◎ 漸化式 recurrence relation

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◇ 一般項 A(n)　数列 {A(n)}={A1,A2,A3,…,A(n),…}

数列の和 S(n)=Σ{A(n)}=A(1)+A(2)+…+A(n)

数列の和の数列 {S(n)}={S1,S2,S3,…,S(n),…}

■

◎ A(n+1)-A(n)=(nの任意の関数)

◆ A(1)=1　A(n+1)-A(n)=2*n

■ A(2)=A(1)+2*1=1+2=3　A(3)=A(2)+2*2=3+4=7　A(4)=13　…

　S(2)=1+3=4　S(3)=S(2)+7=11　S(4)=S(3)+13=24　…

　A(2)-A(1)=2　A(3)-A(2)=2*2　A(4)-A(3)=2*3　…　A(n)-A(n-1)=2*(n-1)

和を求めて　A(n)-A(1)=2*[1+2+3+…+(n-1)]=n*(n-1)

　A(n)=1+n*(n-1)=n^2-n+1 ★.

　A(2)=4-2+1=3　A(3)=9-3+1=7　A(4)=16-4+1=13

　S(n)
=Σ{A(n)}
=Σ{n^2}-Σ{n}+Σ{1}
=n*(n+1)*(2*n+1)/6-n*(n+1)/2+n
=n*[(n+1)*(2*n+1)-3*(n+1)+6]/6
=n*(2*n^2+4)/6
=n*(n^2+2)/3

≫　S(n)=n*(n^2+2)/3 ★.

　S(2)=2*6/3=4　S(3)=3*11/3=11　S(4)=4*18/3=24

◆ A(1)=1　A(n+1)-A(n)=n^2+1

■ A(2)-A(1)=1^2+1=2　A(2)=1+2=3

　A(3)-A(2)=2^2+1=5　A(3)=3+5=8

　S(2)=4　S(3)=12

　A(n)-A(1)=[1^2+2^2+…+2^(n-1)]+(n-1)

ここで　1^2+2^2+…+2^(n-1)=(n-1)*n*(2*n-1)/6　だから、

　A(n)
=(n-1)*n*(2*n-1)/6+(n-1)+1
=n*[(n-1)*(2*n-1)+6]/6
=n*(2*n^2-3*n+7)/6

≫　A(n)=n*(2*n^2-3*n+7)/6 ★.

　A(2)=2*9/6=3　A(3)=3*16/6=8　…

　6*S(n)
=2*Σ{n^3}-3*Σ{n^2}+7*Σ{n}
=2*[n*(n+1)/2]^2-3*[n*(n+1)*(2*n+1)/6]+7*n*(n+1)/2
=n*(n+1)*[n*(n+1)-(2*n+1)+7]/2
=n*(n+1)*(n^2-n+6)/2

　S(n)=n*(n+1)*(n^2-n+6)/12 ★.

　S(1)=1*2*6/12=1　S(2)=2*3*8/12=4　S(3)=3*4*12/12=12

◆ 自然数nの任意の関数 f(n)　A(n+1)=a*A(n)+f(n)〔a≠1〕

次の関数を定義する　F(n)=f(n-1)+a*f(n-2)+a^2*f(n-3)+…+a^(n-2)*f(1)

■ A(2)=a*A(1)+f(1)

　A(3)=a*A(2)+f(2)=a*[a*A(1)+f(1)]+f(2)=a^2*A(1)+a*f(1)+f(2)

　A(4)
=a*A(3)+f(3)
=a*[a^2*A(1)+a*f(1)+f(2)]+f(3)
=a^3*A(1)+a^2*f(1)+a*f(2)+f(3)

　…

　A(n)
=a^(n-1)*A(1)+[a^(n-2)*f(1)+a^(n-3)*f(2)+…+f(n-1)]
=a^(n-1)*A(1)+F(n) ★.

後は、F(n) をどう求めるかだけ{!}

{別解1}　A(n) から、次のような新しい数列 B(n) を作る　B(n+1)=a*B(n)

{別解2}　A(n) から、次のような新しい数列 B(n) を作る　B(n)=A(n)/a^n

{この公式は使える!2016/4}

◆ A(1)=1　A(n+1)=3*A(n)+2

■ {A(n)}={1,5,17,53,…}　{S(n)}={1,6,23,76,…}

■ a=3　f(n)=2

　F(n)
=3^(n-2)*2+3^(n-3)*2+…+2
=2*[1+3+3^2+…3^(n-2)]
=2*[3^(n-1)-1]/(3-1)
=3^(n-1)-1

　A(n)=3^(n-1)+[3^(n-1)-1]=2*3^(n-1)-1 ★.

