数学 微分方程式 2019.7-2012.12 Yuji.W
☆ 2階線型微分方程式 ☆
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〓 2階/線型/微分方程式 〓
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「2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式」 ◆ x=x(t) ◆ 2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式 x''+p*x'+q*x=0〔p,q:定数〕 重ね合わせの原理が成り立つ 基本解 x1,x2 一般解 x=C1*x1+C2*x2 ■ 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t) x=C1*x1+C2*x2 ■ x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b ① expi(b*t),expi(-b*t) ② cos(b*t),sin(b*t) ③ cos(b*t+α) ■ H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t) |
◆ x=x(t) 2階/線型/微分方程式 x''+p(t)*x'+q(t)*x=f(t)
線型 x^2 , x'^3 などを含まない
f(t)=0 斉次のときの解 x1,x2 非斉次特殊解 x3
■ 一般解 y=C1*x1+C2*x2+x3 ★
{確かめ} x1;;+p(t)*x1;+q(x)*x1=0 & x2;;+p(t)*x2;+q(x)*x2=0
x3;;+p(t)*x3;+q(x)*x3=f(t)
このとき、
(C1*x1+C2*x2+x3);;+p*(C1*x1+C2*x2+x3);+q*(C1*x1+C2*x2+x3)
=C1*(x1;;+p*x1;+q*x1)+C2*(x2;;+p*x2;+q*x2)+(x3;;+p*x3;+q*x3)
=C1*0+C2*0+f(t)
=f(t)
C1*x1+C2*x2+x3 は、元の2階線型微分方程式の解
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「2階/線型/非斉次/定数係数/微分方程式」 ◆ x=x(t) x''+p*x'+q*x=f〔p,q,f:定数〕 基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3 〔C1,C2:積分定数〕 ■ 基本解の求め方 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t) ■ 特殊解 x3 は、適当に求めて 一般解 x=C1*x2+C2*x2+x3 ■ x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b ① expi(b*t),expi(-b*t) ② cos(b*t),sin(b*t) ③ cos(b*t+α) ■ H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t) |
◆ 2階/線型/線型/微分方程式 x''+p(t)*x'+q(t)*x=0 の解 x1 , x2
■ ロンスキー行列式=x1*x2'-x1'*x2≠0 ⇔ x1 と x2 が独立
☆Wronskii
〓 特殊解を見つける 〓 ◎ x''+p*x'+q*x=定数
◇ 2階線型定数係数微分方程式の基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x
★ x''+x=1 x1=cos(t) , x2=sin(t)
x3=定数 と仮定して求めると x3=1 x=C1*cos(t)+C2*sin(t)+1
★ x''-2*x'=6 x1=exp(2*t) , x2=1
x3=A*t+B と仮定して求めると x3=-3*t+B
x=C1*exp(2*t)+C2-3*t
〓 特殊解を見つける-2- 〓 ◎ x''+p*x'+q*x=(tの1次式)
◇ 2階線型定数係数微分方程式の基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x
★ x''+3*x'+2*x=t x1=exp(-2*t) , x2=exp(-t)
x3=A*t+B と仮定して求めると x3=t/2-3/4
x=C1*exp(-2*t)+C2*exp(-t)+t/2-3/4
〓 特殊解を見つける-3- 〓 ◎ x''+p*x'+q*x=三角関数
◇ 2階線型定数係数微分方程式の基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x
★ x''+x'+x=cos(t) 固有値 h=(-1±i*root3)/2
x1=exp(-t/2)*expi(root3*t/2) , x2=exp(-t/2)*expi(-root3*t/2)
x3=sin(t)
★ x''+2*x'+x=sin(t) x1=exp(-t) , x2=t*exp(-t)
x3=A*cos(t) と仮定して求めると x3=-cos(t)/2
x=C1*exp(-t)+C2*t*exp(-t)-cos(t)/2
★ x''+w0^2*x=A*cos(w*t) 〔w0,w,A:定数 すべて実数〕
●
x''+b^2*x=0 の基本解は、次の3通りの書き方がある
①
expi(b*t),expi(-b*t) ② cos(b*t),sin(b*t) ③ cos(b*t+α)
