お勉強しようUz〕 数学 関数

2017/4-2013/7 Yuji.W

☆デルタ関数☆

◎ デルタ関数 2次元デルタ関数 3次元デルタ関数

★ 積 * 商 / 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #

☆デルタ関数☆

デルタ関数 δ(x) を、次のようなものであると考える。関数とは言えない。

「超関数」distribution

{定義}@ x=0 でない所で δ(x)=0 A ${δ(x)*dx}[x:-∞~∞]=1

■ ${f(x)*δ(x)*dx}[x:-∞~∞]=f(0) ${f(x)*δ(x-a)*dx}[x:-∞~∞]=f(a)

■ ${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}
=f(x)*δ(x-a)-${f;x*δ(x-a)*dx}

 全領域で定積分すると、f(x);x の x=a での値を f(a);x と書くと、

 ${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}[x:-∞~∞]
={f(x)*δ(x-a)}[x:-∞~∞]-${f;x*δ(x-a)*dx}[x:-∞~∞]
=[f(∞)*0-f(-∞)*0]-f(a);x
=-f(a);x

 ${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}[x:-∞~∞]=-f(a);x .

■ フーリエ変換によるデルタ関数

 δ(x)=[1/(2Pi)]*${expi(k*x)*dk}[k:-∞~∞]

☆2次元デルタ関数☆

■ 2次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)=δ2(r.)

{定義}@ r.=0 でない所で δ2(r.)=0 A $$${δ2(r.)*dV}[全空間]=1

※ δ2(0)=∞

■【 Δln(r.) 】※ ln(r.) ではなく、Δln(r.) を考える。

@ r.=0 でない所で Δln(r.)=0

A 領域:円柱(半径r. 高さ1)で積分する。

 Δln(r.)=div<grad[ln(r.)]>=div(<r.u>/r.) に注意して、

 $$${[Δln(r.)*dV}[円柱]=$$${div(<r.u>/r.)*dV}[円柱]

ガウスの定理を使って、

 $$${div(<r.u>/r.)*dV}[円柱]
=$${(<r.u>/r.)*<dS>}[円柱の表面]
=(1/r.)*$${1*dS}[円柱の表面]
=(1/r.)*(2Pi*r.)
=+2Pi

 $$${[Δln(r.)*dV}[円柱]=+2Pi 半径 r. に依らない(無限大でも成り立つ)

@Aより Δln(r.)/(2*Pi)=δ2(r.) .

☆3次元デルタ関数☆

3次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)*δ(z)=δ3(<r>)

{定義} @ r=0 でない所で δ3(<r>)=0 A $$${δ3(<r>)*dV}[全空間]=1

※ δ3(0)=∞

■ ${f(<r>)*δ3(<r>)*dV}=f(0) ${f(<r>)*δ3(<r>-<R>)*dV}=f(<R>)

■【 Δ(1/r) 】※ 1/r ではなく、Δ(1/r) を考える

@ r=0 でない所で Δ(1/r)=0

A 球(半径 r)で積分する

まず Δ(1/r)=div<grad(1/r)>=div(-<ru>/r^2) を使って、

 $$${Δ(1/r)*dV}[球]=-$$${div(<ru>/r^2)*dV}[球]

次に、ガウスの定理を使って、

 $$${div(<ru>/r^2)*dV}[球]
=$${(<ru>/r^2)*<dS>}[球の表面]
=$${(1/r^2)*dS}[球の表面]
=(1/r^2)*$${1*dS}[球の表面]
=(1/r^2)*(4Pi*r^2)
=4Pi

 $$${Δ(1/r)*dV}[球]=-4Pi 半径に依らない(無限大でも成り立つ)

@Aより -Δ(1/r)/(4*Pi)=δ3(<r>) .

{まとめ}デルタ関数

『デルタ関数』

1次元デルタ関数 δ(x)

{定義}@ x=0 でない所で δ(x)=0 A ${δ(x)*dx}[x:-∞~∞]=1

2次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)=δ2(r.) r.=root(x^2+y^2)

{定義}@ r.=0 でない所で δ2(r.)=0 A $$${δ2(r.)*dV}[全空間]=1

 Δln(r.)=2Pi*δ2(r.)

3次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)*δ(z)=δ3(<r>)

{定義}@ r=0 でない所で δ3(<r>)=0 A $$${δ3(<r>)*dV}[全空間]=1

 Δ(1/r)=-4Pi*δ3(<r>)

{まとめ}デルタ関数のポアソン方程式

■ △Po(x,y,z)=δ2(r.) のとき

 右辺=△ln(r.)/(2Pi) だから Po(x,y,z)=ln(r.)/(2Pi)

■ △Po(x,y,z)=δ3(<r>) のとき

 右辺=-Δ(1/r)/(4Pi) だから Po(x,y,z)=-(1/r)/(4Pi)

『デルタ関数のポアソン方程式』

■ △Po(x,y,z)=δ2(r.) Po(x,y,z)=ln(r.)/(2Pi)

■ △Po(x,y,z)=δ3(<r>) Po(x,y,z)=-(1/r)/(4Pi)

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