{やっとできた! n と (n-1) の区別をしっかりしないとできない!2016/4}

　A(2)=2*3-1=5　A(3)=2*9-1=18-1=17　A(4)=2*27-1=54-1=53

■ S(n)=Σ{A(n)}=2*Σ{3^(n-1)}-Σ{1}=2*[3^n-1]/(3-1)-n=3^n-n-1 ★.

　S(2)=3^2-2-1=6　S(3)=3^3-3-1=27-4=23　S(4)=3^4-4-1=81-5=76

◆ A(1)=1　A(n+1)=2*A(n)+2*n

■ A(2)=2*A(1)+2*1=4　A(3)=2*A(2)+2*2=12　A(4)=2*A(3)+2*3=30

{A(n)}={1,4,12,30,…}　{S(n)}={1,5,17,47,…}

■ a=2　f(n)=2*n

　F(n)
=2^(n-2)*2+2^(n-3)*4+2^(n-4)*6+…+2*(n-1)
=2^n*[1/2+2/2^2+3/2^3+…+(n-1)/2^(n-1)]

　F(n)=2^n*[2^n-2*n+(n-1)]/2^(n-1)=2^(n+1)-2*(n+1)

　A(n)=2^(n-1)+[2^(n+1)-2*(n+1)]=5*2^(n-1)-2*(n+1)] ★.

{わお!うまくできた!2016/4}

　A(2)=5*2-6=4　A(3)=5*4-2*4=20-8=12　A(4)=5*8-2*5=40-10=30

■ S(n)
=5*Σ{2^(n-1)}-2*Σ{(n+1)}
=5*(2^n-1)/(2-1)-2*(2+n+1)*n/2
=5*2^n-n*(n+3)-5 ★.

　S(2)=5*4-2*5-5=5　S(3)=5*8-3*6-5=40-18-5=17
　S(4)=5*16-4*7-5=80-28-5=47　{いいね!2016/4}

◆ A(1)=1　A(n+1)=2*A(n)+n^2+1

　A(2)=2*1+1^2+1=4　A(3)=2*4+2^2+1=13
　A(4)=2*13+3^2+1=36　…　{A(n)}={1,4,13,36,…}

　{S(n)}={1,5,18,54,…}

■ a=2　f(n)=n^2+1

　F(n)
=2^(n-2)*(1^2+1)+2^(n-3)*(2^2+1)+…+[(n-1)^2+1]
=2^(n-2)*1^2+2^(n-3)*2^2+…+(n-1)^2
+[1+2+2^2+2^3+…+2^(n-2)]

ここで、次の公式を使って、

　2^(n-2)*1^2+2^(n-3)*2^2+…+(n-1)^2
=2^(n-1)*[1^2/2+2^2/2^2+3^2/2^3…+(n-1)^2/2^(n-1)]
=2^(n-1)*{6-[(n-1)^2+4*(n-1)+6]/2^(n-1)}
=6*2^(n-1)-[(n-1)^2+4*(n-1)+6]
=3*2^n-(n^2+2*n+3)

また、

　1+2+2^2+2^3+…+2^(n-2)=[2^(n-1)-1]/(2-1)=2^(n-1)-1

　F(n)
=[3*2^n-(n^2+2*n+3)]+[2^(n-1)-1]
=7*2^(n-1)-(n^2+2*n+4)

　A(n)
=2^(n-1)*1+7*2^(n-1)-(n^2+2*n+4)
=8*2^(n-1)-(n^2+2*n+4)
=2^(n+2)-(n^2+2*n+4)

≫　A(n)=2^(n+2)-(n^2+2*n+4) ★.

　A(1)=2^3-(1+2+4)=8-7=1　A(2)=2^4-(4+4+4)=16-12=4

　A(3)=2^5-(9+6+4)=32-19=13　A(4)=2^6-(16+8+4)=64-28=36

{できた!2016/4}

◆ A(1)=1　A(n+1)=2*A(n)+3^n　{A(n)}={1,5,19,…}

■ a=2　f(n)=3^n

 　F(n)
=3^(n-1)+2*3^(n-2)+2^2*3^(n-3)+…+2^(n-2)*3
=3^(n-1)*[1+2/3+2^2/3^2+…+2^(n-2)/3^(n-2)]
=3^(n-1)*[1-(2/3)^(n-1)]/(1-2/3)]
=3^n*[1-(2/3)^(n-1)]
=3^n-3*2^(n-1)

　A(n)=2^(n-1)*1+3^n-3*2^(n-1)=3^n-2^n ★.