x1=cos(w0*t) , x2=sin(w0*t)
x3=B*cos(w*t) と仮定して求めると x3=cos(w*t)*A/(w0^2-w^2)
x=C1*cos(w0*t)+C2*sin(w0*t)+cos(w*t)*A/(w0^2-w^2)
※ C1*cos(w0*t)+C2*sin(w0*t) の所は C3*cos(w0*t+C4) でもよい
〓 特殊解を見つける-4- 〓 ◎ x''+p*x'+q*x=複素指数関数
◇ 2階線型定数係数微分方程式の基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x
★ x''+x=expi(2*t) x1=expi(t) , x2=expi(-t) ※ 基本解 cos(t),sin(t) としてもいいけど…
x3=A*expi(2*t) と仮定して求めると x3=-expi(2*t)/3
x=C1*expi(t)+C2*expi(-t)-expi(2*t)/3
★ x''+w0^2*x=A*expi(w*t) 〔w0,A,w:定数〕
x1=expi(w0*t) , x2=expi(-w0*t)
x3=B*expi(w*t) と仮定して求めると x3=A*expi(w*t)/(w0^2-w^2)
x=C1*expi(w0*t)+C2*expi(-w0*t)+A*expi(w*t)/(w0^2-w^2)
〓 1階に直して解く 〓 ★ x''+x=expi(2*t) t=0 で x=x'=0 , x''=1
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● x=C1*expi(t)+C2*expi(-t)-expi(2*t)/3 x'=i*C1*expi(t)-i*C2*expi(-t)-i*2*expi(2*t)/3 t=0 で x=C1+C2-1/3=0 x'=i*C1-i*C2-i*2/3=0 C1=1/2 C2=-1/6 x=expi(t)/2-expi(-t)/6-expi(2*t)/3 |
左辺=x''+i*x'-i*x'+x=(x'+i*x)'-i*(x'+i*x)
ここで x'+i*x=X と置くと X'-i*X=expi(2*t) 1階になった
t=0 で x=x'=0 , x''=1 より t=0 で X=0 , X'=1
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「1階/線型/微分方程式」 ◇ 基本解 x1 特殊解 x2 一般解 x 2015/7 ■ x'+a*x=b 〔a,b:定数〕 x1=exp(-a*t) x2=b/a x=C*x1+x2 ■ 1階/線型/微分方程式 x'+p(t)*x=f(t) ${p(t)*dt}=P(t) x1=exp(-P) x2=${(f/x1)*dt}*x1 x=C*x1+x2 |
X'-i*X=expi(2*t) t=0 で X=0 , X'=1
P=-i*t X1=expi(t)
X2
=${expi(2*t)*expi(-t)*dt}*expi(t)
=${expi(t)*dt}*expi(t)
=-i*expi(t)*expi(t)
=-i*expi(2*t)
X=C*expi(t)-i*expi(2*t)
初期値より C=i X=i*[expi(t)-expi(2*t)] X'=-expi(t)+2*expi(2*t)
元の式に戻して x'+i*x=i*[expi(t)-expi(2*t)]
P=i*t x1=expi(-t)
x2
=${i*[expi(t)-expi(2*t)]*expi(t)*dt}*expi(-t)
=i*${[expi(2*t)-expi(3*t)]*dt}*expi(-t)
=[expi(2*t)/2-expi(3*t)/3]*expi(-t)
=expi(t)/2-expi(2*t)/3
x=C1*expi(-t)+expi(t)/2-expi(2*t)/3
t=0 で x=C1+1/2-1/3=0 C1=-1/6
x=expi(t)/2-expi(-t)/6-expi(2*t)/3 {素晴らしい!できた!2014/7}
★ x''+w0^2*x=A*expi(w*t)〔w0,A,w:定数〕
左辺=(x'+i*w0*x)'-i*w0*(x'+i*w0*x)
ここで x'+i*w0*x=X と置けば X'-i*w0*X=A*expi(w*t)
P=-i*w0*t X1=expi(w0*t)
X2
=${A*expi(w*t)*expi(-w0*t)*dt}*expi(w0*t)
=A*${expi[(w-w0)*t]*dt}*expi(w0*t)
=-i*[A/(w-w0)]*expi(w*t)
X=C*expi(w0*t)-i*expi(w*t)*A/(w-w0)
元の式に戻して x'+i*w0*x=C*expi(w0*t)-i*expi(w*t)*A/(w-w0)
x1=expi(-w0*t)
x2
=${[C*expi(w0*t)-i*expi(w*t)*A/(w-w0)]*expi(w0*t)*dt}*expi(-w0*t)
=${[C*expi(2*w0*t)-i*expi[(w+w0)*t]*A/(w-w0)]*dt}*expi(-w0*t)
=-i*C*expi(w0*t)/(2*w0)-expi(w*t)*A/(w^2-w0^2)
x=C1*expi(-w0*t)-i*C*expi(w0*t)/(2*w0)-expi(w*t)*A/(w^2-w0^2)
積分定数を整理して、
x=C1*expi(w0*t)+C2*expi(-w0*t)+expi(w*t)*A/(w0^2-w^2)
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