数学 微分 2018/4-2011/10 Yuji.W

☆ 球座標.距離の微分

球座標(r,a,b) 距離 r=root(x^2+y^2+z^2) _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <hu>,<a>,<z> 球座標 <ru>,<a>,<b>

◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
 i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 球座標 距離の微分 〓 .

◆ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

■ x^2+y^2+z^2=s と置くと r=root(s)

 r;s=(1/2)/root(s)=1/(2*r) s;x=2*x

 r;x=(r;s)*(s;x)=[1/(2*r)]*(2*x)=x/r

≫ r;x=x/r .

同様に r;y=y/r & r;z=z/r

■ (r^2);x=2*r*(r;x)=2*r*(x/r)=2*x

 (1/r^2);x=[(1/r^2);r]*(r;x)=-(2/r^3)*(x/r)=-2*x/r^4

 (1/r^3);x=[(1/r^3);r]*(r;x)=-(3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5

■ (1/r);x=[(1/r);r]*(r;x)=-(1/r^2)*(x/r)=-x/r^3 .

 (x/r);x=1/r+x*(1/r);x=(r^2-x^2)/r^3 .

 (x/r^2);x
=1/r^2+x*[(1/r^2);x]
=1/r^2-2*x^2/r^4
=(r^2-2*x^2)/r^4 .

 (x/r^3);x
=1/r^3+x*[(1/r^3);x]
=1/r^3-3*x^2/r^5
=(r^2-3*x^2)/r^5 .

 [ln(r)];x={[ln(r)];r}*(r;x)=(1/r)*x/r=x/r^2 .

■ r;;x=(x/r);x=1/r-x^2/r^3 .

 (r^2);;x=[(r^2);x];x=(2*x);x=2

 (1/r);;x=-(x/r^3);x=-1/r^3+3*x^2/r^5 .

 [ln(r)];;x=(x/r^2);x=1/r^2-2*x^2/r^4 .

■ Δr
=r;;x+r;;y+r;;z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)+(1/r-x^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-r^2/r^3
=2/r 
.

 Δr^2=(r^2);;x+(r^2);;y+(r^2);;z=2+2+2=6 .

 Δ(1/r)
=(-1/r^3+3*x^2/r^5)+(-1/r^3+3*y^2/r^5)+(-1/r^3+3*z^2/r^5)
=-3/r^3+3*(x^2+y^2+z^2)/r^5
=-3/r^3+3/r^3
=0 
.

 Δln(r)
=(1/r^2-2*x^2/r^4)+(1/r^2-2*y^2/r^4)+(1/r^2-2*z^2/r^4)
=3/r^2-2*(x^2+y^2+z^2/r^4)
=3/r^2-2/r^2
=1/r^2 
.

■ Δ(x/r)
=(Δx)*(1/r)+2*<grad(x)>*<grad(1/r)>+x*Δ(1/r)
=0-2*(1/r^2)*x/r+0
=-2*x/r^3 
.

{別解}Δ(x/r)=(x/r);;x+(x/r);;y+(x/r);z;z
=(-x/r^3-2x/r^3+3*x^3/r^5)
+(-x/r^3+3*x*y^2/r^5)
+(-x/r^3+3*x*z^2/r^5)
=-5x^r^3+3x/r^3=-2x/r^3

■ Δ(z*r^n)
=(Δz)*r^n+2*<grad(z)>*<grad(r^n)>+z*(Δr^n)
=0+2*n*r^(n-1)*z/r+z*n*(n+1)*r^(n-2)
=r^(n-2)*z*[2*n+n*(n+1)]
=n*(n+3)*z*r^(n-2) 
.

