数学-微分方程式

2014/7-2013/11　Yuji.W

◎ 1変数微分方程式　曲線群の微分方程式　◇ xによる微分 y;　2階微分 y;;

表示のお約束140707　cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 時間微分' 物理定数〔★〕

◎ y;=x　y;=y

◆ 1階/常/微分方程式 y;=f(x,y)

■ xy平面上の座標 (x,y) を定めると、その値に対応した 変化の割合(傾き) y; が定まる。連続するように、その傾きを結んだ曲線が、微分方程式の解を表す。

積分定数によって、曲線の位置は変わる。初期値を定めれば、積分定数は決まり、曲線もただひとつに定まる。

★ y;=x　変化の割合(傾き)=xの値

x=-1 , y;=-1　x=0 , y;=0　x=1 , y;=1　x=2 , y;=2

　解 y=(1/2)*x^2+C

★ y;=y　変化の割合(傾き)=yの値

y=-1 , y;=-1　y=0 , y;=0　y=1 , y;=1　y=2 , y;=2

　(1/y)*y;=1

　ln|y|=x+C　|y|=exp(x+C)=exp(C)*exp(x)

C は任意の定数だから　exp(C) は任意の正の定数で置き換えることができるので、それを C とすると、(最初の C の値とは異なる)

　y>0 で y=C*exp(x)　　y<0 で y=-C*exp(x)　ただし C>0

まとめて、任意の定数 C に対して　y=C*exp(x)

{このあたりをさらっと流して書いてある参考書が多いので、わかりにくくなるのだ!2014/4}

{確かめ}　y;=C*exp(x)=y

▲ x=-1 , y=C/e　x=0 , y=C　x=1 , y=C*e　x=2 , y=C*e^2

※ 積分定数は、任意の定数を足してもよいという形ではない{!}

■ 常微分方程式 ordinary differential equation 1変数

偏微分方程式 partial differential equation 多変数

■ 1階/線型/常/微分方程式 h(x)*y;+a(x)*y=b(x)

・h(x),a(x),b(x) は、x だけの関数

・y;^2 とか y^3 , 1/y などがない

・普通は、h(x)=1 にする

・b(x)=0 のとき 斉次(同次)　解の1つ(基本解) y1 とすると、

　C*y1 も解になる　※ C 任意の定数

・not[b(x)=0] のとき 非斉次(非同次)　解の1つ(特殊解) \y とすると、

　一般解 C*y1+\y

■ 2階/線型/常/微分方程式　h(x)*y;;+a2(x)*y;+a1(x)*y=b(x)

・h(x),a2(x),a1(x),b(x) は、x だけの関数

・y;;^2 とか y^3 , 1/y などがない

・普通は、h(x)=1 にする

・b(x)=0 のとき 斉次(同次)　独立した解2つ(基本解) y1,y2 とすると、

　C1*y1+C2*y2 も解になる　※ C1,C2 任意の定数　重ね合わせの原理

・not[b(x)=0] のとき 非斉次(非同次)　解の1つ(特殊解) \y とすると、

　一般解 C1*y1+C2*y2+\y

◆ xy平面上　原点 O　円周上の任意の点 P

■ 円群 x^2+y^2=a^2

定数(半径) a を含まない式を作る。x で微分して、

　2*x+2*y*y;=0　y*y;+x=0　or　(y;)*(y/x)=-1 ★.円群の微分方程式

y; 円周上の任意の点での、円の接線の傾き
y/x 半径(直線OP)の傾き

　(円の接線の傾き)*(半径の傾き)=-1　(円の接線) ⊥ (半径)

円群の微分方程式は、円の性質を表している ★.

◆ y; や y;; を利用し、パラメータを含まない方程式を作る。 ★.

★ a*y^2=x+b　2*a*y*y;=1　y*y;=1/(2*a)

　y;*y;+y*y;;=0　(y;)^2+y*y;=0

★ y=a*x^2+b*x　y;=2*a*x+b　y;;=2*a

　a=y;;/2　b=y;-2*(y;;/2)*x=y;-y;;*x

　y
=(1/2)*y;;*x^2+(y;-y;;*x)*x
=(1/2)*x^2*y;;+x*y;-x^2*y;;
=-(1/2)*x^2*y;;+x*y;

　x^2*y;;-2*x*y;+2*y=0

★ y=root(x+C)

　y;=1/[2*root(x+C)]　2*y*y;=1

★ y=C/x+C

　y;=-C/x^2　y=-(x^2+x)*y;　(x^2+x)*y;+y=0

★ y=C1*Ex+C2*E2x

　y;=C1*Ex+2*C2*E2x　y;;=C1*Ex+4*C2*E2x

　C1*Ex=2*y;-y;;　C2*E2x=(y;;-y;)/2

　y=(2*y;-y;;)+(y;;-y;)/2=(3/2)*y;-(1/2)*y;;

　y;;-3*y;+2*y=0

※ これを解くと　特性方程式 h^2-3*h+2=0　h=1 , h=2　基本解 Ex , E2x

★ y=C1*x^3+C2*x

　y;=3*C1*x^2+C2　y;;=6*C1*x

　C1=y;;/(6*x)　C2=y;-x*y;;/2

　y=x^2*y;;/6+x*y;-x^2*y;;/2=+x*y;-x^2*y;;/3

　x^2*y;;-3*x*y;+3*y=0

★ x^2+(y-C)^2=9

　2*x+2*(y-C)*y;=0　(y-C)=-x/y;

　x^2+x^2/y;^2=9

　(x^2-9)*y;^2+x^2=0

★ y*y;+x=0　y=root(1-x^2)

　y;=(1/2)*(-2*x)/root(1-x^2)=-x/root(1-x^2)

　y*y;=-x

★ y;;-4*y;+13*y=0　y=C*E2x*C3x

　y;=2*C*E2x*C3x-3*C*E2x*S3x=C*E2x*(2*C3x-3*S3x)

　y;;
=2*C*E2x*(2*C3x-3*S3x)-C*E2x*(6*S3x+9*C3x)
=-C*E2x*(5*C3x+12*S3x)

　y;;-4*y;+13*y
=-C*E2x*(5*C3x+12*S3x)-4*C*E2x*(2*C3x-3*S3x)+13*C*E2x*C3x
=C*E2x*(-5*C3x-12*S3x-8*C3x+12*S3x+13*C3x)
=C*E2x*0
=0

★ x^2*y;;+x*y;=2　y=Lx^2

　y;=2*Lx/x　y;;=2/x^2-2*Lx/x^2=2*(1-Lx)/x^2

　x^2*y;;+x*y;=2*(1-Lx)+2*Lx=2

★　常微分方程式　★