数学 微分

2014/1-2011　Yuji.W

◎ 合成関数　積　商

◆y=f(x)　z=g(y)=g(f(x))

　x~x+dx ⇔ y+dy ⇔ z+dz

■ dy=(f;x)*dx　dz=(g;y)*dy=(g;y)*(f;x)*dx　だから、

　z;x=(g;y)*(f;x)

★ f(x)=(2*x+3)^3　2*x+3=h　f=h^3

　f;x=h^3;h*(2*x+3);x=3*h^2*2=6*(2*x+3)^2

{別解}　f(x)=8*x^3+36*x^2+54*x+27

　f;x=24*x^2+72*x+54=6*(4*x^2+12*x+9)=6*(2*x+3)^2

■ 関数 f(x)*g(x) を微分したい。

　f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)
=f(x+h)*g(x+h)-f(x+h)*g(x)+f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x)
=f(x+h)*[g(x+h)-g(x)]+[f(x+h)-f(x)]*g(x)

　[f(x)*g(x)];x
=lim[h->0]{[f(x+h)*[g(x+h)-g(x)]+[f(x+h)-f(x)]*g(x)]/h}
=f*g;x+f;x*g
=(f;x)*g+f*(g;x) ★

{別解} 対数をとると　ln|f*g|=ln|f|+ln|g|

微分すると　(f*g);x/(f*g)=(f;x)/f+(g;x)/g

f*g をかけて　(f*g);x=(f;x)*g+f*(g;x)　』

▲ 部分積分に通ずる公式{!}

★ y=(2x+3)*(4x-1)=8*x^2+10x-3

　y;x=(8*x^2+10x-3);x=16x+10

　y;x
=(2x+3);x*(4x-1)+(2x+3)*(4x-1);x
=2*(4x-1)+(2x+3)*4
=8x-2+8x+2
=16x+10

★ y=x^5

　y;x=5*x^4

　y;x
=[(x^3);x]*x^2+x^3*[(x^2);x]
=(3*x^2)*x^2+x^3*(2*x)
=3*x^4+2*x^4
=5*x^4

■ [f(x)/g(x)];x=[(f;x)*g-f*(g;x)]/g^2 ★

{別解} 対数をとると　ln|f/g|=ln|f|-ln|g|

微分すると　(f/g);x/(f/g)=(f;x)/f-(g;x)/g

f/g をかけて　(f*g);x=(f;x)/g-f*(g;x)/g^2=[(f;x)*g-f*(g;x)]/g^2　』

■ [1/g(x)];x=-g;x/g^2 ★  

★ y=(6*x^2+2*x)/(2*x)=3*x+1　y;x=3

　(6*x^2+2*x);x=12*x+2　(2*x);x=2　だから、

　y;x
=[(12*x+2)*(2*x)-(6*x^2+2*x)*2]/(2*x)^2
=12*x^2/(4*x^2)
=3