◎ ベクトルの面積分　surface integrals　divergence theorem　diverge 広がる、分岐する

10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分;x　時間微分'　積分$　ベクトル<A>　座標単位ベクトル<xu>　縦ベクトル<A)　内積*　外積#

■ 法線　面(平面でも曲面でも)の微少部分で、その面に垂直な直線

　面積要素ベクトル <dS> の方向 ⇔ 面の法線方向

　ベクトル <A> の面 S における面積分 $${<A>*<dS>}[面S]

★ <A>=<xu>*6*x*y+<zu>*(5*x+6*y)

面S:[次の4点を頂点とする長方形-原点,(3,0,0),(3,2,0),(0,2,0)]

面S はxy平面上にあるのだから、その法線は z軸方向　<xu>*<dS>=0

　$${<A>*<dS>}[面S]
=$${(5*x+6*y)*dx*dy}[x:0~3][y:0~2]
=${[5*x^2/2+6*x*y)][x:0~3]*dy}[y:0~2]
=${(45/2+18*y)*dy}[y:0~2]
=[45*y/2+9*y^2][y:0~2]
=45+36
=81

★ <A>=<x^2,y^2,z^2>　直方体[(0,0,0)-(a,b,c)]

xy平面に平行な面で　$${Az*dx*dy}=c^2*a*b

yz平面に平行な面で　$${Ax*dy*dz}=a^2*b*c

zx平面に平行な面で　$${Ay*dx*dz}=b^2*a*b

　$${<A>*<dS>}[直方体の表面]=a*b*c*(a+b+c)　�@

一方　div<A>=2*(x+y+z)

　${div<A>*dx}[x:0~a]
=${2*(x+y+z)*dx}[x:0~a]
=[x^2+2*x*y+2*x*z][x:0~a]
=a^2+2*a*y+2*a*z

　${(a^2+2*a*y+2*a*z)*dy}[y:0~b]
=[a^2*y+a*y^2+2*a*y*z][y:0~b]
=a^2*b+a*b^2+2*a*b*z

　${(a^2*b+a*b^2+2*a*b*z)*dz}[z:0~c]
=[a^2*b*z+a*b^2*z+a*b*z^2][z:0~c]
=a^2*b*c+a*b^2*c+a*b*c^2
=a*b*c*(a+b+c)

まとめて　$$${div<A>*dx*dy*dz}[直方体]=a*b*c*(a+b+c)　�A

�@=�A

{こんな問題でも、学ぶべきことはたくさんある!2014/3}

★ <A>=<v*x,0,0>　領域 立方体[原点-(a,a,a)]

　$${<A>*<dS>}[立方体の表面]=(v*a)*a^2=v*a^3　�@

一方　div<A>=[v*x];x=v=一定

　$$${div<A>*dx*dy*dz}[立方体]=v*体積=v*a^3　�A　　�@=�A

◆ 球座標(r,a,b)　球対称スカラー関数 f(r)　ベクトル <A>=<ru>*f(r)　面S:[半径 r の球面]

■ <dS> ∝ <ru>　$${<A>*<dS>}[面S]=4Pi*f(r)*r^2 ★.

■ さらに　f(r)=r^n　のとき

　$${<A>*<dS>}[面S]=4Pi*r^n*r^2=4Pi*r^(n+2)

★ <A>=<ru>/r　$${<A>*<dS>}[面S]=4Pi*r

★ <A>=<ru>/r^2　$${<A>*<dS>}[面S]=4Pi ★. rに依らない値

◆ 円柱座標(r,a,z)　軸対称スカラー関数 f(r)　ベクトル <A>=<ru>*f(r)　面S:[円柱の側面　半径 r　高さ 1]

■ $${<A>*<dS>}[面S]=2Pi*f(r)*r ★.

■ さらに　f(r)=r^n　のとき

　 $${<A>*<dS>}[面S]=2Pi*r^(n+1) ★.

