| ☆お勉強しようUz☆ 数学.微分 |
2016/4-2012/1 Yuji.W |
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☆極限,微分☆ |
◎ 極限の意味 極限値の例 微分の意味
| ☆極限の意味☆ |
◆ 関数 f(x),g(x) lim[x→0]{f(x)}=0 lim[x→0]{g(x)}=0
lim[x→0]{f(x)/g(x)}=lim[x→0]{f(x)}/lm[x→0]{g(x)}=0/0 ?
※ 極限値は ∞ でもよい。
■ lim[x→0]{f(x)/g(x)}=0/0 ? ではなく、極限値が意味を持つ場合がある。 lim[x→0]{f(x)/g(x)}=ある値 ★.
★ x 秒間に s(x) だけ進む s(x→0)=0 だから、
lim[x→0]{s(x)/x}=0/0 ? ではなく、
s(x)/x は、単位時間当たりに進む距離である。その極限値を求め、その瞬間の速さと考える。
{何度か、このあたりの説明する文章を読んだことがあるが、意味を理解してなかった。やっとわかってきた。40年かかった!2013/7}
| ☆極限値の例☆ |
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0.5 |
0.1 |
0.01 |
x→0 |
|
sin(x)/x |
0.958 |
0.998 |
0.999 |
1 |
|
sin(3*x)/x |
1.994 |
2.955 |
2.999 |
3 |
|
[1-cos(x)]/x |
0.245 |
0.050 |
0.005 |
0 |
|
[exp(x)-1]/x |
1.297 |
1.051 |
1.005 |
1 |
|
x*ln(x) |
-0.346 |
-0.230 |
-0.046 |
0 |
{こういう計算をしないと、極限の意味はつかめない!高校の時にこういう計算を少しでもすれば、もっとよくわかったのに!2014/1}
| ☆lim[x→0]{x^x} ?☆ |
◎ lim[x→0]{x^x}=0 にならない
■ 2^x と x^2 を比べる
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x |
0.01 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1 |
2 |
|
2^x |
1 |
1.07 |
1.15 |
1.23 |
1.32 |
1.41 |
1.52 |
1.62 |
1.74 |
1.87 |
2 |
4 |
|
x^2 |
0.001 |
0.01 |
0.04 |
0.09 |
0.16 |
0.25 |
0.36 |
0.49 |
0.64 |
0.81 |
1 |
4 |
x→+0 で より早く小さくなるのは x^2
■ x^x と ln(x^x)=x*ln(x) を 求める
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x |
0.01 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1 |
2 |
|
x^x |
0.95 |
0.79 |
0.72 |
0.70 |
0.69 |
0.70 |
0.74 |
0.78 |
0.84 |
0.91 |
1 |
4 |
|
x*ln(x) |
-0.05 |
-0.23 |
-0.32 |
-0.36 |
-0.37 |
-0.35 |
-0.31 |
-0.25 |
-0.18 |
-0.09 |
0 |
1.39 |
x → +0 で x → +0 ln(x) → -∞ x*ln(x) は x → +0 の効果が勝って、
x*ln(x) → -0 したがって x → +0 で x^x=1
lim[x→0]{x^x}=1 ★.{不思議!知らなかった!2016/7}
■《 x*ln(x) の最小値 》
y=x*ln(x)
y;x=ln(x)+1
y;x=0 を解くと ln(x)+1=0 ln(x)=-1
x=exp(-1)=1/exp(1)=1/e=1/2.7183~0.37
そのとき y=(1/e)*ln(1/e)=-1/e~-0.37
≫ x*ln(x) の最小値 -1/e~-0.37 〔x=1/e~0.37 のとき〕 ★.
■《 x^x の最小値 》
x=1/e~0.37 のとき 最小値=exp(-1/e)~0.69
■《 x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値 》
x=0.5 のとき 最小値=0.5*ln(0.5)+(1-0.5)*ln(1-0.5)=ln(0.5)=-ln(2)~-0.69
|
『x*ln(x)』 2016/7
■ x=1/e~0.37 のとき x*ln(x) の最小値=-1/e~-0.37 ■ x=0.5 のとき x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値=-ln(2)~-0.69 ■ x=1/e~0.37 のとき x^x の最小値=exp(-1/e)~0.69 |
■
| ☆微分の意味☆ |
■ 任意の関数 f(x)
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}=0 lim[h→0]{h}=0
lim[h→0]{[f(x+h)-f(x)]/h}=0/0 ? ではなく、
lim[h→0]{[f(x+h)-f(x)]/h}=ある値 となる場合がある。
それを、f(x) の微分とする。
f(x);x=lim[h→0]{[f(x+h)-f(x)]/h} ★.
{微分の意味がやっとわかってきた!高校時代は、わかってなかったなあ!2013/9}
■ |h|<<1 のとき、
f(x+h)-f(x)=(f;x)*h ★.{物理にとてもよく出てくる!2013/10}
| ☆物理での微分☆ |
◆ 任意の関数 f(x) y1=f(x1) y2=f(x2)
Δx=x2-x1 Δy=y2-y1 |Δx|<<1 & |Δy|<<1
■ Δy/Δx=y;x=dy/dx ★.
左辺は割り算、右辺は割り算ではなく微分であって、等しくはないのだが、おおよそ等しい値になるので、物理では、等しいものとして立式していく事が多い。
{わかってなかったなあ!説明もされなかったなあ!2016/4}
さらに、dy や dx そのものには、数学的な意味はないのだが、(dy/dx として微分)、
dy=Δy dx=Δx の意味として、dy や dx を単独に使う。
Δy=(y;x)*Δx=(dy/dx)*Δx の代わりに dy=(y;x)*(dx)=(dy/dx)*(dx) ★.
{以上の事を理解していないと、微分を物理に利用できなくなる!2016/4}
★ 極限,微分 ★