◎ 数列 numerical sequence　数列の和　等差数列　等比数列　2乗の和　3乗の和

{高校では、無理矢理覚えただけで、すっきりしなかった!}

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◇ 一般項 A(n)　数列 {A(n)}={A1,A2,A3,…,A(n),…}

数列の和 S(n)=Σ{A(n)}=A(1)+A(2)+…+A(n)

数列の和の数列 {S(n)}={S1,S2,S3,…,S(n),…}

◆ S(n)=1+2+3+…+n

★ S(1)=1+2=3　S(2)=1+2+3=6　S(3)=1+2+3+4=10

■ 1+2+3+…+n=S(n)　�@

　n+(n-1)+…+2+1=S(n)　�A

�@+�A　(n+1)*n=2*S(n)

　S(n)=n*(n+1)/2

　1+2+3+…+n=n*(n+1)/2 ★.

{別解1}　初項 1　公差 1　の等差数列であるから　S(n)=n*(n+1)/2 ★.

{別解2}　2*n+1=(n+1)^2-n^2　を利用して、

　2*1+1=2^2-1^2
　2*2+1=3^2-2^2
　2*3+1=4^2-3^2
　…
　2*n+1=(n+1)^2-n^2

和を求めて　左辺の和=2*(1+2+3+…+n)+1*n=2*S(n)+n

右辺の和は、うまく中間の項が消えてくれて、{そうなるようにした!}

　右辺の和=(n+1)^2-1^2=n^2+2*n

　2*S(n)+n=n^2+2*n

　S(n)=n*(n+1)/2　‖

◆ S(n)=1^2+2^2+3^2+…+n^2

★ S(2)=1^2+2^2=1+4=5

　S(3)=1^2+2^2+3^2=1+4+9=14

　S(4)=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30

■ S(3) は次のようにして求められる

　S(3)=(1+3+3)*(1+2+3)/3=7*6/3=14

同様にして　S(4)=(1+4+4)*(1+2+3+4)/3=9*10/3=30

一般に　S(n)
=(1+n+n)*(1+2+3+…+n)/3
=(2*n+1)*[n*(n+1)/2]/3
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

≫　1^2+2^2+3^2+…+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6 ★.

★ S(3)=3*4*7/6=14　S(4)=4*5*9/6=30

{確かめ}　S(n)-S(n-1)=n^2　になる事を言えばよい。

　左辺
＝n*(n+1)*(2*n+1)/6-(n-1)*n*(2*n-1)/6
＝[(n+1)*(2*n+1)-(n-1)*(2*n-1)]*n/6

　[~]=(2*n^2+3*n+1)-(2*n^2-3*n+1)=6*n

　左辺=(6*n)*n/6=n^2

　S(n)-S(n-1)=n^2　‖

{別解}　3*n^2+3*n+1=(n+1)^3-n^3　を利用して、

　3*1^2+3*1+1=2^3-1^3
　3*2^2+3*2+1=3^3-2^3
　3*3^2+3*3+1=4^3-3^3
　…
　3*n^2+3*n+1=(n+1)^3-n^3

和を求めて、

　左辺の和
=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+1*n
=3*S(n)+3*n*(n+1)/2+n
=3*S(n)+3*n^2/2+3*n/2+n
=3*S(n)+3*n^2/2+5*n/2

　右辺の和=(n+1)^3-1^3=n^3+3*n^2+3*n

　3*S(n)+3*n^2/2+5*n/2=n^3+3*n^2+3*n

　3*S(n)=n^3+3*n^2/2+n/2

　右辺=n*(2*n^2+3*n+1)/2=n*(n+1)*(2*n+1)/2

　3*S(n)=n*(n+1)*(2*n+1)/2

　S(n)=n*(n+1)*(2*n+1)/6　‖　{できるものだな!2014/9}

◆ S(n)=1^3+2^3+3^3+…+n^3

★ S(2)=1^3+2^3=1+8=9=3^2　S(3)=S(2)+3^3=9+27=36=6^2

　S(4)=S(3)=36+4^3=36+64=100=10^2

■ 1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n*(n+1)/2]^2 ★.

