◎ 級数展開　マクローリン展開　テイラー展開

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◆ x の関数 f(x)　x=0 を含む領域で、何回でも微分可能

　f(x)=f(0)+A*x+B*x^2+C*x^3+D*x^4+…　と表す事を考える

A,B,C,D,… 定数

◇ 1階微分 f'(x)　2階微分 f''(x)　3階微分 f'''(x)　…

微分したものに x=a を代入した値　f'(a)　f''(a)　f'''(a)　…

■ 両辺を微分すると、

　f'(x)=A+2*B*x+3*C*x^2+4*D*x^3+…

x=0　を代入すると　f'(0)=A

さらに、もう1階微分すると、

　f''(x)=2*B+3*2*C*x+4*3*D*x^2+…

x=0　を代入すると　f''(0)=2*B　B=f''(0)/2

さらに、もう1階微分すると、

　f'''(x)=3*2*C+4*3*2*D*x+…

x=0　を代入すると　f'''(0)=3*2*C　C=f'''(0)/3!

以下、同様にして、

　A=f'(0)　B=f''(0)/2　C=f'''(0)/3!　D=f''''(0)/4!　…

≫　f(x)=f(0)+f'(0)*x+[f''(0)/2]*x^2+[f'''(0)/3!]*x^3+[f''''(0)/4!]*x^4+… ★.

{全然わかってなかった!2016/8}

■ f(x)=(1+x)^a

f'(x)=a*(1+x)^(a-1)　f''(x)=a*(a-1)*(1+x)^(a-2)

f(0)=1　f'(0)=a　f''(x)/2=a*(a-1)/2

　(1+x)^a=1+a*x+[a*(a-1)/2]*x^2+[a*(a-1)*(a-2)/3!]*x^3+… ★.

★ x=1　1+a+a*(a-1)/2+a*(a-1)*(a-2)/3!+…=2^a ★.

■ f(x)=1/(1-x)　〔-1<x<1〕

f'(x)=1/(1-x)^2　f''(x)=2/(1-x)^3　f'''(x)=3*2/(1-x)^4

f(0)=1　f'(0)=1　f''(0)/2=1　f'''(0)/3!=1　…

　1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+… ★.〔-1<x<1〕

★ x=0.1　1/(1-x)=1/0.9~1.11　1+x+x^2=1+0.1+0.01=1.11

■ f(x)=ln(1+x)

f'(x)=1/(1+x)　f''(x)=-1/(1+x)^2　f'''(x)=2/(1+x)^3　f''''(x)=3*2/(1+x)^4

f(0)=0　f'(0)=1　f''(0)/2=-1/2　f'''(0)/3!=1/3　f''''(0)/4!=1/4

　ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5-x^6/6+… ★.

{なるほどね!公式を覚えるだけではダメ!2016/8}

★ x=0.1　ln(1.1)~0.0953　0.1-0.01/2+0.001/3~0.0953

★ x=1　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…=ln(2)=0.693 ★.

　1-1/2+1/3-1/4+1/5~0.78　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6~0.62

■ 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-… ★.　〔-1<x<1〕

■ exp(x)=1+x+(1/2)*x^2+(1/3!)*x^3+… ★.

★ x=1　1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…=exp(1)~2.718 ★.

　1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!~1+1+0.5+0.167+0.042=2.709

■ sin(x)=x-(1/3!)*x^3+(1/5!)*x^5-… ★.

★ x=1　1-1/3!+1/5!-1/7!+…=sin(1)~0.84

★ x=Pi/2　(Pi/2)-Pi^3/(8*3!)+Pi^5/(32*5!)-1/7!+…=sin(Pi/2)=1

■ cos(x)=1-(1/2)*x^2+(1/4!)*x^4-… ★.

★ x=1　1-1/2!+1/4!-1/6!+1/8!-…=cos(1)~0.54

★ x=Pi/2　1-Pi^2/(4*2!)+Pi^4/(16*4!)-Pi^6/(64*6!)+…=cos(Pi/2)=0

◆ x の関数 f(x)　1階微分 f'(x)　2階微分 f''(x)　3階微分 f'''(x)

微分したものに x=a を代入した値 f'(a) , f''(a) , f'''(a)

■ f(x)=f(a)+(x-a)*f'(a)+(x-a)^2*f''(a)/2+(x-a)^3*f'''(a)/3!+…

　★　級数展開　★