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☆ 偏微分.距離 ☆
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お勉強しよう 力学 特殊相対性理論 電磁気 数学 2022.5-2015.1 Yuji.W
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〇 微分 偏微分 r=root(x^2+y^2+z^2) h=root(x^2+y^2)
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【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table
微分 ; 偏微分
: 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # ★
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〓 距離の微分 〓 微分
; 偏微分 :
▢ デカルト座標 (x,y,z) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)
▷ r:x=x/r
▷ (r^2):x=(x^2+y^2+z^2):x=2*x
▷ (1/r):x=[(1/r);r]*(r:x)=(-1/r^2)*(x/r)=-x/r^3
(1/r^2):x=[(1/r^2);r]*(r:x)=(-2/r^3)*(x/r)=-2*x/r^4
(1/r^3):x=[(1/r^3);r]*(r:x)=(-3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5
▷ (x/r):x=1/r+x*[(1/r):x]=1/r-x^2/r^3
(x/r^2):x=1/r^2-2*x^2/r^4
(x/r^3):x=1/r^3-3*x^2/r^5
▷ [ln(r)]:x={[ln(r)];r}*(r:x)=(1/r)*(x/r)=x/r^2
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〓 距離の微分-2- 〓 微分
; 偏微分 :
▢ デカルト座標 (x,y,z)
z軸からの距離 h=root(x^2+y^2)
原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)=root(h^2+z^2)
▷ h:x=x/h
▷ (h/r):x=(h:x)/r+h*[(1/r):x]=x/(h*r)-x*h/r^3
(h/r^2):x=x/(h*r^2)-2*x*h/r^4
(h/r^3):x=x/(h*r^3)-3*x^2*h/r^5
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〓 距離の微分 〓 微分
; 偏微分 :
▢ デカルト座標 (x,y,z)
原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2) z軸からの距離
h=root(x^2+y^2)
▷ (h/r):x
▷ (h/r^2):x
▷ (h/r^3):x
(1/r):x=[(1/r);r]*(r:x)=(-1/r^2)*(x/r)=-x/r^3
x^2+y^2+z^2=s と置くと r=root(s)
r;s=(1/2)/root(s)=1/(2*r) s:x=2*x
r:x=(r;s)*(s:x)=[1/(2*r)]*(2*x)=x/r
≫ r:x=x/r ★.
同様に r:y=y/r & r:z=z/r
▷ (r^2):x=2*r*(r:x)=2*r*(x/r)=2*x
(1/r^2):x=[(1/r^2);r]*(r:x)=-(2/r^3)*(x/r)=-2*x/r^4
(1/r^3):x=[(1/r^3);r]*(r:x)=-(3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5
▷ (1/r):x=[(1/r);r]*(r:x)=-(1/r^2)*(x/r)=-x/r^3 ★.
(x/r):x=1/r+x*(1/r):x=(r^2-x^2)/r^3 ★.
(x/r^2):x
=1/r^2+x*[(1/r^2):x]
=1/r^2-2*x^2/r^4
=(r^2-2*x^2)/r^4 ★.
(x/r^3):x
=1/r^3+x*[(1/r^3):x]
=1/r^3-3*x^2/r^5
=(r^2-3*x^2)/r^5 ★.
[ln(r)]:x={[ln(r)];r}*(r:x)=(1/r)*x/r=x/r^2 ★.
▷ r::x=(x/r):x=1/r-x^2/r^3 ★.
(r^2)::x=[(r^2):x]:x=(2*x):x=2
(1/r)::x=-(x/r^3):x=-1/r^3+3*x^2/r^5 ★.
[ln(r)]::x=(x/r^2):x=1/r^2-2*x^2/r^4 ★.
▷ Δr
=r::x+r::y+r::z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-r^2/r^3
=2/r ★.
Δr^2=(r^2)::x+(r^2)::y+(r^2)::z=2+2+2=6 ★.
Δ(1/r)
=(-1/r^3+3*x^2/r^5)+(-1/r^3+3*y^2/r^5)+(-1/r^3+3*z^2/r^5)
=-3/r^3+3*(x^2+y^2+z^2)/r^5
=-3/r^3+3/r^3
=0 ★.
