お勉強しようUz〕 数学 微分方程式

2017/4-2012/1 Yuji.W

ポアソン方程式

_ Δf=定数 1次元 軸対称 球対称 Poisson _〔物理定数

★ 積 * 商 / 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #

◇ラプラス方程式、ポアソン方程式◇

■ ポアソン方程式 Δf(x,y,z)=g(x,y,z)

時間を含まないから、定常状態を表す。境界条件が必要になる。

◇ Δf=定数 の解 ◇

◎ Δf(x,y,z)=k=定数 になる場合を考える ◇ C1,C2:積分定数

■【 1次元関数 f(x) 】

ポアソン方程式 Δf(x)=k=定数

 f;;x=k

 f(x)=(1/2)*k*x^2+C1*x+C2 .

■【 円柱座標(r.,a,z)で r. のみの関数 f(r.) 】

ポアソン方程式 Δf(r.)=k=定数

 (1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)*f(r.)=k

 ({[f(r.);r.]*r.};r.)/r.=k

 {[f(r.);r.]*r.};r.=k*r.

 [f(r.);r.]*r.=(1/2)*k*r.^2+C1

 f(r.);r.=(1/2)*k*r.+C1/r.

 f(r.)=(1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2 .

■【 球座標(r,a,b)で r のみの関数 f(r) 】

ポアソン方程式 Δf(r)=k=定数

 (1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)*f(r)=k

 ({[f(r);r]*r^2};r)/r^2=k

 {[f(r);r]*r^2};r=k*r^2

 [f(r);r]*r^2=(1/3)*k*r^3-C1 ※ C1 は積分定数だから符号はどちらでもよい

 f(r);r=(1/3)*k*r-C1/r^2

 f(r)=(1/6)*k*r^2+C1/r+C2 .

『Δf=定数』 2016/3 〔C1,C2:積分定数〕

◆ Δf=k=定数 (周囲の値の平均値)-f(x,y,z)=一定

■ 解 1次元の解 (1/2)*k*x^2+C1*x+C2

軸対称の解 (1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2

球対称の解 (1/6)*k*r^2+C1/r+C2

{まとまってきたなあ!2016/1}

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