お勉強しようUz〕 数学 微分

2016/12-2011/10 Yuji.W

距離の微分

◎ 距離 微分 r r;x

◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

◇距離 r の微分◇

◆ デカルト座標 (x,y,z) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

■ x^2+y^2+z^2=h と置くと r=root(h)

 r;h=(1/2)/root(h)=1/(2*r) h;x=2*x

 r;x=(r;h)*(h;x)=[1/(2*r)]*(2*x)=x/r

≫ r;x=x/r .

同様に r;y=y/r & r;z=z/r

■ (1/r);x=[(1/r);r]*(r;x)=-(1/r^2)*(x/r)=-x/r^3 .

 (x/r);x=1/r+x*(1/r);x=1/r-x^2/r^3 .

 [ln(r)];x={[ln(r)];r}*(r;x)=(1/r)*x/r=x/r^2 .

■ r;;x=(x/r);x=1/r-x^2/r^3 .

 (1/r);;x=-(x/r^3);x=-1/r^3+3*x^2/r^5 .

 [ln(r)];;x=(x/r^2);x=1/r^2-2*x^2/r^4 .

■ △r
=r;;x+r;;y+r;;z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-r^2/r^3
=2/r 
.

 △(1/r)
=(-1/r^3+3*x^2/r^5)+(-1/r^3+3*y^2/r^5)+(-1/r^3+3*z^2/r^5)
=-3/r^3+3*(x^2+y^2+z^2)/r^5
=-3/r^3+3/r^3
=0 
.

 △ln(r)
=(1/r^2-2*x^2/r^4)+(1/r^2-2*y^2/r^4)+(1/r^2-2*z^2/r^4)
=3/r^2-2*(x^2+y^2+z^2/r^4)
=3/r^2-2/r^2
=1/r^2 
.

■ △(x/r)
=(△x)*(1/r)+2*<grad(x)>*<grad(1/r)>+x*△(1/r)
=0-2*(1/r^2)*x/r+0
=-2*x/r^3 
.

{別解}△(x/r)=(x/r);;x+(x/r);;y+(x/r);z;z
=(-x/r^3-2x/r^3+3*x^3/r^5)
+(-x/r^3+3*x*y^2/r^5)
+(-x/r^3+3*x*z^2/r^5)
=-5x^r^3+3x/r^3=-2x/r^3

■ △(z*r^n)
=(△z)*r^n+2*<grad(z)>*<grad(r^n)>+z*(△r^n)
=0+2*n*r^(n-1)*z/r+z*n*(n+1)*r^(n-2)
=r^(n-2)*z*[2*n+n*(n+1)]
=n*(n+3)*z*r^(n-2) 
.

◇距離 r. の関数の微分 円柱座標(r.,a,z)◇

◆ 円柱座標(r.,a,z) r.=root(x^2+y^2)

■ r.;x=(1/2)*2*x/r.=x/r. .

 (1/r.);x=[(1/r.);r.]*r.;x=-(1/r.^2)*x/r.=-x/r.^3 .

 (x/r.);x=1/r.-x^2/r.^3 .

 [ln(r.)];x={[ln(r.)];r.}*(r.;x)=(1/r.)*(x/r.)=x/r.^2 .

■ r.;;x=(x/r.);x=1/r.-x^2/r.^3 .

 (1/r.);;x=-(x/r.^3);x=-1/r.^3+3*x^2/r.^5 .

 [ln(r.)];;x=(x/r.^2);x=1/r.^2-2*x^2/r.^4 .

■ △r.
=r.;;x+r.;;y
=(1/r.-x^2/r.^3)+(1/r.-x^2/r.^3)
=2/r.-(x^2+y^2)/r.^3
=1/r. 
.

 △(1/r.)
=(-1/r.^3+3*x^2/r.^5)+(-1/r.^3+3*x^2/r.^5)
=-2/r.^3+3*(x^2+y^2)/r.^5
=1/r.^3 
.

 △[ln(r.)]
=(1/r.^2-2*x^2/r.^4)+(1/r.^2-2*x^2/r.^4)
=2/r.^2-2*(x^2+y^2)/r.^4
=0 
.

■ (x/r.);x=1/r.-x^2/r.^3 .

 (x*r.^n);x=r.^n+n*x^2*r.^(n-2) .

 [x^2*r.^(n-2)];x
=2*x*r.^(n-2)+x^2*(n-2)*x*r.^(n-4)
=2*x*r.^(n-2)+(n-2)*x^3*r.^(n-4) だから、

 (x*r.^n);;x
=[r.^n+n*x^2*r.^(n-2)];x
=n*x*r.^(n-2)+2*n*x*r.^(n-2)+n*(n-2)*x^3*r.^(n-4)
=3*n*x*r.^(n-2)+n*(n-2)*x^3*r.^(n-4) 
.

