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2015/12-2012/10 Yuji.W |
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☆ポアソン分布☆ |
◎ poisson distribution
〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数〕
微分 y;x 2階微分 y;;x 時間微分
y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分
${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役
z!
★.2015/11/13
| ◇ポアソン分布◇ |
◎ 2項分布の計算は、n が大きくなると面倒である。近似する事を考えよう。
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■ n!/(n-k)!=n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1) k<<n のとき 右辺のどの項も n であるとみなして 右辺=n^k ■ (1-p)^(n-k) 0<p<<1 のとき exp(p)=1+p exp(-p)=1-p さらに k<<n のとき n-k~n とみなして (1-p)^(n-k)~[exp(-p)]^n=exp(-n*p) |
◆ ある事象が1回の試行で起こる確率 p 試行回数 n
n>>1 & p<<1 であって、さらに k<<n の場合を考える
ポアソン分布 試行 n回中 k回 起きる確率 Po(E,k) 期待値(平均値) E(k)=n*p
■ Bin(p,n,k)
=p^k*(1-p)^(n-k)*n!/[k!*(n-k)!]
=p^k*exp(-n*p)*n^k/k!
=(n*p)^k*exp(-n*p)/k!
ここで n*p=E を使って、
Bin(p,n,k)=(n*p)^k*exp(-n*p)/k!=E^k*exp(-E)/k!=[1/exp(E)]*(E^k/k!)
≫ ポアソン分布 Po(E,k)=[1/exp(E)]*(E^k/k!) ★.
{わかりにくく書いてある資料が多い!整理して書けば簡単だ!2014/8}
■ 全く起きない確率 Po(E,0)=1/exp(E) ★.
{別解} 全く起きない確率=(1-p)^n
対数をとって ln(全く起きない確率)=n*ln(1-p)
|p|<<1 で ln(1-p)=-p ln(全く起きない確率)=-n*p
(全く起きない確率)=exp(-n*p)=exp(-E)=1/exp(E) ★.
■ ポアソン分布の分散 Var=n*p*(1-p)=E*(1-p)~E ★.
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『ポアソン分布』 2015/12/24 ◆ ある事象が1回の試行で起こる確率 p 試行回数 n n>>1 & p<<1 であって、さらに k<<n の場合、 試行 n回中 k回 起きる確率 Po(E,k) 期待値(平均値) E(k)=n*p ■ Po(E,k)=[1/exp(E)]*(E^k/k!) Var(k)~E ■ 全く起きない確率 Po(E,0)=1/exp(E) 1回以上起きる確率=1-1/exp(E) |
★ p=0.01 n=100 E=100*0.01=1
k回起きる確率 Bin(0.01,100,k)=C(100,k)*0.01^k*0.99^(100-k)
ポアソン分布で近似すれば E=1 Po(1,k)=exp(-1)/k!~0.368/k!
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k |
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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2項分布 |
C(100,k) |
1 |
100 |
4950 |
161700 |
3921225 |
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0.01^k |
1 |
0.01 |
0.0001 |
0.000001 |
0.00000001 |
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0.99^(100-k) |
0.366 |
0.370 |
0.373 |
0.377 |
0.381 |
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Bin(0.01,100,k) |
0.366 |
0.370 |
0.185 |
0.061 |
0.015 |
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ポアソン分布 |
k! |
1 |
1 |
2 |
6 |
24 |
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Po(1,k) |
0.368 |
0.368 |
0.184 |
0.061 |
0.015 |
全く起きない確率=Po(1,0)=0.368
※ 全く起きない確率=0.99^100=x と置くと、
ln(x)=100*ln(0.99)~-1.005 x=exp(-1.005)~0.366
▲ ポアソン分布は、十分よい近似になっている
| ◇例-ポアソン分布◇ |
★ 当たりが100本中1本のくじを、10回ひく ‖
1回ひいた時の当たる確率 p=0.01 その試行を10回行う n=10 E=10*0.01=0.1
全く当たらない確率=Po(0.1,0)=1/exp(0.1)~0.90
1回以上当たる確率=1-0.90=0.1
★ p=0.01 , n=300 E=Var=n*p=3 ※ p=0.001 , n=3000 でもいい。同じ結果{!}
3回起きる確率が大きくなる root(Var)=√3~1.7 起きる回数は、ほぼ 1回~5回 に収まる
Po(3,0)=exp(-3)~0.05 Po(3,k)=0.05*3^k/k!
Po(3,1)=0.05*3=0.15 Po(3,2)=0.05*3^2/2~0.23 Po(3,3)=0.05*3^3/6~0.23
Po(3,4)=0.05*3^4/24~0.17 Po(v5)=0.05*3^5/120~0.1
Po(3,6)=0.05*3^6/720~0.05
★ E=Var=n*p=10 例えば p=0.01 , n=10000
10回起きる確率が大きくなる 7回~13回にほぼ収まる
Po(10,0)=exp(-10)=4.5*Ten(-5) Po(10,k)=4.5*Ten(-5)*10^k/k!
Po(10,5)=4.5*Ten(-5)*10^5/5!~0.04 Po(10,10)=4.5*Ten(-5)*10^10/10!~0.12
Po(10,15)=4.5*Ten(-5)*10^15/15!~0.03
★ ある部品[10年間に1回故障する] 製品[その部品が100個集まっている]
その製品が1日当たり全く故障しない確率 p ‖
部品が1日当たりに故障する確率=1/(365*10)~0.00027
1日当たりに故障する部品の平均数=100*0.00027=0.027
100個の部品が1日当たりに全く故障しない確率 p=Po(0.027,0)=1/exp(0.027)=0.97
1日当たり製品が故障する確率=1-0.97=0.03 小さいが、でも、1ヶ月で1回ぐらい故障する{!}
{別解} 部品が1ヶ月当たりに故障する確率=1/(12*10)~0.0083
1ヶ月当たりに故障する部品の平均数=100*0.0083=0.83 1個に近くなってきた
100個の部品が1ヶ月当たりに全く故障しない確率 p=Po(0.83,0)=1/exp(0.83)=0.44
1ヶ月で製品が故障する確率=1-0.44=0.56
★ ポアソン分布 ★