Δln(r)
=(1/r^2-2*x^2/r^4)+(1/r^2-2*y^2/r^4)+(1/r^2-2*z^2/r^4)
=3/r^2-2*(x^2+y^2+z^2/r^4)
=3/r^2-2/r^2
=1/r^2 ★.
▷ Δ(x/r)
=(Δx)*(1/r)+2*<grad(x)>*<grad(1/r)>+x*Δ(1/r)
=0-2*(1/r^2)*x/r+0
=-2*x/r^3 ★.
{別解}Δ(x/r)=(x/r)::x+(x/r)::y+(x/r):z:z
=(-x/r^3-2x/r^3+3*x^3/r^5)
+(-x/r^3+3*x*y^2/r^5)
+(-x/r^3+3*x*z^2/r^5)
=-5x^r^3+3x/r^3=-2x/r^3
▷ Δ(z*r^n)
=(Δz)*r^n+2*<grad(z)>*<grad(r^n)>+z*(Δr^n)
=0+2*n*r^(n-1)*z/r+z*n*(n+1)*r^(n-2)
=r^(n-2)*z*[2*n+n*(n+1)]
=n*(n+3)*z*r^(n-2) ★.
----- まとめ -----
▷ r:x=x/r (r^2):x=2*x (1/r^2):x=-2*x/r^4
(1/r):x=-x/r^3 (x/r):x=(r^2-x^2)/r^3 (x/r^2):x=(r^2-2*x^2)/r^4
[ln(r)]:x=x/r^2
▷ r::x=1/r-x^2/r^3 (r^2)::x=2 (1/r)::x=-1/r^3+3*x^2/r^5
[ln(r)]::x=1/r^2-2*x^2/r^4
▷ Δr=2/r Δr^2=6 Δ(1/r)=0 Δln(r)=1/r^2 Δ(x/r)=-2*x/r^3
Δ(z*r^n)=n*(n+3)*z*r^(n-2)
▷
▷
▷
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〓 〓
▢ 球座標 距離の微分 〓 .
▢ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)
▷ x^2+y^2+z^2=s と置くと r=root(s)
r;s=(1/2)/root(s)=1/(2*r) s:x=2*x
r:x=(r;s)*(s:x)=[1/(2*r)]*(2*x)=x/r
≫ r:x=x/r ★.
同様に r:y=y/r & r:z=z/r
▷ (r^2):x=2*r*(r:x)=2*r*(x/r)=2*x
(1/r^2):x=[(1/r^2);r]*(r:x)=-(2/r^3)*(x/r)=-2*x/r^4
(1/r^3):x=[(1/r^3);r]*(r:x)=-(3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5
▷ (1/r):x=[(1/r);r]*(r:x)=-(1/r^2)*(x/r)=-x/r^3 ★.
(x/r):x=1/r+x*(1/r):x=(r^2-x^2)/r^3 ★.
(x/r^2):x
=1/r^2+x*[(1/r^2):x]
=1/r^2-2*x^2/r^4
=(r^2-2*x^2)/r^4 ★.
(x/r^3):x
=1/r^3+x*[(1/r^3):x]
=1/r^3-3*x^2/r^5
=(r^2-3*x^2)/r^5 ★.
[ln(r)]:x={[ln(r)];r}*(r:x)=(1/r)*x/r=x/r^2 ★.
▷ r::x=(x/r):x=1/r-x^2/r^3 ★.
(r^2)::x=[(r^2):x]:x=(2*x):x=2
(1/r)::x=-(x/r^3):x=-1/r^3+3*x^2/r^5 ★.
[ln(r)]::x=(x/r^2):x=1/r^2-2*x^2/r^4 ★.
▷ Δr
=r::x+r::y+r::z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-r^2/r^3
=2/r ★.
Δr^2=(r^2)::x+(r^2)::y+(r^2)::z=2+2+2=6 ★.
Δ(1/r)
=(-1/r^3+3*x^2/r^5)+(-1/r^3+3*y^2/r^5)+(-1/r^3+3*z^2/r^5)
=-3/r^3+3*(x^2+y^2+z^2)/r^5
=-3/r^3+3/r^3
=0 ★.
Δln(r)
=(1/r^2-2*x^2/r^4)+(1/r^2-2*y^2/r^4)+(1/r^2-2*z^2/r^4)
=3/r^2-2*(x^2+y^2+z^2/r^4)
=3/r^2-2/r^2
=1/r^2 ★.
