☆お勉強しようUz☆ 数学 微分方程式

2016/12-2012/12 Yuji.W

☆2階線型斉次微分方程式☆

. 数学 微分方程式  2階線型斉次微分方程式 線型=線形 同次=斉次(せいじ) homogeneous

◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

◇2階/線型/斉次/微分方程式◇

◆ x=x(t) 2階/線型/斉次/微分方程式 x''+p(t)*x'+q(t)*x=0

■ 解 x1,x2 のとき x1''+p*x1'+q*x1=x2''+p*x2'+q*x2=0

任意の定数 C1,C2 を使って、C1*x1+C2*x2 を作ると、

 (C1*x1+C2*x2)''+p*(C1*x1+C2*x2)'+q*(C1*x1+C2*x2)
=C1*(x1''+p*x1'+q*x1)+C2*(x2''+p*x2'+q*x2)
=C1*0+C2*0
=0

 C1*x1+C2*x2 も 解 である。「重ね合わせの原理

◇2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式◇

◆ x=x(t) x''=-w^2*x〔w:正の定数〕

■ x'' 「変化の割合の変化の割合」を表す

x>0 で x''<0 グラフは上に凸 x軸の上にあるグラフがx軸に戻って来る

x<0 で x''>0 グラフは下に凸 x軸の下にあるグラフがx軸に戻って来る

グラフは振動する。x は t の三角関数または複素指数関数で表す事ができる .

特性方程式 H(h)=h^2+w^2=0 h=±i*w

解は次の3通りに表せる

@ x=C1*expi(w*t)+C2*expi(-w*t) .

A x=C1*cos(w*t)+C2*sin(w*t)

B x=C1*cos(w*t+C2)

◆ x=x(t) x''=a^2*x〔a:正の定数〕

■ x'' 「変化の割合の変化の割合」を表す

x>0 で x''>0 グラフは下に凸  x<0 で x''<0 グラフは上に凸

グラフは正の無限大または負の無限大に向かう .

特性方程式 H(h)=h^2-a^2=0 h=±a

解 x=C1*exp(a*t)+C2*exp(-a*t) .

◇x''=a*x◇

◆ x=x(t) x''=a*x〔a:正の定数〕

■ 複素数 h を使って、解は x=exp(h*t) と仮定する

 x=exp(h*t) x'=h*exp(h*t) x''=h^2*exp(h*t)

 h^2*exp(h*t)=a*exp(h*t)

 exp(h*t)*(h^2-a)=0 h=±root(a)

一般解 x=C1*exp[root(a)*t]+C2*exp[-root(a)*t] .

 x'=C1*root(a)*exp[root(a)*t]-C2*root(a)*exp[-root(a)*t]

 x''=C1*a*exp[root(a)*t]+C2*a*exp[-root(a)*t]=a*x

◇2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式◇

◆ x=x(t) 2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式 x''+p*x'+q*x=0

p,q:定数 重ね合わせの原理は成り立つ

 基本解 x1,x2 一般解 x=C1*x1+C2*x2

■ 複素数 h を使って、解は x=exp(h*t)   と仮定する。h は、複素数だから、exp(h*t) は、指数的に増加する場合も、振動する場合も表す事ができる。

 x=exp(h*t) x'=h*exp(h*t) x''=h^2*exp(h*t)

 h^2*exp(h*t)+p*h*exp(h*t)+q*exp(h*t)=0

 exp(h*t)*(h^2*+p*h+q)=0 

 H(h)=h^2*+p*h+q=0  特性方程式  その解 h1,h2

 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t) x=C1*exp(h1*t)+C2*exp(h2*t) 

★ x''=-x x''+x=0 x=exp(h*t) と仮定して、特性方程式 h^2+1=0 h=±i

 x=C1*exp(i*t)+C2*exp(-i*t)=C1*[cos(t)+i*sin(t)]+C2*[cos(t)-i*sin(t)]

初期条件を適当につけて、例えば x=x0*cos(t)

★ x''=x x''-x=0 x=exp(h*t) と仮定して、特性方程式 h^2-1=0 h=±1

 x=C1*exp(t)+C2*exp(-t)

初期条件を適当につけて、例えば x=x0*exp(t)

■ 特性方程式の解 h=a±i*b になるとき、

微分方程式の基本解 exp(a*t)*expi(b*t) exp(a*t)*expi(-b*t)

さらにこのとき、基本解 exp(a*t)*cos(b*t) exp(a*t)*sin(b*t) と書いてもよい。

{確かめ} x=exp(a*t)*cos(b*t) が元の微分方程式の解になることを示そう。

 x'=exp(a*t)*[a*cos(b*t)-b*sin(b*t)]

 x''=exp(a*t)*[a^2*cos(b*t)-2*a*b*sin(b*t)-b^2*cos(b*t)]

