☆ 微分方程式.線型/2階/定数係数/斉次 ☆ |
〇 線型=線形 同次=斉次(せいじ) homogeneous 2022.12-2012.12 Yuji.W ★ |
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
〓 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 〓 〇 実数変数 t 実数関数 x(t) 実数定数 p,q 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 x;;t+p*(x;t)+q*x=0 ・(x;t)^2 , x^2 などの項がない x の1次式のみ ・「重ね合わせの原理」が成り立つ 解が2つ x1,x2〔 x2≠x1*(定数倍) 〕のとき、任意の2つの定数 C1,C2
に対して、
{確かめ} (C1*x1+C2*x2);;t+p*[(C1*x1+C2*x2);t]+q*(C1*x1+C2*x2) |
〓 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式を解く 〓 ▢ 実数変数 t 実数関数 x(t) 実数定数 p,q p^2>4*q 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 x;;t+p*(x;t)+q*x=0 指数関数 e^(h*t)=exp(h*t) 微分 ;t ▷ 実数定数 h x=exp(h*t) と仮定する。 x;t=h*exp(h*t) x;;t=h^2*exp(h*t) 与式 h^2*exp(h*t)+p*h*exp(h*t)+q*exp(h*t)=0 exp(h*t)*[h^2+p*h+q]=0 h が次の方程式(特性方程式)を満たせばよい h^2+p*h+q=0 ★ p^2>q のとき、実数解がある。それを h1,h2 〔 h1≠h2 〕とする。 exp(h1*t) と exp(h2*t) は微分方程式を満たす。解である。 基本解 exp(h1*t) , exp(h2*t) ★ 任意の実数定数 C1,C2 一般解 x=C1*exp(h1*t)+C2*exp(h2*t) ★ |
〓 重根の場合 〓 〇 微分方程式 x;;t-2*p*(x;t)+p^2*x=0 特性方程式 h^2-2*p*t+p^2=0 解 h=p 基本解 exp(p*t) , t*exp(p*t) ★ {確かめ} t*exp(p*t) も基本解である事を確かめる。 [t*exp(p*t)];t=(p*t+1)*exp(p*t) [t*exp(p*t)];;t=[(p*t+1)*p+p]*exp(p*t)=p*(p*t+2)*exp(p*t)
[t*exp(p*t)];;t-2*p*{[t*exp(p*t)];t}+p^2*[t*exp(p*t)] |
〓 実数解を持たない場合 〓 〇 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 x;;t-6*(x;t)+11*x=0 特性方程式 h^2-6*h+11=0 h=3±i*√2 基本解 x1=cos(√2*t)*exp(3*t) x2=sin(√2*t)*exp(3*t) ★ {確かめ} x1;t=[-√2*sin(√2*t)+3*cos(√2*t)]*exp(3*t) x1;;t x1;;t-6*(x1;t)+11*x1 x2 も同様 ※ 複素指数関数 e^(a*t)=exp(a*t) e^(i*b*t)=expi(b*t) を使って、 基本解 x1=exp[(3+i*√2)*t]=exp(3*t)*expi(√2*t) x2=exp[(3-i*√2)*t]=exp(3*t)*expi(-√2*t) ★ としてもよい。 オイラーの公式 expi(x)=cos(x)+i*sin(x) と、重ね合わせの原理により、三角関数で表しても、複素指数関数で表しても同じ結果を得る。 |
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