◇ベクトル直線,平面◇

yuji.W 2012/4

★直線や平面をベクトルで表す。中学校、高校で習わなかった。

表示の約束、物理定数、単位

◇平面上の直線◇

■ax+by=h ⇔ y=-(a/b)x+h/b ⇔ <r>=<x,y>=<1,-a/b>t+<0,h/b>

 ⇔ x=t y=-(a/b)t+h/b ⇔ 方向ベクトル<1,-a/b> ∝ <b,-a>

{注} t はパラメータ

{注}<r>=<x,y>=<b,-a>t+<0,h/b> でもよい。

{注}<0,h/b>も、直線が通る、任意の位置ベクトル<x0,x0>でよい。

 <r>=<b,-a>t+<x0,y0> ★

■点<r0>=<x0,y0>を通り、方向ベクトルが<d>=<a,b>である直線

 <r>-<r0>=<d>t ⇔ (x-x0)/a=(y-y0)/b

■直線 ax+by=h に垂直なベクトル <a,b>

{確認}<a,b>*<b,-a>=ab-ba=0

 点<r0>=<x0,y0>を通る垂直線 <r>-<r0>=<a,b>t ★

■直線 ax+by=h に垂直で、原点を通る直線 <r>=<a,b>t ★

◇平面上の2直線の交点◇

■2直線 ax+by=h Ax+By=H の交点

 x=(Hb-hB)/(Ab-aB) y=(hA-Ha)/(Ab-aB)

{注}初めに、h=H となるようにしておけば、

 x=-h(B-b)/(Ab-aB) y=h(A-a)/(Ab-aB)

■2直線 ax+by=h Ax+By=H の交点
 <x,y>=<b,-a>t+<0,h/b> <x,y>=<B,-A>T+<0,H/B>

 x=bt y=-at+h/b x=BT y=-AT+H/B

 t=(Hb-hB)/[(Ab-aB)*b] T=(Hb-hB)/[(Ab-aB)*B]

 <x,y>=<b,-a>(Hb-hB)/[(Ab-aB)*b]+<0,h/b>

 x=(Hb-hB)/(Ab-aB) y=(hA-Ha)/(Ab-aB)

◇平面上の直線までの距離◇

■直線 ax+by=h ⇔ <x,y>=<b,-a>t+<0,h/b>

原点を通る垂線 <x,y>=<a,b>T

2直線の交点 <b,-a>t+<0,h/b>=<a,b>T

 bt=aT -at+h/b=bT

 t=ah/[b(a^2+b^2)] T=h/(a^2+b^2)

 x=a*h/(a^2+b^2) y=bh/(a^2+b^2)

原点から直線までの距離 root(x^2+y^2)=|h|/root(a^2+b^2) ★

■[点<p,q>から直線 ax+by=h までの距離]
=[原点から直線 a(x+p)+b(y+q)=h までの距離]
=[原点から直線 ax+by=-ap-bq+h までの距離]
=|ap+bq-h|/root(a^2+b^2)

「直線までの距離」

 [点<p,q>から直線 ax+by=h までの距離]
=|ap+bq-h|/root(a^2+b^2)

{別解}[点<p,q>から直線 ax+by=h までの距離]
=[原点から直線 ax+by=h までの距離]
-[<p,q>の <a,b>/root(a^2+b^2) への成分]
=|h|/root(a^2+b^2)-<p,q>*<a,b>/root(a^2+b^2)
=|h-ap-bq|/root(a^2+b^2)=|ap+bq-h|/root(a^2+b^2)

◇空間上の直線◇

■点<x0,y0,z0>を通り、方向ベクトル<a,b,c>を持つ、直線

 <r>=<x,y,z>=<a,b,c>t+<x0,y0,z0>

 ⇔ x-x0=at y-y0=bt z-z0=ct

 ⇔ (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c 式2個の連立方程式

■<A>=<a,b,c>と、z軸を含む平面内にあって、<A>に垂直なベクトル<A⊥>

直交化を使って、

「ベクトルの直交化」

■2つのベクトル<a>と<b>を含む平面内にあって、
<a>に垂直なベクトル<a⊥>

 <a⊥>=<b>-(<b>*<a>)<a>/a^2

 <A⊥>=<0,0,1>-(<0,0,1>*<a,b,c>)<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2)
∝ <-ca,-cb,a^2+c^2>