{まとめ}距離の関数の微分

■ r=root(x^2+y^2+z^2) h=root(x^2+y^2)

 r;x=x/r (1/r);x=-x/r^3 (x/r);x=1/r-x^2/r^3 [ln(r)];x=x/r^2

 r;;x=1/r-x^2/r^3 (1/r);;x=-1/r^3+3*x^2/r^5

 [ln(r)];;x=1/r^2-2*x^2/r^4

▲ 以上、r を h に置き換えても同じ

■ ラプラシアン △=(;;x)+(;;y)+(;;z)

 △r=2/r △(1/r)=0 △ln(r)=1/r^2 △(x/r)=-2*x/r^3

 △h=1/h △(1/h)=1/h^3 △[ln(h)]=0

※ 次の関数は r=0 や h=0 で定義できない 1/r ln(r) 1/h ln(h)

デルタ関数を使って △(1/r)=-4Pi*δ3(<r>) △ln(h)=+2Pi*δ2(h)

◇<r> , <ru> の微分◇

◆ デカルト座標 (x,y,z) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z <ru>=<r>/r

■ <r>;x=<xu> .

 <ru>;x
=(<r>/r);x
=(<r>;x)/r+<r>*[(1/r);x]
=<xu>/r-<r>*x/r^3
=<xu>/r-(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)*x/r^3
=[<xu>*(r^2-x^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z]/r^3
=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z]/r^3 
.

◆ デカルト座標 (x,y,z) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z <ru>=<r>/r

■ r;x=x/r (1/r);x=-x/r^3 (x/r);x=1/r-x^2/r^3 [ln(r)];x=x/r^2

■ <r>;x=<xu> <ru>;x=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z]/r^3

◇grad◇

■ <grad(r)>
=<xu>*(r;x)+<yu>*(r;y)+<zu>*(r;z)
=<xu>*x/r+<yu>*y/r+<zu>*z/r
=(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)/r
=<r>/r
=<ru>

≫ <grad(r)>=<ru> & |<grad(r)>|=|<ru>|=1 .

■ <grad(1/r)>
=<xu>*[(1/r);x]+<yu>*[(1/r);y]+<zu>*[(1/r);z]
=-<xu>*x/r^3-<yu>*y/r^3-<zu>*z/r^3
=-(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)/r^3
=-<r>/r^3
=-<ru>/r^2

≫ <grad(1/r)>=-<ru>/r^2 .

◇div◇

■ div<r>=div<x y z>=x;x+y;y+z;z=1+1+1=3 .

■ div<ru>
=div(<x y z>/r)
=(x/r);x+(y/r);y+(z/r);z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-y^2/r^3)+(1/r-z^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-r^2/r^3
=3/r-1/r
=2/r

≫ div<ru>=2/r .

◇curl◇

■ (<curl<r>>のz成分)
=(<curl<x y z>>のz成分)
=y;x-x;y
=0-0
=0

≫ <curl<r>>=0 .

{まとめ}距離の微分

◆ デカルト座標 (x,y,z) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z <ru>=<r>/r

■ r;x=x/r (1/r);x=-x/r^3 (x/r);x=1/r-x^2/r^3 [ln(r)];x=x/r^2

■ <r>;x=<xu> <ru>;x=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z]/r^3

■ <grad(r)>=<ru> <grad(1/r)>=-<ru>/r^2

■ div<r>=3 div<ru>=2/r

■ <curl<r>>=0

◇△f(r) 球座標(r,a,b)◇

◆ 球座標(r,a,b) r=root(x^2+y^2+z^2)

 <grad[f(r)]>=(f;r)*<ru> △f(r)=div<grad[f(r)]>=[r^2*(f;r)];r/r^2

■ <grad(r)>=<ru> <grad(1/r)>=-<ru>/r^2 <grad[ln(r)]>=<ru>/r

■ △r=[(r^2);r]/r^2=2*r/r^2=2/r

 △r^2=[(2*r^3);r]/r^2=6*r^2/r^2=6 △f(r)=定数 の解になる

 △(1/r)=-[(r^2/r^2);r]/r^2=0 △f(r)=0 の解になる

※r=0 で定義できない。デルタ関数を使って △(1/r)=-4Pi*δ3(<r>)

◇△f(r.) 円柱座標(r.,a,z)◇

◆ 円柱座標(r.,a,z) r.=root(x^2+y^2) <x,y,0>/r.=<r.u>

 <grad[f(r.)]>=(f;r.)*<r.u>

 div<Ar. ,0,0>=Ar.;r.+Ar./r.=(r.*Ar);r./r.

 △f(r.)=div<grad[f(r.)]>=[r.*(f;r.)];r./r.

■ <grad(r.)>=<r.u> <grad(1/r.)>=-<r.u>/r^2 <grad[ln(r.)]>=<r.u>/r.

■ △r.=(r;r)/r=1/r.

 △r.^2=[(r.*2*r.);r.]/r.=4*r./r.=4 △f(r.)=定数 の解になる

 △ln(r.)=[r./r.);r]/r.=0 △f(r.)=0 の解になる

※r=0 で定義できない。デルタ関数を使って △ln(r.)=+2Pi*δ2(r.)

「△f(r) △f(r.)」

◆ 球座標(r,a,b) r=root(x^2+y^2+z^2) △f(r)=[r^2*(f;r)];r/r^2

■ △r=2/r △(r^2)=6 △(1/r)=0 △(1/r)=-4Pi*δ3(<r>)

◆ 円柱座標(r.,a,z) r.=root(x^2+y^2) △f(r.)=[r.*(f;r.)];r./r.

■ △r.=1/r. △(r.^2)=4 △ln(r.)=0 △ln(r.)=+2Pi*δ2(r.)

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