▷ Δ(x/r)
=(Δx)*(1/r)+2*<grad(x)>*<grad(1/r)>+x*Δ(1/r)
=0-2*(1/r^2)*x/r+0
=-2*x/r^3 ★.
{別解}Δ(x/r)=(x/r)::x+(x/r)::y+(x/r):z:z
=(-x/r^3-2x/r^3+3*x^3/r^5)
+(-x/r^3+3*x*y^2/r^5)
+(-x/r^3+3*x*z^2/r^5)
=-5x^r^3+3x/r^3=-2x/r^3
▷ Δ(z*r^n)
=(Δz)*r^n+2*<grad(z)>*<grad(r^n)>+z*(Δr^n)
=0+2*n*r^(n-1)*z/r+z*n*(n+1)*r^(n-2)
=r^(n-2)*z*[2*n+n*(n+1)]
=n*(n+3)*z*r^(n-2) ★.
----- まとめ -----
▷ r:x=x/r (r^2):x=2*x (1/r^2):x=-2*x/r^4
(1/r):x=-x/r^3 (x/r):x=(r^2-x^2)/r^3 (x/r^2):x=(r^2-2*x^2)/r^4
[ln(r)]:x=x/r^2
▷ r::x=1/r-x^2/r^3 (r^2)::x=2 (1/r)::x=-1/r^3+3*x^2/r^5
[ln(r)]::x=1/r^2-2*x^2/r^4
▷ Δr=2/r Δr^2=6 Δ(1/r)=0 Δln(r)=1/r^2 Δ(x/r)=-2*x/r^3
Δ(z*r^n)=n*(n+3)*z*r^(n-2)
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〓 〓
▢ <r> の微分 〓 .
▢ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)
<r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z=<ru>*r
▷ <r>:x=<xu>
<ru>:x
=(<r>/r):x
=(<r>:x)/r+<r>*[(1/r):x]
=<xu>/r-<r>*x/r^3
=(<xu>*r^2-<r>*x)/r^3
=[<xu>*(x^2+y^2+z^2)-(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)*x]/r^3
=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z)]/r^3
▷ div<r>=1+1+1=3
▷ div<ru>
=(x/r):x+(y/r):y+(z/r):z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-y^2/r^3)+(1/r-z^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-1/r
=2/r
▷ div(<ru>/r^2)
=div(<r>/r^3)
=(x/r^3):x+(y/r^3):y+(z/r^3):z
=(r^2-3*x^2)/r^5+(r^2-3*y^2)/r^5+(r^2-3*z^2)/r^5
=[3*r^2-3*(x^2+y^2+z^2)]/r^5
=(3*r^2-3*r^2)/r^5
=0
▷ <curl<r>>=<curl(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)>=0
▷ <curl(<ru>/r)>
=<curl(<r>/r^2)>
=<curl[(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)/r^2]>
(x成分)=(z/r^2):y-(y/r^2):z=-2*y*z/r^4+2*y*z/r^4=0
他の成分も同様だから <curl(<ru>/r)>=0
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▷
▷
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〓 〓
▢ 球座標 距離の微分 〓 .
▢ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)
<r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z=<ru>*r
▷ r:x=x/r (r^2):x=2*x (1/r^2):x=-2*x/r^4
(1/r):x=-x/r^3 (x/r):x=(r^2-x^2)/r^3 (x/r^2):x=(r^2-2*x^2)/r^4
[ln(r)]:x=x/r^2
▷ r::x=1/r-x^2/r^3 (r^2)::x=2 (1/r)::x=-1/r^3+3*x^2/r^5
[ln(r)]::x=1/r^2-2*x^2/r^4
▷ Δr=2/r Δr^2=6 Δ(1/r)=0 Δln(r)=1/r^2 Δ(x/r)=-2*x/r^3
Δ(z*r^n)=n*(n+3)*z*r^(n-2)
▷ <grad(r)>=<ru> <grad(1/r)>=-<ru>/r^2
▷ <r>:x=<xu> <ru>:x=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z)]/r^3
▷ div<r>=3 div<ru>=2/r div(<ru>/r^2)=0
▷ <curl<r>>=0 <curl(<ru>/r)>=0
▷
▷
▷
▲
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▢
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▷
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▢
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