>数学>微分方程式　　2014/5　Yuji.W

◎ オイラー・ラグランジュ方程式　汎関数　停留値

◇微分;x　時間微分'　y;x=Y

◆〓　変数 x　その関数 y(x)　その微分 y;x=Y

以上の3つから表される汎関数(関数の関数) F(x,y,Y)

その積分 I=${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]

I が停留値をとるような関数 y(x) を求めたい

関数 y0(x)　微少量 e　任意の関数 h(x)

関数 y0(x) を少しだけ変形させた関数 y(x)=y0(x)+e*h(x)

ただし　h(x1)=h(x2)=0　〓◆

■ まず　y;e=h(x)　Y;e=(y;x);e=(y;e);x=h;x

停留値を求めたい汎関数 I=${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]

　dI/de
=d{${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]}/de　　微分と積分の順序の交換
=${[(F;y)*(y;e)+(F;Y)*(Y;e)]*dx}[x:x1~x2]　　x は変化させない
=${[(F;y)*h+(F;Y)*(h;x)]*dx}[x:x1~x2] 

ここで　部分積分 ${(F;Y)*(h;x)*dx}=(F;Y)*h-${[d(F;Y)/dx]*h*dx}　を使って、

　dI/de
=[(F;Y)*h][x:x1~x2]+${[(F;y)-d(F;Y)/dx]*h*dx}[x:x1~x2]
=${[F;y-d(F;Y)/dx]*h*dx}[x:x1~x2]　　<=【 h(x1)=h(x2)=0 】

I が停留値 ⇔ dI/de=0　また　h(x) は、任意の関数だから、

　I が停留値 ⇔ F;y=d(F;Y)/dx〔★〕オイラー・ラグランジュ方程式

{なんかだまされているような気がするなあ!2014/5}

■ 【 F=F(x,y) 】のとき　オイラー方程式の右辺=0　F;y=0　F=定数

■ 【 F=F(x,Y) 】のとき　オイラー方程式の左辺=0　(F;Y);x=0　F;Y=C=定数

■ 【 F=F(y,Y) 】のとき　F-Y*(F;Y)=一定〔★〕ベルトラミの公式

{証明}　F は、x を陽に含まないことに注意して、

　dF/dx
=(F;y)*(y;x)+(F;Y)*(Y;x)
=(F;y)*Y+(F;Y)*(Y;x)　�@

また　d[Y*(F;Y)]=dY*(F;Y)+Y*d(F;Y)　より、

　d[Y*(F;Y)]/dx=(F;Y)*(Y;x)+[d(F;Y)/dx]*Y

オイラー方程式を使って　d[Y*(F;Y)]/dx=(F;Y)*(Y;x)+(F;y)*Y　�A

�@�Aより　(F;y)*Y を消去することができて

　dF/dx-(F;Y)*(Y;x)-d[Y*(F;Y)]/dx+(F;Y)*(Y;x)=0

　d[F-Y*(F;Y)]/dx=0　F-Y*(F;Y)=一定　』

{わかりにくい説明の資料が多い!2014/5}

★ F=a*y^2+b*Y^2+c*y*Y　I=${F*dx}[x:x1~x2]

I が停留値を持つような関数Fを求めたい

　F;y=2*a*y+c*Y

　(F;Y);=[2*b*Y+c*y];x=2*b*(y;;x)+c*Y

オイラー方程式　2*a*y+c*Y=2*b*Y;+c*Y

　y;;x=(a/b)*y　y=y0*exp[root(a/b)*x]

★ xy平面上の2点 (x1,y1),(x2,y2) を結ぶ曲線の長さが最小値になるときの、曲線の形を求めたい

　I=${root(1+Y^2)*dx}[x:x1~x2]　F=root(1+Y^2)

　F;y=0

　F;Y=Y/root(1+Y^2)

　Y/root(1+Y^2)=C=一定

　Y=C*root(1+Y^2)

　Y^2=C^2*(1+Y^2)

　Y^2=C^2/(C^2-1)

　Y=定数

　y は x の1次関数、直線

◎ 線密度一定のひもを一様な重力場に垂らすときの形

◆〓　水平軸 x軸　鉛直軸 y軸　y=(1/k)*[cosh(k*x)-1]

　k=(線密度)*g/水平方向張力　x=0 で y=0　y(-x)=y(x)

　y~y+dy の微少部分が持つ位置エネルギー ∝ y*root(1+Y^2)*dx

　総位置エネルギー ∝ ${y*root(1+Y^2)*dx}

カテナリー曲線は、総位置エネルギーが最小になることを示そう。　〓◆

懸垂線 cosh

■ ${y*root(1+Y^2)*dx} を最小にする。

　F(x,y,Y)=y*root(1+Y^2)　が、オイラー方程式を満たすことを言えばよい。さらに、x を陽に含まないから、ベルトラミの公式が成り立つ事を言えばよい。

　y=(1/k)*cosh(k*x)　Y=y;x=sinh(k*x)

　1+Y^2=1+sinh(k*x)^2=cosh(k*x)^2

　root(1+Y^2)=cosh(k*x)

　F;Y=y*Y/root(1+Y^2)

　F-Y*(F;Y)
=y*root(1+Y^2)-y*Y^2/root(1+Y^2)
=[y*(1+Y^2)-y*Y^2]/root(1+Y^2)
=y/root(1+Y^2)
=(1/k)*cosh(k*x)/cosh(k*x)
=1/k
=定数　』

◆ベクトル<x,y>　単位ベクトル<xu>　縦ベクトル<x|y)　内積*　外積#
◆微分;x　時間微分'　y;x=Y　◆cos(a)=Ca　sin(a)=Sa　tan(a)=Ta
◆e^(i*x)=expi(x)　10^x=Ten(x)

★　変分法　★