数学-関数

2012/1  Yuji.W

パラメータ表示

〕パラメータ表示をどのように行えばよいか、意外と謎だ。

■媒介変数parameter

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 
時間微分' 物理定数

◇パラメータ表示の核心◇

■xがX1〜X2と変化するとき、yがY1〜Y2と変化するとする。
xとyをパラメータtで、x=x(t) y=y(t) と表したとき、

ある値T1とT2で、x(T1)=X1 , x(T2)=X2 となるとき、同時に、
y(T1)=Y1 , y(T2)=Y2 とならくてはならない。ここがミソ{!}

tが動き出したら、同時にxもyも動きだし、tが止まったら、xもyも止まることが大事{!}

◇直線のパラメータ表示◇

■yがxの一次関数(直線)の場合を考える。

xとyをtの一次関数として表すとして、上記の条件をつけても、まだ、自由度が残る。そこで、最も単純な方法、t=0 の時、x=X1,y=Y1 t=1 の時、x=X2,y=Y2 になると限定すると、x=(X2-X1)*t+X1 y=(Y2-Y1)*t+Y1 とすればよい。

{注}tを消去すれば、(y-Y1)/(x-X1)=(Y2-Y1)/(X2-X1) 傾きが等しい、直線になる

■3次元での直線の場合

x=(X2-X1)*t+X1 y=(Y2-Y1)*t+Y1 z=(Z2-Z1)*t+Z1

◇半径rの円◇

■x^2+y^2=r^2 x=r*cos(t) y=r*sin(t)

◇楕円◇

■楕円 (x/a)^2+(y/b)^2=1 x=a*cos(t) y=b*sin(t)

◇接線◇

■<r(t)>=<x(t),y(t),z(t)> の t=T における接線ベクトル d<r>/dt

接線 <r(t)>-<r(T)>=t*(d<r>/dt)

成分表示し、パラメータ t を消去すると、

 [x-x(T)]/[dx/dt|t=T] = [y-y(T)]/[dy/dt|t=T] = [z-z(T)]/[dz/dt|t=T]

◇球面◇

■定数a パラメータu,v

 球面 a*<sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u)>
 0<u<(pi) 0<v<2(pi)

 パラメータ表示 

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