☆お勉強しようUz☆ 数学.微分

2016/4-2012/1 Yuji.W

極限,微分

◎ 極限の意味 極限値の例 微分の意味

☆極限の意味☆

◆ 関数 f(x),g(x) lim[x→0]{f(x)}=0 lim[x→0]{g(x)}=0

 lim[x→0]{f(x)/g(x)}=lim[x→0]{f(x)}/lm[x→0]{g(x)}=0/0 ?

※ 極限値は ∞ でもよい。

■ lim[x→0]{f(x)/g(x)}=0/0 ? ではなく、極限値が意味を持つ場合がある。  lim[x→0]{f(x)/g(x)}=ある値 .

★ x 秒間に s(x) だけ進む s(x→0)=0 だから、

 lim[x→0]{s(x)/x}=0/0 ? ではなく、

s(x)/x は、単位時間当たりに進む距離である。その極限値を求め、その瞬間の速さと考える。

{何度か、このあたりの説明する文章を読んだことがあるが、意味を理解してなかった。やっとわかってきた。40年かかった!2013/7}

☆極限値の例☆

 

0.5

0.1

0.01

x→0

sin(x)/x

0.958

0.998

0.999

1

sin(3*x)/x

1.994

2.955

2.999

3

[1-cos(x)]/x

0.245

0.050

0.005

0

[exp(x)-1]/x

1.297

1.051

1.005

1

x*ln(x)

-0.346

-0.230

-0.046

0

{こういう計算をしないと、極限の意味はつかめない!高校の時にこういう計算を少しでもすれば、もっとよくわかったのに!2014/1}

☆lim[x→0]{x^x} ?☆

◎ lim[x→0]{x^x}=0 にならない

■ 2^x と x^2 を比べる

x

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

2^x

1

1.07

1.15

1.23

1.32

1.41

1.52

1.62

1.74

1.87

2

4

x^2

0.001

0.01

0.04

0.09

0.16

0.25

0.36

0.49

0.64

0.81

1

4

x→+0 で より早く小さくなるのは x^2

■ x^x と ln(x^x)=x*ln(x) を 求める

x

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

x^x

0.95

0.79

0.72

0.70

0.69

0.70

0.74

0.78

0.84

0.91

1

4

x*ln(x)

-0.05

-0.23

-0.32

-0.36

-0.37

-0.35

-0.31

-0.25

-0.18

-0.09

0

1.39

x → +0 で x → +0 ln(x) → -∞ x*ln(x) は x → +0 の効果が勝って、

 x*ln(x) → -0 したがって x → +0 で x^x=1

 lim[x→0]{x^x}=1 .{不思議!知らなかった!2016/7}

■《 x*ln(x) の最小値 》

 y=x*ln(x)

 y;x=ln(x)+1

y;x=0 を解くと ln(x)+1=0 ln(x)=-1

 x=exp(-1)=1/exp(1)=1/e=1/2.7183~0.37

そのとき y=(1/e)*ln(1/e)=-1/e~-0.37

≫ x*ln(x) の最小値 -1/e~-0.37 〔x=1/e~0.37 のとき〕 .

■《 x^x の最小値 》

x=1/e~0.37 のとき 最小値=exp(-1/e)~0.69

■《 x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値 》

x=0.5 のとき 最小値=0.5*ln(0.5)+(1-0.5)*ln(1-0.5)=ln(0.5)=-ln(2)~-0.69

『x*ln(x)』 2016/7

■ x=1/e~0.37 のとき x*ln(x) の最小値=-1/e~-0.37

■ x=0.5 のとき x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値=-ln(2)~-0.69

■ x=1/e~0.37 のとき x^x の最小値=exp(-1/e)~0.69

☆微分の意味☆

■ 任意の関数 f(x)

 lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}=0 lim[h→0]{h}=0

 lim[h→0]{[f(x+h)-f(x)]/h}=0/0 ? ではなく、

 lim[h→0]{[f(x+h)-f(x)]/h}=ある値 となる場合がある。

それを、f(x) の微分とする。

 f(x);x=lim[h→0]{[f(x+h)-f(x)]/h} .

{微分の意味がやっとわかってきた!高校時代は、わかってなかったなあ!2013/9}

■ |h|<<1 のとき、

 f(x+h)-f(x)=(f;x)*h .{物理にとてもよく出てくる!2013/10}

☆物理での微分☆

◆ 任意の関数 f(x) y1=f(x1) y2=f(x2)

Δx=x2-x1 Δy=y2-y1 |Δx|<<1 & |Δy|<<1

■ Δy/Δx=y;x=dy/dx .

左辺は割り算、右辺は割り算ではなく微分であって、等しくはないのだが、おおよそ等しい値になるので、物理では、等しいものとして立式していく事が多い。

{わかってなかったなあ!説明もされなかったなあ!2016/4}

さらに、dy や dx そのものには、数学的な意味はないのだが、(dy/dx として微分)、

 dy=Δy dx=Δx の意味として、dy や dx を単独に使う。

 Δy=(y;x)*Δx=(dy/dx)*Δx の代わりに dy=(y;x)*(dx)=(dy/dx)*(dx) .

{以上の事を理解していないと、微分を物理に利用できなくなる!2016/4}

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