お勉強しようUz〕 数学 微分演算子

2017/4-2013/2 Yuji.W

ラプラス方程式

_ ラプラス方程式 複素関数 調和関数 harmonic function ラプラス 1794-1827  フランス _〔物理定数

★ 積 * 商 / 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #

{復習}ラプラシアン

『傾き、ラプラシアン(微分演算子)』 2016/1

■ デカルト座標 △=(;;x)+(;;y)+(;;z)

■ 円柱座標(r.,a,z) △=(;;r.)+(1/r.)*(;r.)+(1/r.^2)*(;;a)+(;;z)

 △r.=1/r. △r.^2=4 △(1/r.)=1/r.^3 △ln(r.)=0

■ 球座標(r,a,b)

 △/
=(;;r)+(2/r)*(;r)
+(1/r^2)*(;;a)+{1/[r^2*tan(a)]}*(;a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(;;b)

 △r=2/r △(r^2)=6 △(1/r)=0

{まとめ}2階微分の意味

『2階微分の意味』 2016/12-2015/9 微少量 h

■ 1変数 f(x) 平均=[f(x+h)+f(x-h)]/2 (平均)-f(x)=(f;;x)*h^2/2

■ 2変数 f(x,y) 平均=[f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)]/4

 (平均)-f(x)=(f;;x+f;;y)*h^2/4

■ 3変数 f(x,y,z) ラプラシアン △f(x,y,z)=f;;x+f;;y+f;;z

 平均=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

 (平均)-f(x,y,z)=△f*h^2/6 △f=-[f(x,y,z)-(平均)]*6/h^2

ラプラス方程式.1次元

◆ 1次元スカラー関数 H(x) ラプラシアン △=(;;x)

1次元ラプラス方程式 H(x);;x=0 解 H(x) を 調和関数 と言う

■ H(x)=(x の1次関数)=C1*x+C2〔 C1,C2:定数 〕 1次元調和関数=1次関数


■【 円柱座標(r.,a,z)で r. のみの関数 H(r.) 】

ラプラス方程式 △H(r.)=0

 (1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)*H(r.)=0

 ({[H(r.);r.]*r.};r.)/r.=0

 {[H(r.);r.]*r.};r.=0

 [H(r.);r.]*r.=C1=定数

 H(r.);r.=C1/r.

 H(r.)=C1*ln(r.)+C2〔C1,C2:積分定数〕 .円柱対称ラプラス方程式の解

{なんだ、簡単にちゃんと解けるんだ!2016/3}


■【 球座標(r,a,b)で r のみの関数 H(r) 】

ラプラス方程式 △H(r)=0

 (1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)*H(r)=0

 ({[H(r);r]*r^2};r)/r^2=0

 {[H(r);r]*r^2};r=0

 [H(r);r]*r^2=-C1=定数 ※ C1 は積分定数だから符号はどちらでもよい

 H(r);r=-C1/r^2

 H(r)=C1/r+C2〔C1,C2:積分定数〕 .ラプラス方程式の解

{なんだ、簡単にちゃんと解けるんだ!2016/3}

『ラプラス方程式』 2016/3 〔C1,C2:積分定数〕

◆ 3次元スカラー関数 H(x,y,z) ラプラス方程式 △H=0 解 調和関数

■ 調和関数 1次元 C1*x+C2 軸対称 C1*ln(r.)+C2 球対称 C1/r+C2

◇調和関数の平均値定理◇

◎ 簡単な場合のラプラス方程式の解

◆ 調和関数 H(x,y,z) △H=0 を満たす領域で考える

その領域内の任意の点 (X,Y,Z) その点を中心とした半径 R の球面 S

■【 平均値の定理 】

 $${H(x,y,z)*dS}[球面上]=4Pi*R^2*H(X,Y,Z) .

■【 極値 】

考えている領域内で H(x,y,z) は極値を持たない .

■【 Earnshaw の定理 】

H(x,y,z) がポテンシャルを表す場合、すなわち、<grad[H(x,y,z)]> が力に比例する場合、安定したつり合いの位置はない。

{計算例}2次元

■【 H(x,y)=x^2-y^2 】

 H;x=2*x H;;x=2  H;y=-2*y H;;y=-2 △H(x,y)=H;;x+H;;y=2-2=0

 <grad(H)>=<xu>*2*x-<yu>*2*y

◇2次元ラプラス方程式,複素変数を使って◇

◎ 2次元ラプラス方程式を解く。複素関数を使うと、簡単に解くことができる。

◆ 虚数単位 i 複素数 z=x+i*y zの関数 H(z) その実数部分 U(x,y) 虚数部分 V(x,y)

★ H(z)=z^2=(x+i*y)^2=(x^2-y^2)+i*2*x*y U=x^2-y^2 V=2*x*y

 U;x=2*x U;y=-2*y V;x=2*y V;y=2*x

次の関係が成り立っている U;x=V;y  V;x=-U;y

さらに U;;x=2 U;;y=-2 U;;x+U;;y=0 Uはラプラス方程式の解(調和関数)になっている

■ U;x=V;y  U;y=-V;x .Cauchy-Riemann の方程式

■ 上記の関係が成り立つとして、

 U;;x+U;;y=(U;x);x+(U;y);y=(V;y);x-(V;x);y=0

同様に V;;x+V;;y=-(U;y);x+(U;x);y=0

複素数 x+i*y の任意の関数の実数部または虚数部は自動的に、ラプラス方程式を満たす .{へー、おもしろいなあ!2013/2}

★ H(z)=1/(x+i*y)=(x-i*y)/(x^2+y^2)=(x-i*y)/r^2 実数部 U=x/r^2 虚数部 V=-y/r^2

 △(x/r^2)=0 & △(y/r^2)=0

『2次元ラプラス方程式の解(調和関数)』 2016/1

■ 複素数 x+i*y その関数 H(x+i*y) その実数部 U(x,y) 虚数部 V(x,y)

 △U=0 & △V=0

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