☆お勉強しようUz☆ 数学 微分方程式

2016/12-2012/12 Yuji.W

☆1階線型微分方程式☆

. 数学 微分方程式 1階線型微分方程式 同次=斉次(せいじ) homogeneous

◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

☆1階/線型/微分方程式☆

常微分方程式 ordinary differential equation 1変数

偏微分方程式 partial differential equation 多変数

1階/線型/常/微分方程式 q(t)*x'+p(t)*x=f(t)

・q(t),p(t),f(t) は、x だけの関数

・x'^2 とか x^3 , 1/x などがない

・普通は、q(t)=1 にする

・f(t)=0 のとき 斉次(同次) 解の1つ(基本解) x1 とすると、

 C*x1 も解になる ※ C 任意の定数

・not[f(t)=0] のとき 非斉次(非同次) 解の1つ(特殊解) x2 とすると、

 一般解 C*x1+x2

◇1階/線型/斉次/微分方程式◇

■ 1階/線型/斉次/微分方程式 x'+p(t)*x=0 

 dx/dt=-p(t)*x (1/x)*dx=-p(t)*dt ln(x)=-${p(t)*dt}+積分定数

 x=C*exp(-P)  〔C:他の条件により定まる定数〕

★ x'+2*t*x=0

 ${2*t*dt}=t^2 x=C*exp(-t^2)

★ x'+sin(t)*x=0

 ${sin(t)*dt}=-cos(t) x=C*exp[cos(t)]

◇1階/線型/定数係数微分方程式◇

x'+a*x=b 〔a,b:定数〕 基本解 x1 特殊解 x2 一般解 x

基本解[x'+a*x=0 の解のひとつ] x1=exp(-a*t)

x2=定数  と仮定すると x2'=0 a*x2=b x2=b/a

 x=C*x1+x2

{別解} x'=-a*(x-b/a) (x-b/a)'=-a*(x-b/a) x-b/a=X と置けば X'=-a*X

 X=C*exp(-a*t) x-b/a=C*exp(-a*t) x=C*exp(-a*t)+b/a {なるほどね!2014/7}

★ x'+x=1

 x1=exp(-t) x2=1 x=C*exp(-t)+1

★ 落下運動(一様な重力場、速さに比例する抵抗)  v'+(k/m)*v=g

 x1=exp[-(k/m)*t]

v2=定数  と仮定すると v2'=0 (k/m)*v2=g v2=m*g/k

 v=C*exp[-(k/m)*t]+m*g/k

{なんて簡単!2013/11}

◇1階/線型/微分方程式◇

■ 1階/線型/微分方程式 x'+p(t)*x=f(t) 基本解 x1 特殊解 x2 一般解 x

 ${p(t)*dt}=P(t) とする

基本解[x'+p(t)*x=0 の解のひとつ] x1=exp(-P)

x2=F(t)*x1  と仮定すると、

 {exp(-P)}'=-p*exp(-P) となる事に注意して、

 x2'=F'*exp(-P)-F*p*exp(-P)=(F'-F*p)*exp(-P)

 (F'-F*p)*exp(-P)+F*p*exp[-${p(t)*dt}=f

 F'*exp(-P)=f

 F'=f*exp(P)

 F=${f*exp(P)*dt}=${(f/x1)*dt}

 x2=[${(f/x1)*dt}*x1 

 x=C*1+x2

「1階/線型/微分方程式」 ◇ 基本解 x1 特殊解 x2 一般解 x 2015/7

x'+a*x=b 〔a,b:定数〕 x1=exp(-a*t) x2=b/a x=C*x1+x2

■ 1階/線型/微分方程式 x'+p(t)*x=f(t) 

 ${p(t)*dt}=P(t) x1=exp(-P) x2=${(f/x1)*dt}*x1 x=C*x1+x2

{やっとわかってきた!40年かかったなあ!2014/7}

◇例題 x'+a*x=f(t)◇

◎ x'+a*x=f(t) 〔a:定数〕

x'+x=t 

 P=t x1=exp(-t) x2=[${t*exp(t)*dt}]*exp(-t)

● [t*exp(t)]'=exp(t)+t*exp(t) t*exp(t)=[t*exp(t)]'-exp(t)

 ${t*exp(t)*dt}=t*exp(t)-exp(t)

 x2=[t*exp(t)-exp(t)]*exp(-t)=t-1 x=C*exp(-t)+t-1

x'+x=2*t 

 P=t x1=exp(-t)

 x2=${2*t*exp(t)*dt}]*exp(-t)=2*[t*exp(t)-exp(t)]*exp(-t)=2*t-2

 x=C*exp(-t)+2*t-2

x'+5*x=6*exp(t) 

 P=${5*dt}=5*t x1=exp(-5*t)

 x2=[${6*exp(t)*exp(5*t)*dt}]*exp(-5*t)=exp(6*t)*exp(-5*t)=exp(t)

 x=C*exp(-5*t)+exp(t)

{やっとわかってきた!2014/7}

◇例題 x'+p(t)*x=f(t)◇

x'+2*t*x=2*t 

 P=${2*t*dt}=t^2 x1=exp(-t^2)

見れば、すぐわかって x2=1

 {確かめ} x2=[${2*t*exp(t^2)*dt}]*exp(-t^2)=exp(t^2)*exp(-t^2)=1

 x=C*exp(-t^2)+1

x'+2*t*x=2*t^3 

 P=${2*t*dt}=t^2 x1=exp(-t^2)

 x2=[${2*t^3*exp(t^2)*dt}]*exp(-t^2)

● ${t*exp(t)*dt}=t*exp(t)-exp(t)

● ${2*t^3*exp(t^2)*dt}=${t^2*exp(t^2)*d(t^2)}=t^2*exp(t^2)-exp(t^2)

 x2=[t^2*exp(t^2)-exp(t^2)]*exp(-t^2)=t^2-1

 {確かめ} x2'=2*t x2'+2*t*x=2*t+2*t*(t^2-1)=2*t^3

 x=C*exp(-t^2)+t^2-1

x'-x/t=1+2*t^2 

 P=-${(1/t)*dt}=-ln(t) x1=exp[ln(t)]=t

 x2=[${[(1+2*t^2)/t]*dt}]*t=(ln(t)+t^2)*t=t*ln(t)+t^3

 {確かめ} x2'=ln(t)+t/t+3*t^2

  x2'-x/t=[ln(t)+t/t+3*t^2]-[ln(t)+t^2]=1+2*t^2

 x=C*t+t*ln(t)+t^3

◇x'+p(t)*x=三角関数◇

x'+sin(t)*x=sin(t) 

 P=${sin(t)*dt}=-cos(t) x1=exp[cos(t)]

 x2=1 {見てすぐわかる!2015/7}

 {確かめ} x2
=${sin(t)*exp[-cos(t)]*dt}*exp[cos(t)]
=${exp[-cos(t)]*d(-cos(t))}*exp[cos(t)]
=exp[-cos(t)]*exp[cos(t)]
=1

 x=C*exp[cos(t)]+1


横軸の単位 Pi

★ x'+x*tan(t)=t*cos(t)

 P=${tan(t)*dt}=${(sin(t)/cos(t))*dt}=-${(1/cos(t))*d[cos(t)]}=-ln[cos(t)]

 x1=exp{ln[cos(t)]}=cos(t)

 x2=${[t*cos(t)/cos(t)]*dt}*cos(t)=(1/2)*t^2*cos(t)

 x=C*cos(t)+(1/2)*t^2*cos(t)

{だいぶ積分がわかってきた!2014/7}

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