数学 微分

2015/11 Yuji.W

☆偏微分☆

◎ 偏微分 2階偏微分 ヘッセ行列  ☆ partial differentiation

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

☆計算例☆

★ f(x,y)=x^2+y^2-sin(x*y)

 f(x,y);x=2*x-y*cos(x*y) f(x,y);y=2*y-x*cos(x*y)

 f(x,y);;x=2+y^2*sin(x*y) f(x,y);x;y=-cos(x*y)+x*y*sin(x*y)

 f(x,y);;y=2+x^2*sin(x*y) f(x,y);y;x=-cos(x*y)+x*y*sin(x*y)

★ f(x,y)=exp(x^2+y^2)*x/y

 f(x,y);x
=exp(x^2+y^2)*2*x^2/y+exp(x^2+y^2)/y
=exp(x^2+y^2)*(2*x^2+1)/y

 f(x,y);y=exp(x^2+y^2)*x*(2-1/y^2)

 f(x,y);;x
=exp(x^2+y^2)*2*x*(2*x^2+1)/y+exp(x^2+y^2)*4*x/y
=exp(x^2+y^2)*2*x*(2*x^2+3)/y

 f(x,y);x;y
=exp(x^2+y^2)*2*(2*x^2+1)-exp(x^2+y^2)*(2*x^2+1)/y^2
=exp(x^2+y^2)*(2*x^2+1)*(2-1/y^2)

 f(x,y);;y
=exp(x^2+y^2)*2*x*y*(2-1/y^2)+exp(x^2+y^2)*2*x/y^3
=exp(x^2+y^2)*2*x*(2*y^4-y^2+1)/y^3

 f(x,y);y;x
=exp(x^2+y^2)*2*x^2*(2-1/y^2)+exp(x^2+y^2)*(2-1/y^2)
=exp(x^2+y^2)*(2*x^2+1)*(2-1/y^2)

★ f(x,y)=exp(x)*cos(y)

 f(x,y);x=exp(x)*cos(y) f(x,y);y=-exp(x)*sin(y)

 f(x,y);;x=exp(x)*cos(y) f(x,y);x;y=-exp(x)*sin(y)

 f(x,y);;y=-exp(x)*cos(y) f(x,y);y;x=-exp(x)*sin(y)

☆ヘッセ行列☆

◎ 関数の変化の様子を知りたい 停留点

■ 2変数関数 f(x,y)

2変数関数のヘッセ行列 [H]≡[f;;x f;x;y|f;y;x f;;y]

行列式 det[H]=(f;;x)*(f;;y)-(f;x;y)*(f;y;x)

対角和 Tr[H]=f;;x+f;;y

★ f(x,y)=a*x^2+b*y^2

 f;x=2*a*x f;y=2*b*x f;;x=2*a f;x;y=f;y;x=0 f;;y=2*b

 [H]=[2*a 0|0 2*b] det[H]=4*a*b Tr[H]=2*(a+b)

★ f(x,y)=a*x^3+b*y^3

 f;x=3*a*x^2 f;y=3*b*x^2 f;;x=6*a*x f;x;y=f;y;x=0 f;;y=6*b*x

 [H]=[6*a*x 0|0 6*b*x] det[H]=36*a*b Tr[H]=6*(a+b)*x

■ 2変数関数 f(x,y) f;x=0 or f;y=0 を満たす点において

 {det[H]>0 & Tr[H]>0} ⇔ 局所的最小点

 {det[H]>0 & Tr[H]<0} ⇔ 局所的最大点

 {det[H]<0} ⇔ 鞍点 .

★ f(x,y)=sin(x)+sin(y)

f;x=cos(x) f;y=cos(y) f;;x=-sin(x) f;x;y=f;y;x=0 f;;y=-sin(y)

 [H]=-[sin(x) 0|0 sin(y)] det[H]=sin(x)*sin(y) Tr[H]=-sin(x)-sin(y)

x=y=Pi/2 において f;x=f;y=0 det[H]=1 Tr[H]=-2 局所的最大点

x=Pi/2 , y=-Pi/2 において f;x=f;y=0 det[H]=-1 Tr[H]=0 鞍点

x=-Pi/2 , y=Pi/2 において f;x=f;y=0 det[H]=-1 Tr[H]=0 鞍点

x=-Pi/2 , y=-Pi/2 において f;x=f;y=0 det[H]=1 Tr[H]=2 局所的最小点

  偏微分  

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