≫　A(n)=3^n-2^n ★.

　A(1)=3-2=1　A(2)=9-4=5　A(3)=27-8=19　{いいね!2016/4}

◆ A(1)=1　A(n+1)=2*A(n)-2^(n-1)　{A(n)}={1,1,0,-4,-16,…}

■ a=2　f(n)=-2^(n-1)

　F(n)
=-2^(n-1)*[1/2+2/2^2+…+2^(n-2)/2^(n-1)]
=-2^(n-2)*[1+1+…+1]
=-(n-1)*2^(n-2)

　A(n)=2^(n-1)*1-(n-1)*2^(n-2)=(3-n)*2^(n-2)

≫　A(n)=(3-n)*2^(n-2) ★.

　A(1)=2/2=1　A(2)=2^0=1　A(3)=0　A(4)=-2^2=-4　A(5)=-2*2^3=-16

◆ A(1)=2　A(n+1)-3*A(n)=A(n+1)*A(n)　A(n+1)=3*A(n)/[1-A(n)]

{A(n)}={2,-6,-18/7,…} ★

与式を右辺で割って、符号を変えて　3/A(n+1)-1/A(n)=-1

仮定　B(n)=1/A(n)+p　3*B(n+1)=B(n)〔★〕

　3*[1/A(n+1)+p]=1/A(n)+p　3/A(n+1)=1/A(n)-2*p　p=1/2

　B(n)=1/A(n)+1/2　{B(n)}={1,1/3,1/9,…}　B(n)=1/3^(n-1)

　A(n)=2*3^(n-1)/[2-3^(n-1)]

◆ A(1)=2　A(n+1)=A(n)^3　{A(n)}={2,8,512,…}

底が2の対数をとる〔★〕　ln2[A(n+1)]=3*ln2[A(n)]　B(n)=ln2[A(n)]　{B(n)}={1,3,9,…}

　B(n+1)=3*B(n)　B(n)=3^(n-1)　A(n)=2^[3^(n-1)]

◆ A(1)=3　A(n+1)=A(n)/[2*A(n)+3]　{A(n)}={3,1/3,1/11,1/35,…}

逆数をとる〔★〕　1/A(n+1)=[2*A(n)+3]/A(n)=2+3/A(n)

仮定　B(n)=1/A(n)+p　B(n+1)=3*B(n)　1/A(n+1)+p=3*[1/A(n)+p]

　1/A(n+1)=3/A(n)+2*p　p=1　B(n)=1/A(n)+1　{B(n)}={4/3,4,12,36,…}

　B(n)=(4/3)*3^(n-1)=4*3^(n-2)　A(n)=1/[4*3^(n-2)-1]

◎ A(n+2)-a*A(n+1)+b*A(n)=0

◆ A(1)=1　A(2)=2　A(n+2)-3*A(n+1)+2*A(n)=0　{A(n)}={1,2,4,8,…}

仮定　B(n)=A(n+1)-p*A(n)　B(n+1)=q*B(n)〔★〕q=2 であると予想できる

　A(n+2)-p*A(n+1)=q*[A(n+1)-p*A(n)]　A(n+2)-(p+q)*A(n+1)+p*q*A(n)=0

　p+q=3　p*q=2　p=1,q=2　B(n)=A(n+1)-A(n)　B(n+1)=2*B(n)　{B(n)}={1,2,4,…}

　B(n)=2^(n-1)　A(n+1)-A(n)=2^(n-1)

　A(2)-A(1)=1　A(3)-A(2)=2　…　A(n)-A(n-1)=2^(n-2)

　A(n)=[1+2+2^2+2^3+…+2^(n-2)]+1=[1-2^(n-1)]/(1-2)+1=2^(n-1)

{別解}　数学的帰納法を使う。この問題は、こちらの方が楽{!}

　A(n)=2^(n-1)　A(n+1)=2^n　が成り立つと仮定し、次の事が成り立つ事を言えばよい。

A(1)=2^0=1　A(2)=2^1=2　A(n+2)=2^(n+1)

