数学-微分　　2014/8-2011/5　　Yuji.W

◎ 微分の意味　微分係数を求める　変化量と微分

◆関数 f(x)　変化量 df(x,dx)=f(x+dx)-f(x)

x の単位量あたりの f(x) の変化量(変化の割合、傾き) df(x,dx)/dx

■dx->0 の極限を考える。当然　df(x,dx)->0　となる。

　{df(x,dx)/dx}->0/0 ? となるが、

ある定数をとる可能性がある。その値を、微分(微分係数)とする。

　f(x) の微分(微分係数)=lim[dx->0]{df(x,dx)/dx} ★

■物理的には、dx->0 までしないで、微少量 dx に対する第1次近似として、考えることが多い。

　変化量 df(x,dx)=f(x+dx)-f(x)=f(x)-f(x-dx)=f(x+dx/2)-f(x-dx/2) とか

　df(x,dx)=f(x+2*dx)-f(x+dx)　などでもよい。さらに、

　df(x,dx)=f(x+2*dx)-f(x)　でもよい。
ただし、df(x,dx)/[2*dx] とする必要がある。

第1次近似として　df(x,dx)=[f(x);x]*dx ★ {重要!これがわかっていないと、物理がわからなくなる!2013/8}

◆関数 f(x,y)

■微少量 dx,dy に対して

　変化量 df(x,y,dx,dy)
=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)
=[f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)-f(x,y)]
=(f;x)*dx + (f;y)*dy ★

◆関数 f(x,y,z)

■微少量 dx,dy,dz に対して

　変化量 df(x,y,z,dx,dy,dz)
=f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)
=(f;x)*dx+(f;y)*dy+(f;z)*dz ★

★f(x)=x^2

　f(x+h)-f(x)=2*x*h+h^2

　(x^2);x=lim[h->0]{[f(x+h)-f(x)]/h}=lim[h->0]{2*x+h}=2*x

★f(x)=x^3

　f(x+h)-f(x)=3*x^2*h+3*x*h^2+h^3

　(x^3);x=lim[h->0]{3*x^2+3*x*h+h^2}=3*x^2

★f(x)=sin(x)

　f(x+h)-f(x)
=sin(x+h)-sin(x)
=sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x)
=sin(x)*[cos(h)-1]+cos(x)*sin(h)

　sin(x);x
=lim[h->0]{sin(x)*[cos(h)-1]/h+cos(x)*sin(h)/h}

=lim[h->0]{h*sin(x)*[cos(h)-1]/h^2+cos(x)*sin(h)/h}
=0*(-1/2)+cos(x)
=cos(x)

◆1次関数 f(x)=a*x+b　f;x=a

■x~x+dx の変化量 df

　df=f(x+dx)-f(x)=[a*(x+dx)+b]-[a*x+b]=a*dx=(f;x)*dx ★

■(x-dx)~x の変化量  df

　df=f(x)-f(x-dx)=[a*x+b]-[a*(x-dx)+b]=a*dx=(f;x)*dx ★

▲同じ形式で表すことができる{!}

◆2次関数 f(x)=a*x^2+b*x+c　f;x=2*a*x+b

■x~x+dx の変化量 df　(dx)^2=0 として

　df
=f(x+dx)-f(x)
=[a*(x+dx)^2+b*(x+dx)+c]-[a*x^2+b*x+c]
=2*a*x*dx+a*(dx)^2+b*dx
=(2*a*x+b)*dx
=(f;x)*dx ★

■(x-dx)~x の変化量  df　(dx)^2=0 として

　df
=f(x)-f(x-dx)
=[a*x^2+b*x+c]-[a*(x-dx)^2+b*(x-dx)+c]
=2*a*x*dx-a*(dx)^2+b*dx
=(2*a*x+b)*dx
=(f;x)*dx ★

▲同じ形式で表すことができる{!}

■

★　微分と変化量　★