「垂線」

■<a,b,c>に垂直なベクトル ∝ <ca,cb,-(a^2+b^2)>

{注}z軸と<a,b,c>を含む平面にある場合

■<a,b,c>に垂直なベクトル ∝ <ba,-(a^2+c^2),bc>

{注}y軸と<a,b,c>を含む平面にある場合

{確認}<a,b,c>*<ca,cb,-(a^2+b^2)>
=c*a^2+c*b^2-c*(a^2+b^2)=0


{計算例}<<1,1,1>に垂直なベクトル>=<1,1,-2>

必要なら、正規化して、(1/root[6])<1,1,-2>


{計算例}xy平面上で、<a,b,0>に垂直なベクトル y軸を含むと考えて、

 <ba,-a^2,0> ∝ <b,-a,0>

◇空間上の2直線の交点◇

■次の2直線の交点
 <x,y,z>=<a,b,c>t+<x0,y0,z0> <x,y,z>=<A,B,C>T+<A0,B0,Z0>

 x-x0=at y-y0=bt z-z0=ct x-X0=AT y-Y0=BT z-Z0=CT

 (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c (x-X0)/A=(y-Y0)/B=(z-Z0)/C

◇空間上の平面◇

■平面の法線ベクトル<n>=<a,b,c> <nu>=<a,b,c>/root(a^2+b^2+c^2)

 点<r0>=<x0,y0,z0> を通る平面 <r>=<x,y,z>

 [<r>-<r0>]*<n>=0

 ⇔ ax+by+cz=a*x0+b*y0+c*z0=d

 ⇔ a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 ★空間上の平面を表す式

■点<x0,y0,z0>を通り、2つのベクトル<L>,<M>に平行な直線

法線ベクトル<L>#<M>=<a,b,c> になった場合、

 a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 ★空間上の平面を表す式

■原点から平面までの距離D

<x0,y0,z0>が、原点からの法線と、平面との交点の場合、

 D=root[(x0)^2+(y0)^2+(z0)^2]

 <x0,y0,z0>=D<nu> {注}Dはマイナスの時もありうる

 0=[<r>-D<nu>]*<n>=<r>*<n>-D<nu>*<n>

 ax+by+cz=D*root[a^2+b^2+c^2]

 |D|=(ax+by+cz)/root[a^2+b^2+c^2]
=|d|/root[a^2+b^2+c^2] ★

■原点から平面への垂線の足の座標<N>

 <N>=D<nu>
={d/root[a^2+b^2+c^2]}<a,b,c>/root[a^2+b^2+c^2]
=d<a,b,c>/[a^2+b^2+c^2] ★

{計算例}平面 x+y+z=1
 原点からの距離D 原点から平面への垂線の足の座標<N>

 D=1/root(3)=root(3)/3 <N>=<1,1,1>/3

■点<p,q,r>から、平面 ax+by+cz=d までの距離D

 D=[原点から、平面 a(x-p)+b(y-q)+c(z-r)=d までの距離]
=[原点から、平面 ax+by+cz=d-(ap+bq+cr) までの距離]
=|d-(ap+bq+cr)|/root[a^2+b^2+c^2]

「空間上の平面までの距離」

 点<p,q,r>から、平面 ax+by+cz=d までの距離D

 D=|ap+bq+cr-d|/root[a^2+b^2+c^2]

■平面の法線ベクトル<a,b,c> 法線ベクトルに垂直なベクトルを2つ作る。

直交化

 <n⊥x>=<1,0,0>-(<1,0,0>*<a,b,c>)<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2)
∝ < b^2+c^2,-ab,-ac >

 <n⊥y>=<0,1,0>-(<0,1,0>*<a,b,c>)<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2)
∝ < -ab,a^2+c^2,-bc >

 点<0,0,d/c>を通る平面 <x,y,z-d/c>
=< b^2+c^2,-ab,-ac >s+< -ab,a^2+c^2,-bc >t ★
 s,tはパラメータ

■原点から、平面 ax+bx+cz=d への垂線の足の座標<N>

 <x,y,z>=<a,b,c>T
=< b^2+c^2,-ab,-ac >s+< -ab,a^2+c^2,-bc >t+<0,0,d/c>

 aT=(b^2+c^2)s-abt
 bT=-abs+(a^2+c^2)t
 cT=-acs-bct+d/c

未知数は T,s,t の3つ、式は3つだから、解けて、
 s=ad/[c^2*(a^2+b^2+c^2)]
 t=bd/[c^2*(a^2+b^2+c^2)]
 T=d/(a^2+b^2+c^2)

そのとき、垂線の足の座標<N>は、

 <N>=<a,b,c>T=d<a,b,c>/(a^2+b^2+c^2) ★

▲前記の結果と一致している{素晴らしい!}

◇◇

◇ベクトル直線,平面◇

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