与式より　A(n+2)=3*A(n+1)-2*A(n)=3*2^n-2*2^(n-1)=2*2^n=2^(n+1)　』

{別解}　B(n)=A(n+1)-2*A(n)　B(1)=A(2)-2*A(1)=0　B(2)=A(3)-2*A(2)=0

　B(3)=A(4)-2*A(3)=0　B(n)=0　A(n+1)=2*A(n)　A(n)=2^(n-1)

◆ A(1)=1　A(2)=1　A(n+2)=4*[A(n+1)-A(n)]　{A(n)}={1,1,0,-4,-16,…}

仮定　B(n)=A(n+1)-p*A(n)　B(n+1)=q*B(n)

　A(n+2)-p*A(n+1)=q*[A(n+1)-p*A(n)]　A(n+2)-(p+q)*A(n+1)+p*q*A(n)=0

　p+q=4　p*q=4　p=2,q=2

　B(n)=A(n+1)-2*A(n)　B(n+1)=2*B(n)　{B(n)}={-1,-2,-4,-8,…}　B(n)=-2^(n-1)

　A(n+1)-2*A(n)=-2^(n-1)

D(n)=A(n)/2^n　と置くと　{D(n)}={1/2,1/4,0,-1/4,-1/2,…}

　D(n+1)-D(n)=-1/4　D(n)=1/2-(n-1)/4=(3-n)/4　A(n)=(3-n)*2^(n-2)

◆ △ABCの頂点を、2点が移動する。

・初めは、点Aにいる
・1秒に1回、別の頂点に移動する
・別の頂点に移動する確率は、それぞれ 1/2

n秒後に、同じ頂点にいる確率 p(n)

■ 同じ頂点にいた2点がまた同じ頂点に移動するのは、一方の点がどちらかに移動し、他方の点がその同じ頂点に移動する場合だから、その確率は 1/2

別の頂点にいた2点が同じ頂点に移動するのは、1方の点が空いている頂点に行って、他方の点がその空いた頂点に移動する場合だから、その確率は (1/2)*(1/2)=1/4

1秒後　p(1)=1/2
2秒後　p(2)=(1/2)*(1/2)+(1-1/2)*(1/4)=1/4+1/8=3/8
3秒後　p(3)=(3/8)*(1/2)+(1-3/8)*(1/4)=3/16+5/32=11/32

　{p(n)}={1/2,3/8,11/32,…}

n 秒後に同じ頂点にいる確率 p(n)　別の頂点にいる確率 1-p(n)
(n+1) 秒後に同じ頂点にいる確率 p(n+1)=p(n)*(1/2)+[1-p(n)]*(1/4)=1/4+p(n)/4

仮定　定数 a　A(n)=p(n)+a　A(n+1)=A(n)/4

　p(n+1)+a=[p(n)+a]/4　p(n+1)=p(n)/4-3*a/4　-3*a/4=1/4　a=-1/3

　A(n)=p(n)-1/3　{A(n)}={1/6,1/24,1/96,…}　A(n)=1/[6*4^(n-1)]

　p(n)=1/[6*4^(n-1)]+1/3=(1/3)*[1+1/2^(2*n-1)]

▲ p(∞)=1/3　3頂点に2点が ranndam に移動する場合、同じ頂点に来る確率と同じ{当然!}

■ 初めに、別の頂点にいる場合を考えてみよう。同じ頂点に来る確率 \p(n)

1秒後　\p(1)=1/4
2秒後　\p(2)=(1/4)*(1/2)+(1-1/4)*(1/4)=1/8+3/16=5/16
3秒後　\p(3)=(5/16)*(1/2)+(1-5/16)*(1/4)=5/32+11/64=21/64

　{\p(n)}={1/4,5/16,21/64,…}

　B(n)=\p(n)-1/3　{-1/12,-1/48,-1/192}　B(n)=-1/(3*/4^n)

　\p(n)=-1/(3*4^n)+1/3=(1/3)*(1-1/4^n)

　\p(∞)=1/3

▲ 初めに、同じ頂点から出発しても、異なる頂点から出発しても、いずれ、3頂点に2点が ranndam に移動する場合と同じになる。

◆ 次のような数列を考える。

■ 1/2+1/4+1/8+1/16+…1/∞=1 だから、
f(0)=a-b(1/2+1/4+1/8+1/16+…1/∞)=a-b
a=f(1)  b=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)

f(x)=f(0)+bx

　★　漸化式　★