☆ 変分.未定乗数法 ☆

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〇 ラグランジュ  未定係数法  2024.3-2021.7  Yuji.W   

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 #   000 

〓  ラグランジュ未定乗数法  〓  《 変分.未定乗数法24.3

◇ 微分 ;  偏微分 : 

▢ 2変数 x,y  x,y の束縛条件 g(x,y)=0  2変数関数 f(x,y) が極値をとる

▷ 未定係数 h  関数 F(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y) 

 関数 f(x,y) が極値をとる  ⇔  F:x=F:y=0

〓  ラグランジュ未定乗数法.3変数  〓  《 変分.未定乗数法24.3

◇ 微分 ;  偏微分 : 

▢ 3変数 x,y,z  束縛条件 g(x,y,z)=0 , h(x,y,z)=0  3変数関数 f(x,y,z) が極値をとる

▷ F(x,y,z,i,j)=f(x,y,z)-i*g(x,y,z)-j*h(x,y,z)

 関数 f(x,y,z) が極値をとる  ⇔  F:x=F:y=F:z=0 

〓  2変数の最大傾斜の方向と変化の割合  〓 

◇ 微分 ;  偏微分 : 

▢ 変数 x,y  x,yの関数 z=f(x,y)  ※ zは高さを表すとイメージできる

▷ 点 (x,y,z) を通る、関数 z の接平面 z=(f:x)*x+(f:y)*y+定数

接平面の最大傾斜の方向 <f:x f:y>=<grad(f)>
最大傾斜の変化の割合 root[(f:x)^2+(f:y)^2]=|<grad(f)>|

▷ 等高線の方向 <f:y -f:x> or <-f:y f:x>

〓  ラグランジュ未定乗数法  〓 

◇ 微分 ;  偏微分 : 
▢ 変数 x,y  x,yの関数 f(x,y) 

x,y の束縛条件 g(x,y)=0  ※ x,y は自由な値をとれるわけではなく、限定されている。xy平面上の曲線上を動く。

2変数関数 f(x,y) が極値をとる条件を求めたい。

▷ (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) となる場合を考える。

この条件が満たされれば、それぞれの関数 f , g において、最大傾斜の方向が同じになる。最大傾斜の方向が同じになれば、等高線(x,y の値が変化しても、関数の値は変化しない曲線)の方向も同じになる。束縛条件 g に従って x と y が変化しても、f の値は変化しない。極値を持つ。

 (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) ⇔ 束縛条件 g の元、f は極値を持つ   

▷ 未定係数 h  関数 F(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y) を考える。

 F:x=f:x-h*(g:x)  ,  F:y=f:y-h*(g:y)

F:x=F:y=0  のとき  h=(f:x)/(g:x)=(f:y)/(g:y)

  (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) となり、f(x,y) は極値をとる。

ーーー まとめ ーーー 

未定係数 h  関数 F(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y) 

F:x=F:y=0  のとき  (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) となり、f(x,y) は極値をとる。   

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