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2015/10-2012/12 Yuji.W |
☆2階微分方程式☆
◎ 線型=線形 同次=斉次(せいじ) homogeneous
〔表記〕 ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分 y;x 2階微分 y;;x 時間微分
y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分
${f(x)*dx}[x:a~b]
2^3=8 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 複素共役
z! 〔物理定数〕-
★.2015/10/24
| ☆簡単な/2階/常/微分方程式☆ |
| 「部分積分の利用」 ■ ${x*Ex*dx}=x*Ex-Ex+C ${Lx*dx}=x*Lx-x+C ${x*Sx*dx}=-x*Cx+Sx+C ${x*Cx*dx}=x*Sx+Cx+C |
★ y;;=x*Sx
y;=${x*Sx*dx}=-x*Cx+Sx+C1
y
=-${x*Cx*dx}-Cx+C1*x
=-(x*Sx+Cx)-Cx+C1*x+C2
=-x*Sx-2*Cx+C1*x+C2
{確かめ} C1,C2の項は、2階微分すれば 0 になるから、無視すると、
y;=-(Sx+x*Cx)+2*Sx=-x*Cx+Sx
y;;=-(Cx-x*Sx)+Cx=x*Sx 』{めでたし、めでたし!2013/11}
| ☆y;; と y; だけの方程式 y がない場合☆ |
★ y;;=y;+2 y;+2=z と置けば z;=z z=C1*exp(x)
y;+2=C1*exp(x) y;=C1*exp(x)-2 y=C1*exp(x)-2*x+C2
★ y;;=y;^2 y;=z と置けば z;=z^2 z;/z^2=1
-1/z=x+C1 y;=-1/(x+C1) y=-ln(x+C1)+C2
★ y;;+y;=0 y;=z と置けば z;=-z z=C1*exp(-x)
y;=C1*exp(-x) y=-C1*exp(-x)+C2
${x*Sx*dx}=-x*Cx+Sx
| ☆y;;=root(1-y;^2)☆ |
◎ 2階・線型でない
● y;;=root(1+y;^2) y=cosh(x)
◆ y;;=root(1-y;^2) z=y; と置くと、z;=root(1-z^2)
■ z=sin(x+C1) y=-cos(x+C1)+C2
| ◇y;;+w^2*y=0◇ |
◎ 2階・線型・同次
■ y;;+w^2*y=0 2階微分が、元の関数に比例する ずれに比例する力 振動
y=y0*cos(w*x+A) 振動
変位量 y 時間 x とすれば 角速度 w 周期 T=2Pi/w
{別解} 特性方程式 h^2+w^2=0 h=±w*i 虚数単位 i
解は、y=c1*expi(w*x)+c2*expi(-w*x)
初期条件を適当に定めて、y=y0*sin(w*x+A)
{別解} z=y; と置く 2*y; を掛けると、
2*y;*y;;+2*w^2*y*y;=0
(y^2);=2*y*y; (z^2);=2*z*z;=2*y;*y;; だから、
(z^2);=-w^2*(y^2); z^2=-w^2*y^2+C^2*w^2=w^2*(C^2-y^2)
z=a*root(C-y^2) y;=a*root(C^2-y^2) y=y0*sin(a*x+A)
| ◇y;;+C*y;+w^2*y=0◇ |
★ C>0 速さに抵抗する力が働く場合
■ y;;+C*y;+w^2*y=0 w=root(バネ係数/質量)
C^2-4*w^2<0 抵抗が小さいとき、
特性方程式は複素数2つ 微分方程式は振動関数
C^2-4*w^2>0 抵抗が大きいとき、
特性方程式は実数解2つ 微分方程式は指数関数 振動しない
★ 2階常微分方程式 ★