☆ 微分方程式.線型/2階/定数係数/斉次 ☆

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〇 線型=線形 同次=斉次(せいじ) homogeneous 2022.12-2012.12 Yuji.W  

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 

〓 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 〓 

〇 実数変数 t 実数関数 x(t) 実数定数 p,q 

線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 x;;t+p*(x;t)+q*x=0

・(x;t)^2 , x^2 などの項がない x の1次式のみ 

・「重ね合わせの原理」が成り立つ

解が2つ x1,x2〔 x2≠x1*(定数倍) 〕のとき、任意の2つの定数 C1,C2 に対して、
 C1*x1+C2*x2 も解になる

{確かめ} (C1*x1+C2*x2);;t+p*[(C1*x1+C2*x2);t]+q*(C1*x1+C2*x2)
=C1*[(x1;;t)+p*(x1;t)+q*x1]+C2*[(x2;;t)+p*(x2;t)+q*x2]
=C1*0+C2*0
=0 

〓 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式を解く 〓 

▢ 実数変数 t 実数関数 x(t) 実数定数 p,q p^2>4*q

線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 x;;t+p*(x;t)+q*x=0

指数関数 e^(h*t)=exp(h*t) 微分 ;t

▷ 実数定数 h x=exp(h*t) と仮定する。

 x;t=h*exp(h*t) x;;t=h^2*exp(h*t)

与式 h^2*exp(h*t)+p*h*exp(h*t)+q*exp(h*t)=0

 exp(h*t)*[h^2+p*h+q]=0

h が次の方程式(特性方程式)を満たせばよい h^2+p*h+q=0  

p^2>q のとき、実数解がある。それを h1,h2 〔 h1≠h2 〕とする。

exp(h1*t) と exp(h2*t) は微分方程式を満たす。解である。

基本解 exp(h1*t) , exp(h2*t)  

任意の実数定数 C1,C2 一般解 x=C1*exp(h1*t)+C2*exp(h2*t)  

〓 重根の場合 〓 

〇 微分方程式 x;;t-2*p*(x;t)+p^2*x=0

特性方程式 h^2-2*p*t+p^2=0 解 h=p

基本解 exp(p*t) , t*exp(p*t)  

{確かめ} t*exp(p*t) も基本解である事を確かめる。

 [t*exp(p*t)];t=(p*t+1)*exp(p*t)

 [t*exp(p*t)];;t=[(p*t+1)*p+p]*exp(p*t)=p*(p*t+2)*exp(p*t)

 [t*exp(p*t)];;t-2*p*{[t*exp(p*t)];t}+p^2*[t*exp(p*t)]
=[p*(p*t+2)-2*p*(p*t+1)+p^2*t]*exp(p*t)
=0*exp(p*t)
=0

〓 実数解を持たない場合 〓 

〇 線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式 x;;t-6*(x;t)+11*x=0

特性方程式 h^2-6*h+11=0 h=3±i*√2

基本解 x1=cos(√2*t)*exp(3*t) x2=sin(√2*t)*exp(3*t)  

{確かめ} x1;t=[-√2*sin(√2*t)+3*cos(√2*t)]*exp(3*t)

 x1;;t
={[-2*cos(√2*t)-3*√2*sin(√2*t)+3*[-√2*sin(√2*t)+3*cos(√2*t)]}*exp(3*t)
=[7*cos(√2*t)-6*√2*sin(√2*t)]*exp(3*t)

 x1;;t-6*(x1;t)+11*x1
={[7*cos(√2*t)-6*√2*sin(√2*t)]
-6*[-√2*sin(√2*t)+3*cos(√2*t)]
+11*cos(√2*t)}*exp(3*t)
=0*exp(3*t)
=0  x1 は微分方程式の解である

x2 も同様

※ 複素指数関数 e^(a*t)=exp(a*t) e^(i*b*t)=expi(b*t) を使って、

基本解 x1=exp[(3+i*√2)*t]=exp(3*t)*expi(√2*t)

 x2=exp[(3-i*√2)*t]=exp(3*t)*expi(-√2*t)  としてもよい。

オイラーの公式 expi(x)=cos(x)+i*sin(x) と、重ね合わせの原理により、三角関数で表しても、複素指数関数で表しても同じ結果を得る。

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