◇ベクトル直線,平面◇ |
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yuji.W 2012/4 |
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★直線や平面をベクトルで表す。中学校、高校で習わなかった。 |
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◇平面上の直線◇ |
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■ax+by=h ⇔ y=-(a/b)x+h/b ⇔ <r>=<x,y>=<1,-a/b>t+<0,h/b> ⇔ x=t y=-(a/b)t+h/b ⇔ 方向ベクトル<1,-a/b> ∝ <b,-a> {注} t はパラメータ {注}<r>=<x,y>=<b,-a>t+<0,h/b> でもよい。 {注}<0,h/b>も、直線が通る、任意の位置ベクトル<x0,x0>でよい。 <r>=<b,-a>t+<x0,y0> ★ ■点<r0>=<x0,y0>を通り、方向ベクトルが<d>=<a,b>である直線 <r>-<r0>=<d>t ⇔ (x-x0)/a=(y-y0)/b ■直線 ax+by=h に垂直なベクトル <a,b> {確認}<a,b>*<b,-a>=ab-ba=0 点<r0>=<x0,y0>を通る垂直線 <r>-<r0>=<a,b>t ★ ■直線 ax+by=h に垂直で、原点を通る直線 <r>=<a,b>t ★ |
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◇平面上の2直線の交点◇ |
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■2直線 ax+by=h Ax+By=H の交点 x=(Hb-hB)/(Ab-aB) y=(hA-Ha)/(Ab-aB) {注}初めに、h=H となるようにしておけば、 x=-h(B-b)/(Ab-aB) y=h(A-a)/(Ab-aB) ■2直線 ax+by=h Ax+By=H の交点 x=bt y=-at+h/b x=BT y=-AT+H/B t=(Hb-hB)/[(Ab-aB)*b] T=(Hb-hB)/[(Ab-aB)*B] <x,y>=<b,-a>(Hb-hB)/[(Ab-aB)*b]+<0,h/b> x=(Hb-hB)/(Ab-aB) y=(hA-Ha)/(Ab-aB) |
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◇平面上の直線までの距離◇ |
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■直線 ax+by=h ⇔ <x,y>=<b,-a>t+<0,h/b> 原点を通る垂線 <x,y>=<a,b>T 2直線の交点 <b,-a>t+<0,h/b>=<a,b>T bt=aT -at+h/b=bT t=ah/[b(a^2+b^2)] T=h/(a^2+b^2) x=a*h/(a^2+b^2) y=bh/(a^2+b^2) 原点から直線までの距離 root(x^2+y^2)=|h|/root(a^2+b^2) ★ ■[点<p,q>から直線
ax+by=h までの距離]
{別解}[点<p,q>から直線
ax+by=h までの距離] |
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◇空間上の直線◇ |
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■点<x0,y0,z0>を通り、方向ベクトル<a,b,c>を持つ、直線 <r>=<x,y,z>=<a,b,c>t+<x0,y0,z0> ⇔ x-x0=at y-y0=bt z-z0=ct ⇔ (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c 式2個の連立方程式 ■<A>=<a,b,c>と、z軸を含む平面内にあって、<A>に垂直なベクトル<A⊥> 直交化を使って、
<A⊥>=<0,0,1>-(<0,0,1>*<a,b,c>)<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2)
{確認}<a,b,c>*<ca,cb,-(a^2+b^2)> {計算例}<<1,1,1>に垂直なベクトル>=<1,1,-2> 必要なら、正規化して、(1/root[6])<1,1,-2> {計算例}xy平面上で、<a,b,0>に垂直なベクトル y軸を含むと考えて、 <ba,-a^2,0> ∝ <b,-a,0> |
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◇空間上の2直線の交点◇ |
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■次の2直線の交点 x-x0=at y-y0=bt z-z0=ct x-X0=AT y-Y0=BT z-Z0=CT (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c (x-X0)/A=(y-Y0)/B=(z-Z0)/C |
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◇空間上の平面◇ |
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■平面の法線ベクトル<n>=<a,b,c> <nu>=<a,b,c>/root(a^2+b^2+c^2) 点<r0>=<x0,y0,z0> を通る平面 <r>=<x,y,z> [<r>-<r0>]*<n>=0 ⇔ ax+by+cz=a*x0+b*y0+c*z0=d ⇔ a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 ★空間上の平面を表す式 ■点<x0,y0,z0>を通り、2つのベクトル<L>,<M>に平行な直線 法線ベクトル<L>#<M>=<a,b,c> になった場合、 a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 ★空間上の平面を表す式 ■原点から平面までの距離D <x0,y0,z0>が、原点からの法線と、平面との交点の場合、 D=root[(x0)^2+(y0)^2+(z0)^2] <x0,y0,z0>=D<nu> {注}Dはマイナスの時もありうる 0=[<r>-D<nu>]*<n>=<r>*<n>-D<nu>*<n> ax+by+cz=D*root[a^2+b^2+c^2] |D|=(ax+by+cz)/root[a^2+b^2+c^2] ■原点から平面への垂線の足の座標<N> <N>=D<nu> {計算例}平面
x+y+z=1 D=1/root(3)=root(3)/3 <N>=<1,1,1>/3 ■点<p,q,r>から、平面 ax+by+cz=d までの距離D D=[原点から、平面
a(x-p)+b(y-q)+c(z-r)=d までの距離]
■平面の法線ベクトル<a,b,c> 法線ベクトルに垂直なベクトルを2つ作る。 <n⊥x>=<1,0,0>-(<1,0,0>*<a,b,c>)<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2) <n⊥y>=<0,1,0>-(<0,1,0>*<a,b,c>)<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2) 点<0,0,d/c>を通る平面 <x,y,z-d/c> ■原点から、平面 ax+bx+cz=d への垂線の足の座標<N> <x,y,z>=<a,b,c>T aT=(b^2+c^2)s-abt 未知数は
T,s,t の3つ、式は3つだから、解けて、 そのとき、垂線の足の座標<N>は、 <N>=<a,b,c>T=d<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2) ★ ▲前記の結果と一致している{素晴らしい!} |
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◇ベクトル直線,平面◇ |
I wish you happy!