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2013/11 Yuji.W |
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| ◎ 1階 x,y 完全微分方程式 積分因子
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◆ y;=-p(x,y)/q(x,y) p(x,y)*dx+q(x,y)*dy=0 ■ 解 f(x,y)=C とする。 0=df=(f;x)*dx+(f;y)*dy f;x=p(x,y) f;y=q(x,y) Δ=p;y-q;x=0 f(x,y)=${p*dx}+C1 f(x,y)=${q*dy}+C2 ★. ※ p;y=f;x;y q;x=f;y;x だから p;y=q;x ★.完全微分 ★ (2*x+3*y)*dx+(3*x+1)*dy=0 Δ=(2*x+3*y);y-(3*x+1);x=3-3=0 完全微分 f(x,y)=${(2*x+3*y)*dx}+C1=x^2+3*x*y+C1 f(x,y)=${(3*x+1)*dy}+C2=3*x*y+y+C2 解 x^2+3*x*y+y=C ★ (x^2-2*y)*dx+(y^2-2*x)*dy=0 Δ=(x^2-2*y);y-(y^2-2*x);x=-2+2=0 完全微分 f(x,y)=${(x^2-2*y)*dx}+C1=x^3/3-2*x*y+C1 f(x,y)=${(y^2-2*x)*dy}=y^3/3-2*x*y+C2 解 x^3+y^3-6*x*y=C ★ y*dx+(x+6*y)*dy=0 y;=-y/(x+6*y) を解こう。 y; を含まない、x,y の関係式を作ればよい。解 f(x,y)=C y;y=1 (x+6*y);x=1 OK! f=${y*dx}+C1=${(x+6y)*dy}+C2 f=x*y+C1=x*y+3*y^2+C2 解 x*y+3*y^2=C ★ (y^2+Ex*Sy)*dx+(2*x*y+Ex*Cy)*dy=0 x=0 , y=Pi/2 (y^2+Ex*Sy);y=2*y+Ex*Cy (2*x*y+Ex*Cy);x=2*y+Ex*Cy OK! f(x,y)=${(y^2+Ex*Sy)*dx}+C1=${(2*x*y+Ex*Cy)*dy}+C2 f(x,y)=x*y^2+Ex*Sy+C1 f(x,y)=x*y^2+Ex*Sy+C2 f(x,y)=x*y^2+Ex*Sy=C C=f(0,Pi/2)=1 解 x*y^2+Ex*Sy=1 {できちゃった!ひとつひとつ自分の手で試行錯誤するのが大事!2013/11} |
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■ p(x,y)*dx+q(x,y)*dy=0 not[p;y=q;x] Δ=p;y-q;x 積分因子 M(x,y) (M*p)*dx+(M*q)*dy=0 が完全微分方程式 (M*p);y=(M;y)*p+M*(p;y) (M*q);x=(M;x)*q+M*(q;x) 上記の2式が等しくなければ困るのだから、 (M;y)*p+M*(p;y)=(M;x)*q+M*(q;x) [(M;y)*p-(M;x)*q]+M*Δ=0 ★. ここで、M;y=0 のとき、 (M;x)/M=Δ/q ln(M)=${(Δ/q)*dx} M(x)=exp[${(Δ/q)*dx}] ★. 同様にして、M;x=0 のとき、 M(y)=exp[${-(Δ/p)*dy}] ★. 2つのうち都合のよい方を選んで、積分定数も適当に決めて、積分因子を定める。 積分因子が求まった。このあと、完全微分方程式を解く。 ★ (4*x*y-x^2)*dx+x^2*dy=0 Δ=(4*x*y-x^2);y+(x^2);x=4*x-2*x=2*x 完全微分でない ${(2*x/x^2)*dy}=${(2/x)*dx}=2*Lx=ln(x^2) 積分因子 M(x)=x^2 (4*x^3*y-x^4)*dx+x^4*dy=0 f(x,y)=${(4*x^3*y-x^4)*dx}+C1=x^4*y-x^5/5+C1 f(x,y)=${x^4*dy}+C2=x^4*y+C2 解 5*x^4*y-x^5=C ★ x*y*dx+(y+x^2)*dy=0 Δ=(x*y);y-(y+x^2);x=x-2*x=-x 完全微分でない ${[x/(x*y)]*dy}=Ly M=exp(Ly)=y x*y^2*dx+(y^2+x^2*y)*dy=0 f(x,y)=${x*y^2*dx}=x^2*y^2/2+C1 f(x,y)=${(y^2+x^2*y)*dy}=y^3/3+x^2*y^2/2+C2 2*y^3+3*x^2*y^2=C ★ (1+2*x)*exp(-y)*dx+2*Ey*dy=0 [(1+2*x)*exp(-y)];y=-(1+2*x)*exp(-y) (2*Ey);x=0 等しくならない! Δ=-(1+2*x)*exp(-y) Δ/[(1+2*x)*exp(-y)]=-1 積分因子 M(y) とすると、 M(y)=exp[${1*dy}]=Ey (1+2*x)*dx+2*Ey^2*dy=0 ★. ${(1+2*x)*dx}=x+x^2 ${2*Ey^2*dy}=exp(2*y) 解 x+x^2+exp(2*y)=C ★. ★ y*dx+(y^2*Cy-x)*dy=0 Δ=y;y-(y^2*Cy-x);x=1+1=2 ${(-2/y)*dy}=-ln(y^2)=ln(1/y^2) M(y)=exp[ln(1/y^2)]=1/y^2 dx/y+(Cy-x/y^2)*dy=0 ★. ${(1/y)*dx}=x/y ${(Cy-x/y^2)*dy}=Sy+x/y 解 Sy+x/y=C ★.
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☆ 2013 Yuji.W ☆