 [x''-2*a*x'+(a^2+b^2)*x]/exp(a*t)
=[a^2*cos(b*t)-2*a*b*sin(b*t)-b^2*cos(b*t)]
-2*a*[a*cos(b*t)-b*sin(b*t)]
+(a^2+b^2)*cos(b*t)
=a^2*cos(b*t)-2*a*b*sin(b*t)-b^2*cos(b*t)
-2*a^2*cos(b*t)+2*a*b*sin(b*t)
+a^2*cos(b*t)+b^2*cos(b*t)
=0 {めでたしめでたし!2014/7}

 exp(a*t)*sin(b*t) も基本解になる

■ 元の微分方程式 x''-2*a*x'+(a^2+b^2)*x=0 のとき、

解は x=exp(h*t) と仮定して、

 h^2-2*a*h+(a^2+b^2)=0

 h=a±root[a^2-(a^2+b^2)]=a±i*b

基本解 exp(a*t)*expi(b*t) & exp(a*t)*expi(-b*t)

または exp(a*t)*cos(b*t) & exp(a*t)*sin(b*t)

■ 特性方程式 H(h)=0 の解が1つだけ h1 「重根」

微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t)〔

一般解 C1*exp(h1*t)+C2*t*exp(h1*t)

{確かめ} exp(h1*t) が基本解になるのは明か。t*exp(h1*t) が基本解になる事を示そう。

 x=t*exp(h1*t) x'=exp(h1*t)*(1+h1*t) x''=exp(h1*t)*(2*H+H^2*t)

 (x''-2*H*x'+H^2*x)/exp(h1*t)=(2*H+H^2*t)-2*H*(1+h1*t)+H^2*t=0

このとき、元の微分方程式 x''-2*h1*x'+h1^2*x=0

「2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式」 ◆ x=x(t)

2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式 x''+p*x'+q*x=0〔p,q:定数〕

重ね合わせの原理が成り立つ 基本解 x1,x2 一般解 x=C1*x1+C2*x2

■ 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く

h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2

 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t) x=C1*x1+C2*x2

■ x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b

@ expi(b*t),expi(-b*t) A cos(b*t),sin(b*t) B cos(b*t+α)

■ H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t)

◇計算例-2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式◇

★ x''-5*x'+6*x=0

H(h)=h^2-5*h+6=0 h=2,3

微分方程式の基本解 exp(2*t) , exp(3*t)

★ x''-6*x'+13*x=0

H(h)=h^2-6*h+13=0 h=3±2*i

微分方程式の基本解 exp(3*t)*expi(2*t) exp(3*t)*expi(-2*t)

※ 基本解 exp(3*t)*cos(2*t) exp(3*t)*sin(2*t)
一般解 C1*exp(3*t)*cos(2*t+C2) とも書ける

★ x''+4*x'+13*x=0 x(0)=x'(0)=1

H(h)=h^2+4*h+13=0 h=-2±3*i

一般解 x=exp(-2*t)*[C1*expi(3*t)+C2*expi(-3*t)]

 x'=-2*exp(-2*t)*[C1*expi(3*t)+C2*expi(-3*t)]
+i*3*exp(-2*t)*[C1*expi(3*t)-C2*expi(-3*t)]

初期条件より exp(0)*[C1*expi(0)+C2*expi(0)]=1 C1+C2=1

 -2*exp(0)*[C1*expi(0)+C2*expi(0)]+i*3*exp(0)*[C1*expi(0)-C2*expi(0)]=1
 -2*[C1+C2]+i*3*[C1-C2]=1 C1-C2=-i

 C1=(1-i)/2 C2=(1+i)/2

一般解 x=exp(-2*t)*[(1-i)*expi(3*t)+(1+i)*expi(-3*t)]/2

 (1-i)*expi(3*x)+(1+i)*expi(-3*x)
=[expi(3*x)+expi(-3*x)]-i*[expi(3*x)-expi(-3*x)]
=2*cos(3*x)+2*sin(3*x)
=2*[cos(3*x)+sin(3*x)]

※ さらに =2*[cos(3*x)*cos(Pi/4)+sin(3*x)*sin(Pi/4)]*root2
=2*root2*cos(3*x-Pi/4) としてもよい

一般解 x=exp(-2*x)*[cos(3*x)+sin(3*x)] @ 実数解になった{!}

{別解} 一般解 x=exp(-2*x)*[C3*cos(3*x)+C4*sin(3*x)] でもいいし、

 x=C5*exp(-2*x)*cos(3*x+C6) でもよい。

★ x''-6*x'+9*x=0

 H(h)=h^2-6*h+9=0 h=3 一般解 x=exp(3*t)*(C1*t+C2)

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