〓　1階/線型/微分方程式　〓　

▣ 常微分方程式 ordinary differential equation 1変数

偏微分方程式 partial differential equation 多変数

▣ 変数 t　t の関数 x(t)

1階/線型/常/微分方程式 q(t)*(x;t)+p(t)*x=f(t)

・q(t),p(t),f(t) は、x だけの関数

・(x;t)^2 とか x^3 , 1/x などがない

・普通は、q(t)=1 にする

・f(t)=0 のとき 斉次(同次)　解の1つ(基本解) x1 とすると、

　C*x1 も解になる　※ C 任意の定数

・not[f(t)=0] のとき 非斉次(非同次)　解の1つ(特殊解) \x とすると、

　一般解 C*x1+\x

〓　1階/線型/定数係数微分方程式　〓　

▢ 変数 x　xの関数 y=y(x)　xによる微分 y;x=y'

▣ y'+y=0 ▣　解 y=C*exp(-x)　〔 C:積分定数 〕

{確かめ}　y'=-C*exp(-x)=-y　y'+y=0　‖　

▣ y'-y=0 ▣　解 y=C*exp(x)　〔 C:積分定数 〕

{確かめ}　y'=C*exp(-x)=y　y'-y=0　‖　

▣ y'+y=1 ▣　解 y=C*exp(-x)+1　〔 C:積分定数 〕

{確かめ}　y'=-C*exp(-x)　y'+y=-C*exp(-x)+[C*exp(-x)+1]=1　‖　

▣ y'-y=1 ▣　解 y=C*exp(x)-1　〔 C:積分定数 〕

{確かめ}　y'=C*exp(x)　y'+y=C*exp(x)-[C*exp(x)-1]=1　‖　

〓　1階/線型/斉次/微分方程式　〓　

■ 1階/線型/斉次/微分方程式　(x;t)+p(t)*x=0　

　x;t=-p(t)*x　(1/x)*dx=-p(t)*dt　ln(x)=-${p(t)*dt}+積分定数

　x=C*exp(-P) ★ 〔C:他の条件により定まる定数〕

★ (x;t)+2*t*x=0

　${2*t*dt}=t^2　x=C*exp(-t^2)

★ (x;t)+sin(t)*x=0

　${sin(t)*dt}=-cos(t)　x=C*exp[cos(t)]

〓　1階/線型/定数係数微分方程式　〓　

■ (x;t)+a*x=b 〔a,b:定数〕　基本解 x1　特殊解 \x　一般解 x

基本解[(x;t)+a*x=0 の解のひとつ] x1=exp(-a*t)

\x=定数 ★ と仮定すると　\x;t=0　a*\x=b　\x=b/a

　x=C*x1+\x

{別解}　(x;t)=-a*(x-b/a)　(x-b/a)'=-a*(x-b/a)　x-b/a=X　と置けば　X'=-a*X

　X=C*exp(-a*t)　x-b/a=C*exp(-a*t)　x=C*exp(-a*t)+b/a　{なるほどね!2014/7}

★ (x;t)+x=1

　x1=exp(-t)　\x=1　x=C*exp(-t)+1

★ 落下運動(一様な重力場、速さに比例する抵抗)　 v'+(k/m)*v=g

　x1=exp[-(k/m)*t]

v2=定数 ★ と仮定すると　v2'=0　(k/m)*v2=g　v2=m*g/k

　v=C*exp[-(k/m)*t]+m*g/k

{なんて簡単!2013/11}

〓　1階/線型/微分方程式　〓　

■ 1階/線型/微分方程式　(x;t)+p(t)*x=f(t)　基本解 x1　特殊解 \x　一般解 x

　${p(t)*dt}=P(t)　とする

基本解[(x;t)+p(t)*x=0 の解のひとつ] x1=exp(-P)

\x=F(t)*x1 ★ と仮定すると、

　{exp(-P)}'=-p*exp(-P)　となる事に注意して、

　\x;t=F'*exp(-P)-F*p*exp(-P)=(F'-F*p)*exp(-P)