★ S(2)=(2*3/2)^2=3^2=9　S(3)=(3*4/2)^2=6^2=36

　S(4)=(4*5/2)^2=10^2=100

{証明}　S(n)-S(n-1)=n^3　となる事を言えばよい。

　S(n)-S(n-1)
=[n*(n+1)/2]^2-[(n-1)*n/2]^2
=[(n+1)^2-(n-1)^2]*(n/2)^2
=(4*n)*(n/2)^2
=n^3

{別解}　(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1　を利用して、

　2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
　3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
　…
　(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

和を求めて　(n+1)^4-1
=4*(1^3+2^3+…n^3)+6*(1^2+2^2+…+n^2)+4*(1+2+…+n)+n
=4*S(n)+6*n*(n+1)*(2*n+1)/6+4*n*(n+1)/2+n

　4*S(n)
=(n+1)^4-n*(n+1)*(2*n+1)-2*n*(n+1)-(n+1)
=(n+1)*[(n+1)^3-n*(2*n+1)-2*n-1]
=(n+1)*(n^3+3*n^2+3*n+1-2*n^2-n-2*n-1)
=(n+1)*(n^3+n^2)
=n^2*(n+1)^2

　S(n)=[n*(n+1)/2]^2　‖

■ 等差数列　a , a+d , a+2*d , a+3*d , …

　A(n)=a+(n-1)*d　Σ{A(n)}=[a+A(n)]*n/2

■【 等比数列の和 】

　S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n　〔r≠1〕

　r*S(n)=r+r^2+r^3+…+r^n+r^(n+1)=S(r)+r^(n+1)-1

　(r-1)*S(n)=r^(n+1)-1

　S(n)=[r^(n+1)-1]/(r-1)

　1+r+r^2+r^3+…+r^n=[r^(n+1)-1]/(r-1) ★.

■ 1+1/r+1/r^2+1/r^3+…+1/r^n
=[r^n+r^(n-1)+…+r+1]/r^n
=[r^(n+1)-1]/[(r-1)*r^n]

≫　1+1/r+1/r^2+1/r^3+…+1/r^n=[r^(n+1)-1]/[(r-1)*r^n] ★.

{これも使えると便利!2016/4}

■ 1/r+1/r^2+1/r^3+…+1/r^n
=[r^(n+1)-1]/[(r-1)*r^n]-1
=[r^(n+1)-1-(r-1)*r^n]/[(r-1)*r^n]
=(r^n-1)/[(r-1)*r^n]

≫　1/r+1/r^2+1/r^3+…+1/r^n=(r^n-1)/[(r-1)*r^n] ★.

◆ S(r,n)=1*r+2*r^2+3*r^3+…+n*r^n

★ r=2 のとき　S(2,n)=1*2+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n

　S(2,1)=1*2=2　S(2,2)=2+2*2^2=10　S(2,3)=10+3*2^3=34

★ r=3 のとき　S(3,n)=1*3+2*3^2+3*3^3+…+n*3^n

　S(3,1)=1*3=3　S(3,2)=3+2*3^2=21　S(2,3)=21+3*3^3=102

■ 1*r+2*r^2+3*r^3+…+n*r^n=S(r,n)　�@

�@*r　r^2+2*r^3+3*r^4+…+(n-1)*r^n+n*r^(n+1)=r*S(r,n)　�A

　�A-�@ の左辺
=n*r^(n+1)-[1*r+r^2+r^3+…+r^n]
=n*r^(n+1)-r*[1+r+r^2+…+r^(n-1)]
=n*r^(n+1)-r*(r^n-1)/(r-1)
=[n*r^(n+1)*(r-1)-r*(r^n-1)]/(r-1)
={r^(n+1)*[n*(r-1)-1]+r}/(r-1)

　�A-�@ の右辺=(r-1)*S(r,n)

　S(r,n)={[n*(r-1)-1]*r^(n+1)+r}/(r-1)^2

　Σ{n*r^n}[n:1~n]={[n*(r-1)-1]*r^(n+1)+r}/(r-1)^2 ★.