----- まとめ -----

■ r;x=x/r (r^2);x=2*x (1/r^2);x=-2*x/r^4

 (1/r);x=-x/r^3 (x/r);x=(r^2-x^2)/r^3 (x/r^2);x=(r^2-2*x^2)/r^4

 [ln(r)];x=x/r^2

■ r;;x=1/r-x^2/r^3 (r^2);;x=2 (1/r);;x=-1/r^3+3*x^2/r^5

 [ln(r)];;x=1/r^2-2*x^2/r^4

■ Δr=2/r Δr^2=6 Δ(1/r)=0 Δln(r)=1/r^2 Δ(x/r)=-2*x/r^3

 Δ(z*r^n)=n*(n+3)*z*r^(n-2)

〓 grad 〓 .

◆ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<x>*x+<y>*y+<z>*z=<ru>*r

■ <grad(r)>
=<x>*(r;x)+<y>*(r;y)+<z>*(r;z)
=(<x>*x+<y>*y+<z>*z)/r
=<r>/r
=<ru> _

■ <grad(1/r)>
=<x>*[(1/r);x]+<y>*[(1/r);y]+<z>*[(1/r);z]
=-(<x>*x+<y>*y+<z>*z)/r^3
=-<r>/r^3
=-<ru>/r^2 _

〓 <r> の微分 〓 .

◆ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<x>*x+<y>*y+<z>*z=<ru>*r

■ <r>;x=<x>

 <ru>;x
=(<r>/r);x
=(<r>;x)/r+<r>*[(1/r);x]
=<x>/r-<r>*x/r^3
=(<x>*r^2-<r>*x)/r^3
=[<x>*(x^2+y^2+z^2)-(<x>*x+<y>*y+<z>*z)*x]/r^3
=[<x>*(y^2+z^2)-<y>*x*y-<z>*x*z)]/r^3

■ div<r>=1+1+1=3

■ div<ru>
=(x/r);x+(y/r);y+(z/r);z
=(1/r-x^2/r^3)+(1/r-y^2/r^3)+(1/r-z^2/r^3)
=3/r-(x^2+y^2+z^2)/r^3
=3/r-1/r
=2/r

■ div(<ru>/r^2)
=div(<r>/r^3)
=(x/r^3);x+(y/r^3);y+(z/r^3);z
=(r^2-3*x^2)/r^5+(r^2-3*y^2)/r^5+(r^2-3*z^2)/r^5
=[3*r^2-3*(x^2+y^2+z^2)]/r^5
=(3*r^2-3*r^2)/r^5
=0

■ <curl<r>>=<curl(<x>*x+<y>*y+<z>*z)>=0

<curl(<ru>/r)>
=
<curl(<r>/r^2)>
=<curl[(<x>*x+<y>*y+<z>*z)/r^2]>

 (x成分)=(z/r^2);y-(y/r^2);z=-2*y*z/r^4+2*y*z/r^4=0

他の成分も同様だから <curl(<ru>/r)>=0

〓 球座標 距離の微分 〓 .

◆ デカルト座標 (x,y,z) 球座標(r,a,b) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<x>*x+<y>*y+<z>*z=<ru>*r

■ r;x=x/r (r^2);x=2*x (1/r^2);x=-2*x/r^4

 (1/r);x=-x/r^3 (x/r);x=(r^2-x^2)/r^3 (x/r^2);x=(r^2-2*x^2)/r^4

 [ln(r)];x=x/r^2

■ r;;x=1/r-x^2/r^3 (r^2);;x=2 (1/r);;x=-1/r^3+3*x^2/r^5

 [ln(r)];;x=1/r^2-2*x^2/r^4

■ Δr=2/r Δr^2=6 Δ(1/r)=0 Δln(r)=1/r^2 Δ(x/r)=-2*x/r^3

 Δ(z*r^n)=n*(n+3)*z*r^(n-2)

■ <grad(r)>=<ru> <grad(1/r)>=-<ru>/r^2

■ <r>;x=<x> <ru>;x=[<x>*(y^2+z^2)-<y>*x*y-<z>*x*z)]/r^3

■ div<r>=3 div<ru>=2/r div(<ru>/r^2)=0

■ <curl<r>>=0 <curl(<ru>/r)>=0

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