>数学>微分方程式  2014/1-2013/5 Yuji.W

☆ラグランジュの未定乗数法☆

〕Lagrange multiplier

Lagrange 1736-1813 数学者・天文学者 「解析力学」

<表示のお約束・物理定数>

☆極値を求める-高校レベル☆

◎ 2変数関数 f(x,y) が極値をとる ただし、条件 g(x,y)=0 の元で

★ f(x,y)=x+y=k @ 条件 x^2+y^2=1 A ★

xy平面にグラフを書いて考える。

@ y=-x+k 傾き -1 、y切片 k の直線 k が大きくなるにつれて、直線は上に平行移動していく

A 半径1の円

x,y は、条件Aを満たさなくてはならない。

 条件Aを満たすx,yの組 ⇔ 円周上の任意の点の座標x,y  ▼

直線@は、円Aと交点を持つ範囲で移動しなくてはならない。
{高校の時、ここがわかっていなかった!2014/1}

k が大きくなるにつれて、直線は上に平行移動していくのだから、直線@が円Aと接するとき(交点が1つのとき)、kは最大、または、最小になる。

円周上の点で、x=y になるとき、その接線の傾きが -1 になるから、

 x=y=root2/2 のとき x+y は、最大値 root2
 x=y=-root2/2 のとき x+y は、最小値 -root2

{別解} f(x)=x+root(1-x^2)

 f;x=1-x/root(1-x^2)

f;x=0 とすると root(1-x^2)=x 1-x^2=x^2 x=(+-)*root2/2

★ f(x,y)=x^2+y^2 @ 条件 x+y=1 A ★

@ 半径 root(x^2+y^2) の円

@は、条件Aを満たさなくてはならないのだから、円@と直線Aが交点を持たなくてはならない。

円@と直線Aが接するとき、f(x,y)は最小値をとる。円@が傾き -1 をとるのは、
 x=y このとき x=y=1/2 f(x,y)=1/2

☆極値を求める☆

■ 1変数関数 f(x) が極値をとる ⇔ f;x=0

■ 2変数関数 f(x,y) が極値をとる ⇔ f;x=0 or f;y=0

■ 2変数関数 f(x,y) が極値をとる ただし、条件 g(x,y)=0 の元で

★ 半径1の円に内接する長方形の面積の最大値を求めよう。

長方形の縦横が、座標軸と平行な場合を考える。

長方形の右上の頂点の座標 (x,y) x>0,y>0 面積 S(x,y)=4*x*y 

長方形は、半径1の円に内接するから、条件 g(x,y)=x^2+y^2-1=0

 S(x)=4*x*root(1-x^2)

1-x^2=t と置くと

 root(1-x^2);x
=root(t);t*(1-x^2);x
=[(1/2)/root(t)]*(-2*x)
=-x/root(1-x^2)  ▼

 S;x
=4*root(1-x^2)-4*x^2/root(1-x^2)
=4*(1-x^2-x^2)/root(1-x^2)
=4*(1-2*x^2)/root(1-x^2)

 S;x=0 を満たすのは x^2=1/2 x=root2/2

そのとき x=y=root2/2 S=2

ラグランジュ未定乗数法

関数 f(x,y),g(x,y) と、未定係数 h から、次の関数を作る

 \f(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y)

関数 f(x,y) が極値をとる ⇔ \f;x=\f;y=g=0

※ \f;a=0 ⇔ g(x,y)=0

■ \f;x=\f;y=0 ⇒ f;x-a*g;x=f;y-a*g;y=0

 a=f;x/g;x=f;y/g;y

 f;x/f;y=g;x/g;y 2つの関数の接線の方向が一致

☆計算例-2変数☆

★ S(x,y)=4*x*y 条件 g(x,y)=x^2+y^2-1=0

 \S(x,y)=4*x*y-a*(x^2+y^2-1)

右辺の第2項は、0 だから \S と S の極値は一致する。

 \S;x=4*y-2*a*x \S;y=4*x-2*a*y

\S;x=\S;y=0 とすると 4*y-2*a*x=4*x-2*a*y=0

 a=2,x=y=root2/2 S=2

★ 原点-(x,0)-(x,y)-(0,y) を結ぶ長方形の面積 S(x,y)=x*y x>0,y>0

 x,y の条件 2*x+y=8

例えば x=1,y=6,S=6 x=2,y=4,S=8 x=3,y=2,S=6

 \S(x,y,a)=S(x,y)-a*(2*x+y-8)=x*y-2*a*x-a*y+8*a

 \S;x=y-2*a \S;y=x-a

\S;x=\S;y=0 y-2*a=x-a=0

 a=2,x=2,y=4 S=8

★ 楕円に内接する長方形の面積の最大値を求めよう。

長方形の縦横が、座標軸と平行な場合を考える。

長方形の右上の頂点の座標 (x,y) x>0,y>0 面積 S(x,y)=4*x*y

楕円 x^2/A^2+y^2/B^2=1

長方形は、楕円に内接するので 条件 g(x,y)=x^2/A^2+y^2/B^2-1=0

 \S(x,y,a)=4*x*y-a*(x^2/A^2+*y^2/B^2-1)

 \S;x=4*y-2*a*x/A^2 \S;y=4*x-2*a*y/B^2

\S;x=\S;y=0 として 2*A^2*y=a*x 2*B^2*x=a*y

 a=root2*A*B x=1/3 y=(root2/6)*B/A

 0=\S;x=4*y-2*a*x/A^2 0=\S;y=4*x-2*a*y/B^2

 a=2*A*B x=A/root2 y=B/root2

このとき S=4*(A/root2)*(B/root2)=2*A*B

{別解} A=B=1 のとき、x=y=1/root2 最大値 S_max=2

この結果を、横に A倍、縦に B倍して、

 x=A/root2 y=B/root2 S=2*A*B

☆ラグランジュ未定乗数法-3変数☆

■ 3変数関数 f(x,y,z) が極値をとる 条件 g(x,y,z)=0

 \f(x,y,z,a)=f(x,y,z)-a*g(x,y,z)

 \f;x=\f;y=\f;z=g=0

■ 3変数関数 f(x,y,z) が極値をとる 条件 g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0

 \f(x,y,z,a,b)=f(x,y,z)-a*g(x,y,z)-b*g(x,y,z)

 \f;x=\f;y=\f;z=g=h=0

☆計算例-3変数☆

★ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 x+2*y-2*z=3

 \f(x,y,z,a,b)=x^2+y^2+z^2-a*(x+2*y-2*z-3)

 \f;x=2*x-a \f;y=2*y-2*a \f;z=2*z-2*a

\f;x=\f;y=\f;z=g=0 として、

 a=2*x=y=z , x+2*y-2*z=3

 a=6,x=3,y=z=6 このとき f=81

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