☆ 複素2次方程式 ☆

《 お勉強しよう　数学　複素数　行列,テンソル　Python 》

〇 複素数　2次方程式　2022.12-2019.6　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　負の数の平方根　〓　

〇 虚数単位 i

　(2乗すると -1 になる数)=±i

ネイピア数 e を使って　(2乗すると -1 になる数)=e^(i*π/2) , e^(i*3*π/2)

-1 に対して、「-1 の平方根」を次のように定義する。

　(-1 の平方根)=(2乗すると -1 になる数のうち、虚数部が正のもの)=+i　★　

次のように表す　(-1 の平方根)=root(-1)=√(-1)=+i

〇 任意の負の実数 -x〔 x>0 〕に対して、　　

　(-x の平方根)=(2乗すると -x になる数のうち、虚数部が正のもの)　★　

　(-x の平方根)=root(-x)=√(-x)=+i*√x　★　

★ root((-9)=i*3　root(-16)=i*4　root(-2)=i*√2　root(-3)=i*√3

〓　負の数の平方根の計算　〓　

〇 root[(-4)*9]=root(-36)=i*√36=i*6

一方　root(-4)*root(9)=(i*2)*3=i*6

⇒　root[(-4)*9]=root(-4)*root(9)　★　

〇 root[(-4)*(-9)]=√36=6

一方　root(-4)*root(-9)=(i*2)*(i*3)=i^2*6=-6

⇒　root[(-4)*(-9)]≠root(-4)*root(-9)　★　こういう分解はできない{!}

〓　係数が実数の2次方程式　〓　

〇 実数 p,q　複素数 z　zの2次方程式 z^2+p*z+q=0　判別式 D=p^2-4*q

 D≧0　のとき　解 z=[-p±root(D)]/2

 D<0　のとき　解 z=[-p±i*root(-D)]/2　★　

▲ ある複素数が解であるとき、その複素共役も解になる。

★ z^2+z+1=0　D=1-4=-3　解 z=(-1±i*√3)/2

〓　{計算例}複素2次方程式　〓　

▢ 複素2次方程式　z^2-7*i*z-10=0

▷ (z-2*i)*(z-5*i)=0

　z=2*i , 5*i

{別解}　解の公式を使う

　D=(-7*i)^2-4*(-10)=-49+40=-9　root(D)=root(-9)=i*3

　z=(+7*i±i*3)/2

　z=2*i , 5*i

▲ 複素共役が解になるわけではない{!}

▢ 複素2次方程式　z^2-(1+i)*z+i=0

▷ (z-i)*(z-1)=0

　z=i , 1

{別解}　解の公式を使う

　D=(1+i)^2-4*i=2*i-4*i=-2*i=-2*e^(i*π/2)

　root(D)=root[-2*e^(i*π/2)]=root(-2)*root[e^(i*π/2)]

ここで　root(-2)=i*√2　root[e^(i*π/2)]=e^(i*π/4)=(1+i)/√2

　root(D)=(i*√2)*[(1+i)/√2]=-1+i

　z=[(1+i)±(-1+i)]/2

　z=2*i/2=i　,　z=2/2=1

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