/h  -(H:h)*x/h  0>
=-<au>*(H:h)　

　<curl[<zu>*H(h)]>=-<au>*(H:h)　★　

{別解}　<curl[<zu>*H(h)]>
=<(H:a)/h-0:z  0:z-H:h  [(0*h):h]/h-(0:a)/h_C>
=-<au>*(H:h)　

▷ <curl(<zu>*h)>=-<au>*(h:h)=-<au>　

▷ <curl[<zu>*ln(h)]>=-<au>*[ln(h):h]=-<au>/h　★　

〓　ラプラシアン △　〓　

▢ デカルト座標 (x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)　h=root(x^2+y^2)

h のみの関数 H(h)　ラプラシアン △H=H::x+H::y=H::h+(H:h)/h

▷ △h
=h::x+h::y
=(1/h-x^2/h^3)+(1/h-x^2/h^3)
=2/h-(x^2+y^2)/h^3
=1/h　

{別解}　△h=h::h+(h:h)/h=1/h

▷ △h^2=(h^2)::x+(h^2)::y=2+2=4

{別解}　△h^2=h^2::h+(h^2:h)/h=2+2=4

▷ △(1/h)
=(-1/h^3+3*x^2/h^5)+(-1/h^3+3*x^2/h^5)
=-2/h^3+3*(x^2+y^2)/h^5
=1/h^3　

{別解}　△(1/h)=(1/h)::h+[(1/h):h]/h=2/h^3-1/h^3=1/h^3

▷ △[ln(h)]
=(1/h^2-2*x^2/h^4)+(1/h^2-2*x^2/h^4)
=2/h^2-2*(x^2+y^2)/h^4
=0　

{別解}　△[ln(h)]=ln(h)::h+([ln(h):h]/h=-1/h^2+1/h^2=0

=== まとめ ===　

　△h=1/h　△h^2=4　△(1/h)=1/h^3　△[ln(h)]=0

〓　円柱座標.距離の微分　〓　22.5

▢ デカルト座標(x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)　h=root(x^2+y^2)

▷ h:x=x/h　(h^2):x=2*x

　(1/h):x=-x/h^3　(x/h):x=1/h-x^2/h^3　[ln(h)]:x=x/h^2　

　(x/h):x=1/h-x^2/h^3　(x*h^n):x=h^n+n*x^2*h^(n-2)　

▷ h::x=1/h-x^2/h^3　(h^2)::x=2

　(1/h)::x=-1/h^3+3*x^2/h^5　[ln(h)]::x=1/h^2-2*x^2/h^4　

　(x*h^n)::x=3*n*x*h^(n-2)+n*(n-2)*x^3*h^(n-4)　

▷ <grad(h)>=<hu>　<grad(1/h)>=-<hu>/h^2　<grad[ln(h)]>=<hu>/h

▷ div<h>=2　div<hu>=1/h

▷ h のみの関数 H(h)　<curl[<zu>*H(h)]>=-<au>*(H:h)　

　<curl(<zu>*h)>=-<au>　<curl[<zu>*ln(h)]>=-<au>/h　

☆ お勉強しよう　since2011　Yuji.W