数学　微分　2021.1-2013.7　Yuji Watanabe

◎ ポアソン方程式　超関数 distribution　★　

◇ 積 *　商 /　微分 ;　偏微分 :　積分 $　　　　　　　　　　　　2021.1.15　000
10^x=Ten(x)　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>,<Au)　内積 *　外積 #

〓〓〓　ラプラシアン　〓〓〓　

■ デカルト座標　△f(x,y,z)=f::x+f::y+f::z

■ 円柱座標(h,a,z)　△f(h,a,z)={[h*(f;h)];h}/h+(f::a)/h^2+f::z

■ 球座標(r,a,b)

　△f(r,a,b)
={[r^2*(f;r)];r}/r^2+{[sin(a)*(f;a)];a}/[r^2*sin(a)]
+(f::b)/[r^2*sin(a)^2]

〓〓〓　ポアソン方程式、定数　〓〓〓　

▢ 1次元関数 f(x)　△=(;;x)　

■ 定数 C1,C2　△[(1/2)*k*x^2+C1*x+C2]=k

▢ 軸対称　円柱座標(h,a,z) で h のみの関数 f(h)　△=(;;h)+(1/h)*(;h)　

■ 定数 C1,C2　△[(1/4)*k*h^2+C1*ln(h)+C2]=k

▢ 球対称　球座標(r,a,b) で r のみの関数 f(r)　△=(;;r)+(2/r)*(;r)　

■ 定数 C1,C2　△[(1/6)*k*r^2+C1/r+C2]=k

〓〓〓　ポアソン方程式の一般解　〓〓〓　

▢ 関数 u(x,y,z) , f(x,y,z)　ポアソン方程式　△u(x,y,z)=-f(x,y,z)

■ 解　u=[1/(4Pi)]*$$${f(x,y,z)*dV/r}[f(x,y,z) がある領域]

　〔 関数  f(x,y,z) の要素と観測点との距離 r　体積要素 dV 〕

〓〓〓　デルタ関数　〓〓〓　

▢ デルタ関数 δ(x) を、次のようなものであると考える。関数とは言えない。

{定義} ① x=0 でない所で δ(x)=0　② δ(0)=∞　③ ${δ(x)*dx}[x:-∞~∞]=1　★　

■ ${f(x)*δ(x)*dx}[x:-∞~∞]=f(0)　${f(x)*δ(x-a)*dx}[x:-∞~∞]=f(a)

■ ${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}=f(x)*δ(x-a)-${f;x*δ(x-a)*dx}

　全領域で定積分すると、f(x);x の x=a での値を f(a);x と書くと、

　${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}[x:-∞~∞]
={f(x)*δ(x-a)}[x:-∞~∞]-${f;x*δ(x-a)*dx}[x:-∞~∞]
=[f(∞)*0-f(-∞)*0]-f(a);x
=-f(a);x

　${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}[x:-∞~∞]=-f(a);x

■ フーリエ変換によるデルタ関数　δ(x)=[1/(2Pi)]*${expi(k*x)*dk}[k:-∞~∞]

■ $$${δ(x)*dV/r}[δ(x) がある領域]=-2Pi*x+積分定数

▢ 円柱座標(h,a,z)　2次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)=δ2(h)

{定義} ① h=0 でない所で δ2(h)=0　② δ2(0)=∞　③ $$${δ2(h)*dV}=1　★　

■ △ln(h)=2*Pi*δ2(h)

■ $$${δ2(h)*dV/r}[δ2(h) がある領域]=-2*ln(h/h0)

▢ 3次元デルタ関数 δ(x)*δ(y)*δ(z)=δ3(<r>)
{定義}　① r=0 でない所で δ3(<r>)=0　② δ3(0)=∞

③ $$${δ3(<r>)*dV}[電荷がある領域]=1

■ ${f(<r>)*δ3(<r>)*dV}=f(0)　${f(<r>)*δ3(<r>-<R>)*dV}=f(<R>)

■ △(1/r)=-4*Pi*δ3(<r>)

■ $$${δ3(r)*dV/r}[f がある領域]=-1/r+積分定数

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