お勉強しようUz〕 数学 微分方程式

2017/4-2012/1 Yuji.W

ポアソン方程式2

_ Δf 電位 デルタ関数 Poisson _

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A> 〔
物理定数
【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

{復習}電位

◆ 静電場 電荷密度 ρ(x,y,z) 電位 φ(x,y,z) △φ=-4Pi*ke*ρ

 電荷と観測点の距離 r=root[(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2]

 体積要素 dV=dX*dY*dZ

 φ(x,y,z)=ke*$$${[ρ(X,Y,Z)/r]*dV}[全空間]

■ 平面電荷 $$${[δ(Z)/r]*dV}[全空間]=-2Pi*z〔 z>0 〕

直線電荷 $$${[δ2(r.)/r]*dV}[全空間]=-2*ln(r.)

点電荷 $$${[δ3(<r>)/r]*dV}[全空間]=1/r

◇ポアソン方程式の解◇

◎ 電位の考察により、ポアソン方程式の解を次のようにまとめる事ができる。

『ポアソン方程式の解』

◆ △φ(x,y,z)=f(x,y,z)

体積積分するときの座標 (X,Y,Z) 体積要素 dV (x,y,z)と(X,Y,Z)の距離 r

■ 解 φ(x,y,z)=-[1/(4Pi)]*$$${[f(X,Y,Z)/r]*dV}

◎ 電位の考察により、デルタ関数の体積分を次のようにまとめる事ができる。

『デルタ関数の体積分』

■ $$${[δ(Z)/r]*dV}[全空間]=-2Pi*z〔 z>0 〕

 $$${[δ2(r.)/r]*dV}[全空間]=-2*ln(r.)

 $$${[δ3(<r>)/r]*dV}[全空間]=1/r

◎ デルタ関数のポアソン方程式

『デルタ関数のポアソン方程式』

■ △Po(x,y,z)=δ2(r.) Po(x,y,z)=ln(r.)/(2Pi)

■ △Po(x,y,z)=δ3(<r>) Po(x,y,z)=-(1/r)/(4Pi)

{別解}電位

◎ デルタ関数のポアソン方程式の結果を利用する

◆ 静電場 電荷密度 ρ(x,y,z) 電位 φ(x,y,z) △φ=-4Pi*ke*ρ

■ 直線電荷 ρ=δ2(r.)*λ △φ=-4Pi*ke*λ*δ2(r.)

 φ=-(4Pi*ke*λ)*[ln(r.)/(2Pi)]=-2*ke*λ*ln(r.)

■ 点電荷 ρ=δ3(<r>)*Q △φ=-4Pi*ke*Q*δ3(<r>)

 φ=-(4Pi*ke*Q)*[-(1/r)/(4Pi)]=ke*Q/r

{うまくできてるなあ!2017/4}

☆級数展開☆

■ Laplace's equation  Δf=0  f=1/r  ただし、r=0 を除く

■ φ=f(r)*cos(a)=f(r)*z/r  Δφ=0
f(r) が r で級数展開できるとき、

  φ=b*z+c*z/r^3  {∵}他のrの級数は、Δ が 0 にならないから。

■ 円柱座標(r,a,z)  r=x^2+y^2
φ=f(r)*cos(a)=f(r)*z/r  Δφ=0
f(r) が r で級数展開できるとき、

  φ=b*z+c*z/r^2  {∵}他のrの級数は、Δ が 0 にならないから。

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