★ <A>=<ru>/r　$${<A>*<dS>}[面S]=2Pi ★. rに依らない値

★ <A>=<ru>/r^2　$${<A>*<dS>}[面S]=2Pi/r

◆ 円柱座標(r,a,z)　ベクトル <A>=<ru>/r

面S1:[円柱の側面　半径 r　高さ 1]　面S2:[正四角柱の側面　断面:正方形　1辺 A　高さ 1]

■【 面S1での面積分 】

　$${<A>*<dS>}[面S1]=2Pi　�@

■【 面S2での面積分 】

　$${<A>*<dS>}[面S2]
=8*$${(1/r)*(y/r)*dx*dy}[x:0~A][y=A]
=8*A*${dx/(x^2+A^2)}[x:0~A]
=8*A*[Pi/(4*A)]
=2Pi　�A

�@=�A　円柱で囲んでも、正四角柱で囲んでも、面積分の値は同じ ★.{素晴らしい!こういうチェックが大事!2016/1}

■ 1762ラグランジュ　1913ガウス　1825グリーン　1831オストログラツキー

■ ベクトル<A>　面積分=$$<A>*<dS>

{注}面Sの裏表に注意　裏なら-になる。
直方体では、向き合う面で、裏表の関係になる{結果が引き合って、キャンセルされることが多い!}。球では、すべて表である{計算が楽!}。

■ 球座標(r,a,b)　div(<ru>*r^n)=n*r^(n-1)+2*r^(n-1)=(n+2)*r^(n-1)

　div(<ru>/r^2)=0 ★.

■ 円柱座標(r.,a,z)　div(<r.u>*r.^n)=n*r^(n-1)+r^(n-1)=(n+1)*r^(n-1)

　div(<ru>/r)=0 ★.

{うまくできてるなあ!2016/1}

◎ 球対称ベクトルの div を、ガウスの定理を使って求めよう。

● div(<ru>*Ar)=Ar;r+2*Ar/r=(r^2*Ar);r/r^2

■ <A>=<ru>*f(r)

領域:球殻(半径r〜r+dr)　原点を含まないので、原点で発散してしまう関数にも適用できる。{核心!}

　$$${div<A>*dV}[球殻]=$${<A>*<dS>}[球殻の表面]

<A>を、半径r〜r+drの球殻で囲み、内側の面から入ってくる量、外側に抜ける量の差D(r)を考える。<A>は球対称であるから、2つの面でそれぞれ、<A>の大きさは一定であり、方向は半径方向である。したがって、D(r)は、簡単に求めることができる。
その量D(r)を、球殻の体積[4Pi*r^2*dr]で割れば、divとなる。drは微少量であり、2次の微少量は随時、消去していく。

　div<A>=D(r)/[4Pi*r^2*dr]

※ 薄い球殻の領域内で　div<A>=一定　と見なしている{!}

★ <A>=<ru>/r

　D(r)=4Pi*(r+dr)^2/(r+dr)-4Pi*r^2/r=4Pi*dr

　div<<ru>/r>=1/r^2

★ <A>=<ru>/r^2

　D(r)=4Pi*(r+dr)^2/(r+dr)^2-4Pi*r^2/r^2=0

　div<<ru>/r^2>=0【★】

★ <A>=<r>=<ru>*r

　D(r)=4Pi*(r+dr)^2*(r+dr)-4Pi*r^2*r=12Pi*r^2*dr　div(<ru>*r)=3

★ <A>=<ru>

　D(r)=4Pi*(r+dr)^2*-4Pi*r^2*=8Pi*r*dr　div<ru>=2/r

★ <A>=<ru>*f(r)

　D(r)=4Pi*(r+dr)^2*(f+df)-4Pi*r^2*f
=8Pi*r*dr*f+4Pi*r^2*df

　div(<ru>*f(r))
=2*f/r+f;r
=(r^2*f);r/r^2【★】

　★　ベクトルの面積分,ガウスの定理　★