☆デルタ関数の体積分Uz

〔お勉強しようUz〕　数学　関数

2017/4-2013/7　Yuji.W

☆デルタ関数の体積分☆

◎ デルタ関数　2次元デルタ関数　3次元デルタ関数

★ 積 *　商 /　微分 ;x　時間微分 '　積分 $　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)
ベクトル <>　単位ベクトル <-u>　縦ベクトル <)　内積 *　外積 #

{まとめ}デルタ関数

『デルタ関数』

■ 1次元デルタ関数 δ(x)

{定義}① x=0 でない所で δ(x)=0　② ${δ(x)*dx}[x:-∞~∞]=1

■ 2次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)=δ2(r.)　r.=root(x^2+y^2)

{定義}① r.=0 でない所で δ2(r.)=0　② $$${δ2(r.)*dV}[全空間]=1

　Δln(r.)=2Pi*δ2(r.)

■ 3次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)*δ(z)=δ3(<r>)

{定義}① r=0 でない所で δ3(<r>)=0　② $$${δ3(<r>)*dV}[全空間]=1

　Δ(1/r)=-4Pi*δ3(<r>)

◇デルタ関数の体積分◇

◎ 電位と電荷密度の関係から、デルタ関数の体積分を求める

◆ 静電場　電荷密度 ρ(x,y,z)　それが作る電場 <E(x,y,z)>　電位 φ(x,y,z)

※ 積分定数は省略

■ Maxwell's equations より　div<E(x,y,z)>=4Pi*ke*ρ(x,y,z)

　<E>=-<grad(φ)>=-<φ;x　φ;y　φ;z>　φ(r)=-${<E>*<ds>}[s:a~b]

　△φ=-4Pi*ke*ρ　解 φ(x,y,z)=ke*$$${[ρ(X,Y,Z)/r]*dV}[全空間]

■ 平面電荷　ρ=δ(z)*σ　のとき　φ(z)=-2Pi*ke*σ*z〔 z>0 〕

直線電荷　ρ=δ2(r.)*λ　のとき　φ(r.)=-2*ke*λ*ln(r.)

点電荷　ρ=δ3(<r>)*Q　のとき　φ(r)=ke*Q/r

■ ポアソン方程式の解と比べると、

平面電荷　ke*σ*$$${[δ(Z)/r]*dV}[全空間]=-2Pi*ke*σ*z

　$$${[δ(Z)/r]*dV}[全空間]=-2Pi*z

同様に直線電荷で　$$${[δ2(r.)/r]*dV}[全空間]=-2*ln(r.)

点電荷で　$$${[δ3(<r>)/r]*dV}[全空間]=1/r

『デルタ関数の体積分』

■ $$${[δ(Z)/r]*dV}[全空間]=-2Pi*z〔 z>0 〕

　$$${[δ2(r.)/r]*dV}[全空間]=-2*ln(r.)

　$$${[δ3(<r>)/r]*dV}[全空間]=1/r

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