>数学>微分方程式  2014/5 Yuji.W

☆変分法☆

◎ オイラー・ラグランジュ方程式 汎関数 停留値

◇微分;x 時間微分' y;x=Y

☆変分法☆

◆〓 変数 x その関数 y(x) その微分 y;x=Y

以上の3つから表される汎関数(関数の関数) F(x,y,Y)

その積分 I=${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]

I が停留値をとるような関数 y(x) を求めたい

関数 y0(x) 微少量 e 任意の関数 h(x)

関数 y0(x) を少しだけ変形させた関数 y(x)=y0(x)+e*h(x)

ただし h(x1)=h(x2)=0 〓◆

■ まず y;e=h(x) Y;e=(y;x);e=(y;e);x=h;x

停留値を求めたい汎関数 I=${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]

 dI/de
=d{${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]}/de  微分と積分の順序の交換
=${[(F;y)*(y;e)+(F;Y)*(Y;e)]*dx}[x:x1~x2]  x は変化させない
=${[(F;y)*h+(F;Y)*(h;x)]*dx}[x:x1~x2] 

ここで 部分積分 ${(F;Y)*(h;x)*dx}=(F;Y)*h-${[d(F;Y)/dx]*h*dx} を使って、

 dI/de
=[(F;Y)*h][x:x1~x2]+${[(F;y)-d(F;Y)/dx]*h*dx}[x:x1~x2]
=${[F;y-d(F;Y)/dx]*h*dx}[x:x1~x2]  <=【 h(x1)=h(x2)=0 】

I が停留値 ⇔ dI/de=0 また h(x) は、任意の関数だから、

 I が停留値 ⇔ F;y=d(F;Y)/dx〔オイラー・ラグランジュ方程式

{なんかだまされているような気がするなあ!2014/5}

■ 【 F=F(x,y) 】のとき オイラー方程式の右辺=0 F;y=0 F=定数

■ 【 F=F(x,Y) 】のとき オイラー方程式の左辺=0 (F;Y);x=0 F;Y=C=定数

■ 【 F=F(y,Y) 】のとき F-Y*(F;Y)=一定〔ベルトラミの公式

{証明} F は、x を陽に含まないことに注意して、

 dF/dx
=(F;y)*(y;x)+(F;Y)*(Y;x)
=(F;y)*Y+(F;Y)*(Y;x) @

また d[Y*(F;Y)]=dY*(F;Y)+Y*d(F;Y) より、

 d[Y*(F;Y)]/dx=(F;Y)*(Y;x)+[d(F;Y)/dx]*Y

オイラー方程式を使って d[Y*(F;Y)]/dx=(F;Y)*(Y;x)+(F;y)*Y A

@Aより (F;y)*Y を消去することができて

 dF/dx-(F;Y)*(Y;x)-d[Y*(F;Y)]/dx+(F;Y)*(Y;x)=0

 d[F-Y*(F;Y)]/dx=0 F-Y*(F;Y)=一定 』

{わかりにくい説明の資料が多い!2014/5}

「変分法」 ◇微分;x 時間微分' y;x=Y

■ 変数 x その関数 y(x) その微分 y;x=Y

以上の3つから表される汎関数(関数の関数) F(x,y,Y)

その積分 I=${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]

I が停留値をとるような関数 y(x) を求める方法

次の条件式を満たす F;y=d(F;Y)/dx〔〕オイラー・ラグランジュ方程式

■ 【 F=F(y,Y) 】のとき F-Y*(F;Y)=一定〔〕ベルトラミの公式

☆変分法を使う☆

★ F=a*y^2+b*Y^2+c*y*Y I=${F*dx}[x:x1~x2]

I が停留値を持つような関数Fを求めたい

 F;y=2*a*y+c*Y

 (F;Y);=[2*b*Y+c*y];x=2*b*(y;;x)+c*Y

オイラー方程式 2*a*y+c*Y=2*b*Y;+c*Y

 y;;x=(a/b)*y y=y0*exp[root(a/b)*x]

★ xy平面上の2点 (x1,y1),(x2,y2) を結ぶ曲線の長さが最小値になるときの、曲線の形を求めたい

 I=${root(1+Y^2)*dx}[x:x1~x2] F=root(1+Y^2)

 F;y=0

 F;Y=Y/root(1+Y^2)

 Y/root(1+Y^2)=C=一定

 Y=C*root(1+Y^2)

 Y^2=C^2*(1+Y^2)

 Y^2=C^2/(C^2-1)

 Y=定数

 y は x の1次関数、直線

☆カテナリー曲線☆

◎ 線密度一定のひもを一様な重力場に垂らすときの形

◆〓 水平軸 x軸 鉛直軸 y軸 y=(1/k)*[cosh(k*x)-1]

 k=(線密度)*g/水平方向張力 x=0 で y=0 y(-x)=y(x)

 y~y+dy の微少部分が持つ位置エネルギー ∝ y*root(1+Y^2)*dx

 総位置エネルギー ∝ ${y*root(1+Y^2)*dx}

カテナリー曲線は、総位置エネルギーが最小になることを示そう。 〓◆

懸垂線 cosh

■ ${y*root(1+Y^2)*dx} を最小にする。

 F(x,y,Y)=y*root(1+Y^2) が、オイラー方程式を満たすことを言えばよい。さらに、x を陽に含まないから、ベルトラミの公式が成り立つ事を言えばよい。

 y=(1/k)*cosh(k*x) Y=y;x=sinh(k*x)

 1+Y^2=1+sinh(k*x)^2=cosh(k*x)^2

 root(1+Y^2)=cosh(k*x)

 F;Y=y*Y/root(1+Y^2)

 F-Y*(F;Y)
=y*root(1+Y^2)-y*Y^2/root(1+Y^2)
=[y*(1+Y^2)-y*Y^2]/root(1+Y^2)
=y/root(1+Y^2)
=(1/k)*cosh(k*x)/cosh(k*x)
=1/k
=定数 』

◆ベクトル<x,y> 単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<x|y) 内積* 外積#
◆微分;x 時間微分' y;x=Y ◆cos(a)=Ca sin(a)=Sa tan(a)=Ta
◆e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x)

 変分法 

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