◇ベクトルの直交化

　数学-ベクトル　　2014/7-2012/4　　Yuji.W

☆ ベクトル直交化 ☆

◎ 〔★〕

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

◇◇

◎

◆

■2つのベクトル<a>とを含む平面内にあって、
<a>に垂直なベクトル<a⊥>

<a⊥>=-(*<au>)<au>=-(*<a>)<a>/a^2

「ベクトルの直交化」

■2つのベクトル<a>とを含む平面内にあって、
<a>に垂直なベクトル<a⊥>

<a⊥>=-(*<a>)<a>/a^2

{注}は<a>と平行でない。

{注}大きさを1にすれば、「正規直交化」となる。

{確認}

<a>*<a⊥>=<a>*-(*<a>)<a>*<a>/a^2
=<a>*-*<a>=0

{考え方}

(*<au>)<au>=(の<au>方向成分)<au>
=[の先から、<a>に下ろした垂線の足の位置ベクトル]

-(*<au>)<au>=[垂線の足から、の先に向かうベクトル]
=<a⊥>

■そもそも<a>⊥であれば、

<a⊥>=-(*<au>)<au>=-(*<a>)<a>/a^2=■

■

◇シュミットの正規直交化法-3行3列行列◇

◎ 直交ベクトル <An1),<An2),<An3)

<An1>*<An2)=<An2>*<An3)=<An3>*<An1)=0

正規直交ベクトル <Au1),<Au2),<Au3)

<Au1)=<An1)/|<An1)|
　<Au2)=<An2)/|<An2)|
　<Au3)=<An3)/|<An3)|

◆ 固有ベクトル <A1),<A2),<A3) から、

直交ベクトル <An1),<An2),<An2) を作ろう

手順①　<An1)=<A1)

手順②　<An2)=<A2)-(<A2>*<A1))*<A1)/|<A1)|^2

{確かめ}　<An1>*<An2)
=<A1>*<<A2)-(<A2>*<A1))*<A1)/|<A1)|^2)
=<A1>*<A2)-(<A2>*<A1))*<A1>*<A1)/|<A1)|^2)
=<A1>*<A2)-<A2>*<A1)
=0　　<An1>⊥<An2)

手順③　<An3)
=<A3)
-(<A3>*<An1))*<An1)/|<An1)|^2
-(<A3>*<An2))*<An2)/|<An2)|^2

{確かめ}　<An1>*<An3)
=<An1>*
[<A3)
-(<A3>*<An1))*<An1)/|<An1)|^2
-(<A3>*<An2))*<An2)/|<An2)|^2]
=<An1>*<A3)-<A3>*<An1)　　※ <An1>*<An2)=0
=0　　<An1>⊥<An3)

<An2>*<An3)
=<An2>*
[<A3)
-(<A3>*<An1))*<An1)/|<An1)|^2
-(<A3>*<An2))*<An2)/|<An2)|^2]
=<An2>*<A3)-<A3>*<An2)　　※ <An2>*<An1)=0
=0　　<An2>⊥<An3)

まとめて、

手順①　<An1)=<A1)

手順②　<An2)=<A2)-(<A2>*<A1))*<A1)/|<A1)|^2

手順③　<An3)
=<A3)
-(<A3>*<An1))*<An1)/|<An1)|^2
-(<A3>*<An2))*<An2)/|<An2)|^2

■ 正規直交ベクトルを作るには、大きさを 1 にすればよいのだから、

手順①　<Au1)=<A1)/|<A1)|

手順②　<An2)=<A2)-(<A2>*<Au1))*<Au1)

<Au2)=<An2)/|<An2)|

手順③　<An3)
=<A3)-(<A3>*<Au1))*<Au1)-(<A3>*<Au2))*<Au2)

<Au3)=<An3)/|<An3)|

「3行3列正規直交行列を作る-シュミットの正規直交化法」

◆ 固有ベクトル <A1),<A2),<A3)

①　<Au1)=<A1)/|<A1)|

②　<An2)=<A2)-(<A2>*<Au1))*<Au1)　<Au2)=<An2)/|<An2)|

③　<An3)=<A3)-(<A3>*<Au1))*<Au1)-(<A3>*<Au2))*<Au2)

<Au3)=<An3)/|<An3)|

■

◇◇

◎

◆

■

★　ベクトルの直交化　★