★ r=2　のとき、

　S(2,n)=Σ{n*2^n}=(n-1)*2^(n+1)+2

　S(2,1)=0+2=2　S(2,2)=1*2^3+2=10　S(2,3)=2*2^4+2=34

★ r=3　のとき、

　S(3,n)=Σ{n*3^n}=[(2*n-1)*3^(n+1)+3]/4

　S(3,1)=(3^2+3)/4=12/4=3　S(3,2)=(3*3^3+3)/4=84/4=21

　S(3,3)=(5*3^4+3)/4=408/4=102　{いいね!2016/4}

◆ S(r,n)=1/r+2/r^2+3/r^3+…+n/r^n

★ r=2 のとき　S(2,n)=1/2+2/4+3/8+…+n/2^n

　S(2,1)=1/2　S(2,2)=1/2+2/4=1　S(2,3)=1+3/8=11/8

★ r=3 のとき　S(3,n)=1/3+2/9+3/27+…+n/3^n

　S(3,1)=1/3　S(3,2)=1/3+2/9=5/9　S(3,3)=5/9+3/27=18/27=2/3

■ 1*r+2*r^2+3*r^3+…+n*r^n={[n*(r-1)-1]*r^(n+1)+r}/(r-1)^2

r の部分を 1/r にすればいいから、

　S(r,n)={[n*(1/r-1)-1]/r^(n+1)+1/r}/(1/r-1)^2

分母・分子に　r^2　を掛けると

　分子=[n*(1-r)-r]/r^n+r=r-[n*(r-1)+r]/r^n

　分母=(1-r)^2=(r-1)^2

　S(r,n)={r-[n*(r-1)+r]/r^n}/(r-1)^2

　1/r+2/r^2+3/r^3+…+n/r^n={r-[n*(r-1)+r]/r^n}/(r-1)^2 ★.

{計算がややこしい!2016/4}

★ r=2　のとき　S(2,n)=2-(n+2)/2^n

　S(2,1)=2-3/2=1/2　S(2,2)=2-4/2^2=1　S(2,3)=2-5/2^3=2-5/8=11/8

★ r=3　のとき　S(3,n)=[3-(2*n+3)/3^n]/4

　S(3,1)=(3-5/3)/4=1/3　S(3,2)=(3-7/9)/4=5/9　S(3,3)=(3-9/27)/4=2/3

● Σ{n*2^n}[n:1~n]=(n-1)*2^(n+1)+2

◆ S(2,n)=Σ{n^2*2^n}=1^2*2^1+2^2*2^2+3^2*2^3+…+n^2*2^n

　S(2,1)=2　S(2,2)=2+4*2^2=18　S(2,3)=18+9*2^3=90

■ S(2,n)=1^2*2^1+2^2*2^2+3^2*2^3+…+n^2*2^n　�@

　2*S(2,n)=1^2*2^2+2^2*2^3+…+n^2*2^(n+1)　�A

　�A-�@ の左辺=S(2,n)

　�A-�@ の右辺
=n^2*2^(n+1)-1^2*2^1
-{(2^2-1^2)*2^2+…+[n^2-(n-1)^2]*2^n}

　{~}
=3*2^2+…+(2*n-1)*2^n
=2*(2*2^2+…+n*2^n)-(2^2+…+2^n)

ここで、

　2*2^2+…+n*2^n=[(n-1)*2^(n+1)+2]-1*2^1=(n-1)*2^(n+1)

また　2^2+…+2^n=4*[2^(n-1)-1]　だから、

　{~}
=2*(n-1)*2^(n+1)-4*[2^(n-1)-1]
=2*(n-1)*2^(n+1)-2^(n+1)+4
=(2*n-3)*2^(n+1)+4

　�A-�@ の右辺
=n^2*2^(n+1)-1^2*2^1-[(2*n-3)*2^(n+1)+4]
=(n^2-2*n+3)*2^(n+1)-6

　S(2,n)=(n^2-2*n+3)*2^(n+1)-6

　Σ{n^2*2^n}[n:1~n]=(n^2-2*n+3)*2^(n+1)-6 ★.

