☆ 変分.未定乗数法 ☆ |
〇 ラグランジュ 未定係数法 2024.3-2021.7 Yuji.W ★ |
◇ 2*3=6
Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
〓 ラグランジュ未定乗数法 〓 《 変分.未定乗数法24.3 》 ◇ 微分 ; 偏微分 : ▢ 2変数 x,y x,y の束縛条件 g(x,y)=0 2変数関数 f(x,y) が極値をとる ▷ 未定係数 h 関数 F(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y) 関数 f(x,y) が極値をとる ⇔ F:x=F:y=0 |
〓 ラグランジュ未定乗数法.3変数 〓 《 変分.未定乗数法24.3 》 ◇ 微分 ; 偏微分 : ▢ 3変数 x,y,z 束縛条件 g(x,y,z)=0 , h(x,y,z)=0 3変数関数 f(x,y,z) が極値をとる ▷ F(x,y,z,i,j)=f(x,y,z)-i*g(x,y,z)-j*h(x,y,z) 関数 f(x,y,z) が極値をとる ⇔ F:x=F:y=F:z=0 |
〓 2変数の最大傾斜の方向と変化の割合 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : ▢ 変数 x,y x,yの関数 z=f(x,y) ※ zは高さを表すとイメージできる ▷ 点 (x,y,z) を通る、関数 z の接平面 z=(f:x)*x+(f:y)*y+定数 接平面の最大傾斜の方向 <f:x f:y>=<grad(f)> ▷ 等高線の方向 <f:y -f:x> or <-f:y f:x> |
〓 ラグランジュ未定乗数法 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : x,y の束縛条件 g(x,y)=0 ※ x,y は自由な値をとれるわけではなく、限定されている。xy平面上の曲線上を動く。 2変数関数 f(x,y) が極値をとる条件を求めたい。 ▷ (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) となる場合を考える。 この条件が満たされれば、それぞれの関数 f , g において、最大傾斜の方向が同じになる。最大傾斜の方向が同じになれば、等高線(x,y の値が変化しても、関数の値は変化しない曲線)の方向も同じになる。束縛条件 g に従って x と y が変化しても、f の値は変化しない。極値を持つ。 (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) ⇔ 束縛条件 g の元、f は極値を持つ ★ ▷ 未定係数 h 関数 F(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y) を考える。 F:x=f:x-h*(g:x) , F:y=f:y-h*(g:y) F:x=F:y=0 のとき h=(f:x)/(g:x)=(f:y)/(g:y) (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) となり、f(x,y) は極値をとる。 ーーー まとめ ーーー 未定係数 h 関数 F(x,y,h)=f(x,y)-h*g(x,y) F:x=F:y=0 のとき (f:x)/(f:y)=(g:x)/(g:y) となり、f(x,y) は極値をとる。 ★ |
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