数学　微分方程式　2021.1-2013.7　Yuji Watanabe

◎ ラプラシアン △　ポアソン方程式　★　

◇ 積 *　商 /　微分 ;　偏微分 ,　積分 $　　　　　　　　　　　　　　2021.1.12
10^x=Ten(x)　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル ?,<Au>,<Au)　内積 *　外積 #

〓〓〓　ラプラシアン　〓〓〓　　

※ 演算子が2個以上掛けてある場合、右から演算を行う

■ デカルト座標　△=(,,x)+(,,y)+(,,z)　△(a*x+b)=0

■ 円柱座標(h,a,z)　△=(,,h)+(1/h)*(,h)+(1/h^2)*(,,a)+(,,z)

　△h=1/h　△h^2=4　△(1/h)=1/h^3　△ln(h)=0

■ 球座標(r,a,b)

　△
=(,,r)+(2/r)*(,r)+(1/r^2)*(,,a)+{1/[r^2*tan(a)]}*(,a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(,,b)

　△r=2/r　△(r^2)=6　△(1/r)=0

〓〓〓　ラプラス方程式　〓〓〓　　

▢ 1次元スカラー関数　△=(;;x)

 ■ 定数 C1,C2　△(C1*x+C2)=0

▢ 軸対称　円柱座標(h,a,z)で h のみの関数　△=(;;h)+(1/h)*(;h)

■ 定数 C1,C2　△[C1*ln(h)+C2]=0

▢ 球座標(r,a,b)で r のみの関数　△=(;;r)+(2/r)*(;r)

定数 C1,C2　△(C1/r+C2)=0

〓〓〓　ポアソン方程式、１次元、定数　〓〓〓　　

▢ 1次元関数 f(x)　△=(;;x)　△f(x)=k=定数

■ 定数 C1,C2　△(C1*x+C2)=0　であった

また　△x^2=2　であるから、

　f(x)=(1/2)*k*x^2+C1*x+C2〔 定数 C1,C2　 〕　★　

〓〓〓　ポアソン方程式、軸対称、定数　〓〓〓　　

▢ 円柱座標(h,a,z) で h のみの関数 f(h)　△=(;;h)+(1/h)*(;h)　△f(h)=k=定数

■ 定数 C1,C2　△[C1*ln(h)+C2]=0

また　△h^2=h^2;;2+(h^2;h)/h=2+2=4　だから、

　f(h)=(1/4)*k*h^2+C1*ln(h)+C2　★　

〓〓〓　ポアソン方程式、球対称、定数　〓〓〓　　

▢ 球座標(r,a,b) で r のみの関数 f(r)　△=(;;r)+(2/r)*(;r)　△f(r)=k=定数

■ 定数 C1,C2　△(C1/r+C2)=0

また　△r^2=r^2;;r+(2/r)*(r^2;r)=2+4=6　だから、

　f(r)=(1/6)*k*r^2+C1/r+C2　★　

〓〓〓　ポアソン方程式、定数　〓〓〓　

▢ 1次元関数 f(x)　△=(;;x)　

■ 定数 C1,C2　△[(1/2)*k*x^2+C1*x+C2]=k

▢ 軸対称　円柱座標(h,a,z) で h のみの関数 f(h)　△=(;;h)+(1/h)*(;h)　

■ 定数 C1,C2　△[(1/4)*k*h^2+C1*ln(h)+C2]=k

▢ 球対称　球座標(r,a,b) で r のみの関数 f(r)　△=(;;r)+(2/r)*(;r)　

■ 定数 C1,C2　△[(1/6)*k*r^2+C1/r+C2]=k

☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji Watanabe