{やっとできた!2016/4}

★ S(2,1)=(1-2+3)*2^2-6=2

　S(2,2)=(2^2-2*2+3)*2^3-6=24-6=18

　S(2,3)=(3^2-2*3+3)*2^4-6=6*16-6=90

◆ S(r,n)
=Σ{n^2*r^n}[n:1~n]
=1^2*r^1+2^2*r^2+3^2*r^3+…+n^2*r^n

★ S(3,n)
=Σ{n^2*3^n}[n:1~n]
=1^2*3^1+2^2*3^2+3^2*3^3+…+n^2*3^n

　S(3,1)=1^2*3^1=3

　S(3,2)=3+2^2*3^2=3+36=39

　S(3,n)=39+3^2*3^3=39+243=282

■ S(r,n)=1^2*r^1+2^2*r^2+3^2*r^3+…+n^2*r^n　�@

　r*S(2,n)=1^2*r^2+2^2*r^3+…+n^2*r^(n+1)　�A

　�A-�@ の左辺=(r-1)*S(r,n)

　�A-�@ の右辺
=n^2*r^(n+1)-1^2*r^1
-{(2^2-1^2)*r^2+…+[n^2-(n-1)^2]*r^n}

　{~}
=3*r^2+…+(2*n-1)*r^n
=2*(2*r^2+…+n*r^n)-(r^2+…+r^n)

ここで、

　2*r^2+…+n*r^n={[n*(r-1)-1]*r^(n+1)+r}/(r-1)^2-r

&　r^2+…+r^n=r^2*[r^(n-1)-1]/(r-1)　だから、

　{~}
=2*{[n*(r-1)-1]*r^(n+1)+r}/(r-1)^2-2*r
-r^2*[r^(n-1)-1]/(r-1)

　�A-�@ の右辺
=n^2*r^(n+1)-1^2*r^1
-2*{[n*(r-1)-1]*r^(n+1)+r}/(r-1)^2+2*r
+r^2*[r^(n-1)-1]/(r-1)
={r^(n+1)*[(r-1)^2*n^2-2*(r-1)*n+(r+1)]-r*(r+1)}/(r-1)^2

　S(r,n)=(�A-�@ の右辺)/(r-1)
=r^(n+1)*[(r-1)^2*n^2-2*(r-1)*n+(r+1)]-r*(r+1)}/(r-1)^3

　Σ{n^2*r^n}[n:1~n]
={[(r-1)^2*n^2-2*(r-1)*n+(r+1)]*r^(n+1)-r*(r+1)}/(r-1)^3 ★.

{やっとできた!苦労した!2016/4}

★ r=2　Σ{n^2*2^n}[n:1~n]=(n^2-2*n+3)*2^(n+1)-6 ★.

★ r=3

　S(3,n)
=Σ{n^2*3^n}[n:1~n]
=[(4*n^2-4*n+4)*3^(n+1)-12]/8
=[(n^2-n+1)*3^(n+1)-3]/2

　S(3,n)=Σ{n^2*3^n}[n:1~n]=[(n^2-n+1)*3^(n+1)-3]/2 ★.

　S(3,1)=(3^2-3)/2=3

　S(3,2)=(3*3^3-3)/2=78/2=39

　S(3,3)=(7*3^4-3)/2=564/2=282

★ r=1/2

　S(1/2,n)=Σ{n^2/2^n}[n:1~n]

　S(1/2,1)=1/2　S(1/2,2)=1/2+2^2/2^2=3/2

　S(1/2,3)=3/2+3^2/2^3=3/2+9/8=21/8

　S(1/2,n)
=Σ{n^2/2^n}[n:1~n]
={[(1/2-1)^2*n^2-2*(1/2-1)*n+(1/2+1)]/2^(n+1)-(1/2)*(1/2+1)}
/(1/2-1)^3
=[(n^2/4+n+3/2)/2^(n+1)-3/4]*(-8)
=6-(n^2+4*n+6)/2^n

　S(1/2,n)=Σ{n^2/2^n}[n:1~n]=6-(n^2+4*n+6)/2^n ★.

　S(1/2,1)=6-(1+4+6)/2=6-11/2=1/2

　S(1/2,2)=6-(4+8+6)/2^2=6-9/2=3/2

　S(1/2,3)=6-(9+12+6)/2^3=6-27/8=21/8

{素晴らしい!できた!2016/4}

■

　★　数列の和　★