☆クレローの微分方程式Uz

数学微分方程式

2013/11-2012/12　Yuji.W

☆クレローの微分方程式☆

◎ Clairaut

「積分定数」

■ 積分定数 C は一般解を求めたあと、初期値を考えて定めればよい数だから、解を求める途中では、自由に定めることができる。したがって、次のような計算をしてもよい。

　C+k=C　k*C=C　-C=C　C*C=C　exp(C)=C　sin(C)=C　cos(C)=C

◇表示のお約束　ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 成分<A>:y 内積* 外積#
sin(a)=Sa cos(y)=Cy tan(b)=Tb exp(x)=Ex exp(2*x)=E2x
e^(i*x)=expi(x)=Eix ln(x)=Lx ln(2*x)=L2x 10^n=Ten(n)
微分; 2階微分;; 偏微分;y 時間微分' 積分$　物理定数 ★.131107

☆クレローの微分方程式☆

◆ クレローの微分方程式 y=x*y;+f(y;)　y; を x で表せばよい ★.{核心!}

　(x*y;);=y;+x*y;;　だから、

与式の両辺を微分すると　y;=y;+x*y;;+f(y;);　y; が消去されて、

　x*y;;+f(y;);=0

★ y=x*y;-y;^2 ★

両辺を微分すると　y;=y;+x*y;;-2*y;*y;;　

　y;;*(x-2*y;)=0

　① y;;=0　y;=C　or　② y;=x/2

①より　与式に代入して　y=C*x-C^2　一般解

②より　与式に代入して　y=x*(x/2)-(x/2)^2=x^2/4　特異解

★ y=x*y;+y;-y;^2 ★

両辺を微分すると　y;=y;+x*y;;+y;;-2*y;*y;;

　① y;;=0　y;=C　or　② x+1-2*y;=0

①より　y=C*x+C-C^2　一般解

②より　y;=(x+1)/2

　y
=x*(x+1)/2+(x+1)/2-(x+1)^2/4
=(2*x^2+2*x+2*x+2-x^2-2*x-1)/4
=(x^2+2*x+1)/4
=(x+1)^2/4　特異解　{確かめ}　y;=(x+1)/2

★ y=x*y;+1/y; ★

両辺を微分すると　y;=y;+x*y;;-y;;/y;^2

　① y;;=0　y;=C　or　② y;=1/root(x)

　y=C*x+1/C　一般解　or　y=x/root(x)+root(x)=2*root(x)　特異解

★ y=x*y;+root(-y;) ★

両辺を微分すると　y;=y;+x*y;;-(1/2)*y;;/root(-y;)

　① y;;=0　y;=C　or　② 2*x-1/root(-y;)=0　y;=-1/(4*x^2)

　y=C*x+root(-C)　一般解　or　y=-1/(4*x)+1/(2*x)=+1/(4*x)　特異解

★ y=x*y;+root(1+y;^2) ★

両辺を微分すると　y;=y;+x*y;;+y;*y;;/root(1+y;^2)

　① y;;=0　y;=C　or　② x+y;/root(1+y;^2)=0

①より　y=C*x+root(1+C^2)　一般解

②と与式を連立させて、

　x+y;/root(1+y;^2)=0　&　 y=x*y;+root(1+y;^2)

左の式より　x=-y;/root(1+y;^2)　だから、

　 y=-y;^2/root(1+y;^2)+root(1+y;^2)=1/root(1+y;^2)

　x^2+y^2=y;^2/(1+y;^2)+1/(1+y;^2)=1

　x^2+y^2=1　特異解

{別解}　左の式より　y;^2=x^2+x^2*y;^2

　y;^2=x^2/(1-x^2)　y;=+x/root(1-x^2) or y;=-x/root(1-x^2)

　root(1+y;^2)=1/root(1-x^2)

- のとき、与式に代入して、

　y
=-x^2/root(1-x^2)+1/root(1-x^2)
=(1-x^2)/root(1-x^2)
=root(1-x^2)

　y^2=1-x^2　x^2+y^2=1

+ のとき、与式に代入して、

　y
=x^2/root(1-x^2)+1/root(1-x^2)
=(x^2+1)/root(1-x^2)

　y*root(1-x^2)=x^2+1　普通この解は扱わない
{なぜかわからない！2013/11}

☆ 2013 Yuji.W ☆