☆ベルヌーイの微分方程式Uz

数学微分方程式

2013/11-2012/12　Yuji.W

☆ベルヌーイの微分方程式☆

◎ Bernoulli

「積分定数」

■ 積分定数 C は一般解を求めたあと、初期値を考えて定めればよい数だから、解を求める途中では、自由に定めることができる。したがって、次のような計算をしてもよい。

　C+k=C　k*C=C　-C=C　C*C=C　exp(C)=C　sin(C)=C　cos(C)=C

ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 成分<A>:y 内積* 外積#
sin(a)=Sa cos(y)=Cy tan(b)=Tb exp(x)=Ex e^(i*x)=expi(x) 10^n=Ten(n)
微分; 偏微分;y 時間微分' 積分$　表示のお約束　物理定数 ★.131105

◇ベルヌーイの微分方程式◇

◆ ベルヌーイの微分方程式(1階 x,y 非線型)　y;+a(x)*y=b(x)*y^k ★.

■ 置く[Y*y^(k-1)=1]　Y;*y^(k-1)+(k-1)*Y*y^(k-2)*y;=0

　Y;=-(k-1)*Y*y;/y

ベルヌーイの微分方程式の両辺に、まず、-(k-1) を掛けると、

　-(k-1)*y;-(k-1)*a*y=-(k-1)*b*y^k

次に、Y/y を掛けると、

　-(k-1)*y;*Y/y-(k-1)*a*Y=-(k-1)*b*[Y*y^(k-1)]

　Y;-(k-1)*a*Y=-(k-1)*b ★. {素晴らしい、線型になった!}

「ベルヌーイの微分方程式」

■ ベルヌーイの微分方程式(1階 x,y 非線型)　y;+a(x)*y=b(x)*y^k

■ 置く[Y*y^(k-1)=1]

　y;+a*y=b*y^k ⇒ Y;-(k-1)*a*Y=-(k-1)*b

☆計算例☆

「1階/線型/非斉次/常/微分方程式」

■ 1階/線型/非斉次/常/微分方程式　y;+a(x)*y=b(x)

① b(x)=0 のときの解　基本解 y1(x)

② B(x)=${[(b(x)/y1(x)]*dx}　特殊解 \y=y1(x)*B(x)

③ 一般解 y=C*y1+\y

■ a,b 定数係数のとき　非斉次特殊解 a*\y=b　\y=b/a

★ x*y;+y=x^3*y^3

　y;+y/x=x^2*y^3　ベルヌーイの微分方程式 k=3

置く[Y*y^2=1]　Y;-2*Y/x=-2*x^2　線型

斉次方程式 Y;-2*Y/x=0　Y;/Y=2/x　ln(Y)=2*Lx　Y1=x^2

　B=-2*${[x^2/x^2]*dx}=-2*x　\Y=x^2*(-2*x)=-2*x^3

　Y=C*x^2-2*x^3

{確かめ}　Y;=2*C*x-6*x^2

　Y;-2*Y/x=(2*C*x-6*x^2)-2*(C*x^2-2*x^3)/x=-2*x^2

Y*y^2=1 だったから　x^2*y^2*(C-2*x)=1

★ y;+y=x*y^3

　Y*y^2=1 と置いて　Y;-2*Y=-2*x

　斉次方程式の基本解 Y1=exp(2*x)

　B(x)=-2*${x*exp(-2*x)*dx}

ここで　${x*exp(-2*x)*dx}
=${x*[(-1/2)*exp(-2*x)];*dx}
=(-1/2)*x*exp(-2*x)+(1/2)*${exp(-2*x)*dx}
=(-1/2)*x*exp(-2*x)-(1/4)*exp(-2*x)　だから、

　B(x)=x*exp(-2*x)+(1/2)*exp(-2*x)

　非斉次の特殊解 \Y=x+1/2

　一般解 Y=C*exp(2*x)+x+1/2

　yの解 C*y^2*exp(2*x)+x*y^2+y^2/2

★ x*y;-y=3*x^3+2*x

　y;-y/x=3*x^2+2

★ y;+y/x=Lx/x　x=1,y=2

★ x*y;-y=x*(1+2*x^2)　x=1,y=1

　y;-y/x=1+2*x^2

★ x*y;+2*y=E3x　x=1,y=0

　y;+2*y/x=E3x/x

☆ 2013 Yuji.W ☆