〔 お勉強しよう 〕　数学　微分演算子

2017/1　Yuji.W

☆ラプラス方程式.緩和法☆

◎ ラプラス方程式を数値計算で解く　緩和法

◇ 10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 ;x　積分 $　ベクトル <A>　座標単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　〔物理定数〕.★  ★.

{復習}ラプラス方程式

『ラプラス方程式』　2016/3　〔C1,C2:積分定数〕

◆ 3次元スカラー関数 H(x,y,z)　ラプラス方程式 △H=0　解 調和関数

■ 調和関数　1次元 C1*x+C2　軸対称 C1*ln(r.)+C2　球対称 C1/r+C2

{まとめ}2階微分の意味

『2階微分の意味』　2016/12-2015/9　微少量 h

■ 1変数　f(x)　平均=[f(x+h)+f(x-h)]/2　(平均)-f(x)=(f;;x)*h^2/2

■ 2変数　f(x,y)　平均=[f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)]/4

　(平均)-f(x)=(f;;x+f;;y)*h^2/4

■ 3変数　f(x,y,z)　ラプラシアン △f(x,y,z)=f;;x+f;;y+f;;z

　平均=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

　(平均)-f(x,y,z)=△f*h^2/6　△f=-[f(x,y,z)-(平均)]*6/h^2

◇1変数ラプラス方程式◇

◆ 1変数スカラー関数 H(x)　H;;x=0　H(x1)=h1　H(x2)=h2

■ H(x) は1次関数であるから　H(x)
=[(h2-h1)/(x2-x1)]*(x-x1)+h1
=[(h2-h1)/(x2-x1)]*x-(h2-h1)*x1/(x2-x1)+h1
=[(h2-h1)/(x2-x1)]*x+(h1*x2-h2*x1)/(x2-x1)

≫　H(x)=[(h2-h1)/(x2-x1)]*x+(h1*x2-h2*x1)/(x2-x1) ★.

★ H(1)=10　H(5)=18

　H(x)=[(18-10)/(5-1)]*x+(10*5-18*1)/(5-1)=2*x+8

　H(2)=12　H(3)=14　H(4)=16

　x=1,2,3,4,5　で　H=10,12,14,16,18

◇1変数ラプラス方程式.緩和法◇

◎ 緩和法を使って、1変数ラプラス方程式を解く。数値計算していく。

◆ 1変数スカラー関数 H(x)　H;;x=0　H(1)=10　H(5)=18　H(2),H(3),H(4) ?

{答} H(2)=12 , H(3)=14 , H(4)=16

■【 緩和法で解く 】

① 適当に値を予想する　例えば　H(2)=11　H(3)=13　H(4)=17

② 調和関数の特徴を利用して、たぶんより正確な値になるであろう値 \H(2),\H(3),\H(4) を求める。

　\H(2)=[H(1)+H(3)]/2=[10+H(3)]/2=(10+13)/2=11.5
　\H(3)=[H(2)+H(4)]/2=(11+17)/2=14
　\H(4)=[H(3)+H(5)]/2=[H(3)+18]/2=(13+18)/2=15.5

③ 得られた値を予想値とする　H(2)=11.5　H(3)=14　H(4)=15.5

それを使って、たぶんより正確な値になるであろう値 \H(2),\H(3),\H(4) を求める。

　\H(2)=[10+H(3)]/2=(10+14)/2=12
　\H(3)=[H(2)+H(4)]/2=(11.5+15.5)/2=13.5
　\H(4)=[H(3)+18]/2=(14+18)/2=16

④ 繰り返す　H(2)=12　H(3)=13.5　H(4)=16

　\H(2)=[10+H(3)]/2=(10+13.5)/2=11.75
　\H(3)=[H(2)+H(4)]/2=(12+16)/2=14
　\H(4)=[H(3)+18]/2=(13.5+18)/2=15.75

⑤ H(2)=11.75　H(3)=14　H(4)=15.75

　\H(2)=[10+H(3)]/2=(10+14)/2=12
　\H(3)=[H(2)+H(4)]/2=(11.75+15.75)/2=13.75
　\H(4)=[H(3)+18]/2=(14+18)/2=16

⑥ 得られる精度が得られるまで繰り返す。{得られる保証はないけど…!2017/1}

◇2変数ラプラス方程式.緩和法◇

◆ 2変数スカラー関数 H(x,y)　0=△H(x,y)=H;;x+H;;y

直線 x=1,x=-1,y=1,y=-1 上で H(x,y)=10
直線 x=3,x=-3,y=3,y=-3 上で H(x,y)=0

x軸対称、y軸対称、直線 y=x 対称

　H(2,0)=H(0,2)=a　H(2,1)=H(1,2)=b　H(2,2)=c　a,b,c ?

微少量 h に対して　H(x)=[H(x+h,y)+H(x-h,y)+H(x,y+h)+H(x,y-h)]/4

■【 緩和法で解く 】

① 適当に値を予想する　例えば　a=4,b=2,c=1

② 調和関数の特徴を利用して、たぶんより正確な値になるであろう値 \a,\b,\c を求める。

　\a=[H(1,0)+H(3,0)+H(2,-1)+H(2,1)]/4=(10+0+b+b)/4=(10+2*b)/4
　\b=[H(1,1)+H(3,1)+H(2,0)+H(2,2)]/4=(10+0+a+c)/4=(10+a+c)/4
　\c=[H(1,2)+H(3,2)+H(2,1)+H(2,3)]/4=(b+0+b+0)/4=b/2

　\a=(10+2*b)/4=(10+2*2)/4=3.5
　\b=(10+a+c)/4=(10+4+1)/4=3.75
　\c=b/2=2/2=1

③ 得られた値を予想値とする　a=3.5　b=3.75　c=1

それを使って、たぶんより正確な値になるであろう値 \a,\b,\c を求める。

　\a=(10+2*b)/4=(10+2*3.75)/4=4.375
　\b=(10+a+c)/4=(10+3.5+1)/4=3.625
　\c=b/2=3.75/2=1.875

④ 繰り返す　a=4.375　b=3.625　c=1.875

　\a=(10+2*b)/4=(10+2*3.625)/4=4.3125
　\b=(10+a+c)/4=(10+4.375+1.875)/4=4.0625
　\c=b/2=3.625/2=1.8125

⑤ 繰り返す　a=4.3125　b=4.0625　c=1.8125

　\a=(10+2*b)/4=(10+2*4.0625)/4=4.53125
　\b=(10+a+c)/4=(10+4.3125+1.8125)/4=4.03125
　\c=b/2=4.0625/2=2.03125

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