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2015/7-2013/1 Yuji.W

☆テンソル☆

◎ 2階3次元テンソル アインシュタイン規約 クロネッカーの単位テンソル

◇ テンソル積o 複内積**

◇ ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/07/14

☆テンソルの表示のお約束☆

■ アインシュタイン規約 1条
添え字があるとき、自動的に、次元数だけの成分を考えなさい{!}

 Ai 自動的に、i=1,2,3 の場合を考える 成分数 3
 1階3次元テンソル Ai ⇔ 3次元ベクトル <A>=<Ax,Ay,Az)=<A1,A2,A3)
.

 Tij 自動的に、i=1,2,3 j=1,2,3 の場合を考える 成分数 9
 2階3次元テンソル Tij ⇔ [T11 T12 T13 | T21 … | … T33]
.

※ 普通、1条は書いてないが、大事{!}

■ アインシュタイン規約 2条
積または商で結びついた量において、同じ添え字が重なるとき、自動的に、その添え字について和を取りなさい{!}

 テンソルの内積(テンソル同士の積)

 Tij*Sjk

まず、j が重なっているから、j について和を取りなさい{!}

 Ti1*S1k+Ti2*S2k+Ti3*S3k 行列[T]の行と、行列[S]の列の積

次に、i=1~3 k=1~3 を、別々に考えなさい{!}

i=1,k=1 T11*S11+T12*S21+T13*S31
i=2,k=1 T21*S11+T22*S21+T23*S31
i=3,k=1 …
i=2,k=1 …

 Tij*Sjk 行列同士の積 [T]*[S] と同じ .

※ Tij*Sjk=Sjk*Tij

■ Sjk*Tij

まず、j が重なっているから、j について和を取りなさい{!}

 S1k*Ti1+S2k*Ti2+S3k*Ti3

次に、i=1~3 k=1~3 を、別々に考えなさい{!}

i=1,k=1 S11*T11+S21*T12+S31*T13
i=2,k=1 S11*T21+S21*T22+S31*T23
i=3,k=1 …
i=2,k=1 …

 Sjk*Tij=Tij*Sjk .

■ Ai*Bi=A1*B1+A2*B2+A3*B3=<A>*<B> ベクトルの内積

 Ai^2=Ai*Ai=A1*A1+…+A3*A3=A^2

■ テンソルの内積(テンソル同士の積、複内積)

 Tij*Sij

まず、i が重なっているから、i について和を取りなさい。

 T1j*S1j+T2j*S2j+T3j*S3j

さらに、j が重なっているから、j についても和を取りなさい{!}

 (T11*S11+T21*S21+T31*S31)+(T12*S12+…)+(…+T33*S33)

 複内積 [T]**[S]

 Tij*Sij 同じ成分同士の積の9個の和 .

■ ベクトル(1階3次元テンソル)と2階3次元テンソルの積

 Tij*Aj

j が重なっているから、j についても和を取りなさい{!}

 Ti1*A1+Ti2*A2+Ti3*A3

次に、i=1~3 を、別々に考えなさい{!}

 T11*A1+T12*A2+T13*A3
 T21*A1+T22*A2+T23*A3
 T31*A1+T32*A2+T33*A3

 Tij*Aj ⇔ [T]*<A1,A2,A3)=[T]*<A) .

■ ベクトル(1階3次元テンソル)と2階3次元テンソルの積

 Ai*Tij

i が重なっているから、i についても和を取りなさい{!}

 A1*T1j+A2*T2j+A3*T3j

次に、j=1~3 を、別々に考えなさい{!}

 A1*T11+A2*T21+A3*T31
 A1*T12+A2*T22+A3*T32
 A1*T13+A2*T23+A3*T33

 Ai*Tij ⇔ (<A1,A2,A3>*[T])^t=(<A)^t*[T])^t .※ 転置 ^t

■ ベクトル Aij*Xj=<A11*X1+A12*X2 , A21*X1+A22*X2 , …)

 スカラー xi*(Aij*Xj)
=x1*(A1j*Xj)+x2*(A2j*Xj)+x3*(A3j*Xj)
=x1*(A11*X1+A12*X2)+x2*(A21*X1+A22*X2)+x3*(…)
.

☆テンソル積(直積)☆

■ ベクトル同士の積 Ai*Bj 3次元の場合 成分の数 9個

 [A1*B1 A1*B2 A1*B3 | A2*B1 … | … A3*B3]=[<A)o<B>]

■ Ai*Aj [A1*A1 A1*A2 A1*A3 | A2*A1 … | … A3*A3]=<A)o<A>

■ Ai*Tjk 3次元の場合 成分の数 27個 <A)o[T]

■ (Ai*Bj)*Cj=(Bi*Ci)*Aj ⇔ [<A)o<B>]*<C)=(<B>*<C>)*<A>

◇クロネッカーの単位テンソル◇

◆ δij i=j のとき δij=1 not[i=j] のとき δij=0

■ δii=δ11+…+δ33=3

テンソル 

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