　(F'-F*p)*exp(-P)+F*p*exp[-${p(t)*dt}=f

　F'*exp(-P)=f

　F'=f*exp(P)

　F=${f*exp(P)*dt}=${(f/x1)*dt}

　\x=[${(f/x1)*dt}*x1 ★

　x=C*1+\x

{やっとわかってきた!40年かかったなあ!2014/7}

〓　例題 (x;t)+a*x=f(t)　〓　

◎ (x;t)+a*x=f(t) 〔a:定数〕

★ (x;t)+x=t　

　P=t　x1=exp(-t)　\x=[${t*exp(t)*dt}]*exp(-t)

　\x=[t*exp(t)-exp(t)]*exp(-t)=t-1　x=C*exp(-t)+t-1

★ (x;t)+x=2*t　

　P=t　x1=exp(-t)

　\x=${2*t*exp(t)*dt}]*exp(-t)=2*[t*exp(t)-exp(t)]*exp(-t)=2*t-2

　x=C*exp(-t)+2*t-2

★ (x;t)+5*x=6*exp(t)　

　P=${5*dt}=5*t　x1=exp(-5*t)

　\x=[${6*exp(t)*exp(5*t)*dt}]*exp(-5*t)=exp(6*t)*exp(-5*t)=exp(t)

　x=C*exp(-5*t)+exp(t)

{やっとわかってきた!2014/7}

〓　例題 (x;t)+p(t)*x=f(t)　〓　

★ (x;t)+2*t*x=2*t　

　P=${2*t*dt}=t^2　x1=exp(-t^2)

見れば、すぐわかって　\x=1

　{確かめ}　\x=[${2*t*exp(t^2)*dt}]*exp(-t^2)=exp(t^2)*exp(-t^2)=1

　x=C*exp(-t^2)+1

★ (x;t)+2*t*x=2*t^3　

　P=${2*t*dt}=t^2　x1=exp(-t^2)

　\x=[${2*t^3*exp(t^2)*dt}]*exp(-t^2)

　\x=[t^2*exp(t^2)-exp(t^2)]*exp(-t^2)=t^2-1

　{確かめ}　\x;t=2*t　\x;t+2*t*x=2*t+2*t*(t^2-1)=2*t^3

　x=C*exp(-t^2)+t^2-1

★ (x;t)-x/t=1+2*t^2　

　P=-${(1/t)*dt}=-ln(t)　x1=exp[ln(t)]=t

　\x=[${[(1+2*t^2)/t]*dt}]*t=(ln(t)+t^2)*t=t*ln(t)+t^3

　{確かめ}　\x;t=ln(t)+t/t+3*t^2

　　\x;t-x/t=[ln(t)+t/t+3*t^2]-[ln(t)+t^2]=1+2*t^2

　x=C*t+t*ln(t)+t^3

〓　(x;t)+p(t)*x=三角関数　〓　

★ (x;t)+sin(t)*x=sin(t)　

　P=${sin(t)*dt}=-cos(t)　x1=exp[cos(t)]

　\x=1　{見てすぐわかる!2015/7}

　{確かめ}　\x
=${sin(t)*exp[-cos(t)]*dt}*exp[cos(t)]
=${exp[-cos(t)]*d(-cos(t))}*exp[cos(t)]
=exp[-cos(t)]*exp[cos(t)]
=1

　x=C*exp[cos(t)]+1

横軸の単位 Pi

★ (x;t)+x*tan(t)=t*cos(t)

　P=${tan(t)*dt}=${(sin(t)/cos(t))*dt}=-${(1/cos(t))*d[cos(t)]}=-ln[cos(t)]

　x1=exp{ln[cos(t)]}=cos(t)

　\x=${[t*cos(t)/cos(t)]*dt}*cos(t)=(1/2)*t^2*cos(t)

　x=C*cos(t)+(1/2)*t^2*cos(t)

{だいぶ積分がわかってきた!2014/7}