| ☆お勉強しようwithUz☆ 数学.確率 |
2016/3-2012/10 Yuji.W |
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☆指数分布☆ |
◎ ランダム現象 崩壊 半減期 指数分布の利用 ☆ exponential distribution
◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)〔物理定数〕
| {復習}確率密度関数、確率分布関数 |
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『確率分布 確率変数が連続量』 2016/3 ◆ 確率変数 x ■ ① 確率変数が a<x<b になる確率 P(a~b) ② 確率分布関数(累積分布関数) CD(x)=P(-∞~x) P(a~b)=CD(b)-CD(a) ③ 確率密度関数 PD(x)=CD(x);x ■ 微少量 dx に対して P(x~x+dx)=PD(x)*dx P(a~b)=${PD(x)*dx}[x:a~b]
▲ おおよそ、確率変数が x1 や x4 になる事が起こりやすい |
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| ◇崩壊◇ |
◎ 粒子がランダムに崩壊する現象を考える。「ランダム」とは、前に起きた事象に、次の事象が左右されないという意味である。「無作為」に起きるという事である。粒子の数は、離散量であるが、粒子は多数であり、連続量であるとみなせるとする。
◆ 粒子の崩壊 その時の粒子数に比例した粒子が崩壊する
変数:時間 t 時刻 t の粒子数 N(t) N(0)=N0
時刻 Tau で N(Tau)/N0=1/e~1/2.718~0.37 とする
■ 微少時間 dt に対して、時刻 t~t+dt の変化を考えて、
崩壊した粒子数=N(t)-N(t+dt)=-N'(t)*dt
この量が、その時の粒子数に比例するのだから、
-N(t)'*dt ∝ N(t)*dt ※ 時間微分 '
-N(t)' ∝ N(t)
N(t)'/N=-a ※ 比例定数 a
時間で積分して ln[N(t)] ∝ -a*t+積分定数
N(0)=N0 としたから N(t)=N0*exp(-a*t)
さらに N(Tau)/N0=1/e より 1/e=N(Tau)/N0=exp(-a*Tau)
a=1/Tau
N(t)=N0*exp(-t/Tau) ★.時刻 t まで崩壊しないで残っている粒子の数
■ N(Tau)/N0=exp(-1)~0.37
N(2*Tau)/N0=exp(-2)~0.14
N(3*Tau)/N0=exp(-3)~0.05
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『崩壊』 2016/3 ◎ 粒子がランダムに崩壊する ◆ 変数:時間 t 時刻 t まで崩壊しないで残っている粒子の数 N(t) N(0)=N0 ■ N(t)=N0*exp(-t/Tau) N(Tau)/N0=1/e~0.37 |
| ◇崩壊.確率分布◇ |
◎ 崩壊を、確率分布関数や確率密度関数を使って表す
◆ 粒子の崩壊 確率変数:時間 t 時刻 0 から t までに崩壊する確率 CD(t)
■ 時刻 0 から t までに崩壊しない確率 N(t)/N0=exp(-t/Tau)
CD(t)=1-N(t)/N0=1-exp(-t/Tau) ★.
PD(t)=CD(t)'=(1/Tau)*exp(-t/Tau)
P(t~t+dt)=PD(t)*dt=(dt/Tau)*exp(-t/Tau)
▲ 多数の粒子の崩壊数と考えたが、確率であるから、1つの粒子の崩壊する確率と解釈することもできる。
{まとめるのに10日ぐらいかかった!2013/12}{3つの関数の関係がやっとわかってきた!2014/8}{やっと本当に理解できてきた!2015/5}{なんか、わかっちゃった!2015/12}{説明不足の資料が多い!2016/3}
| ◇崩壊.確率分布◇ |
◎ 崩壊を、確率分布関数や確率密度関数を使って表す
◆ 粒子の崩壊 その時の粒子数に比例した粒子が崩壊する
時刻 t までに崩壊した粒子数 Q(t) 時刻 t の粒子数 N(t) N(0)=N0 Q(t)+N(t)=N0
時刻 Tau で N(Tau)/N0=1/e~1/2.718~0.37 N(t)/N0=exp(-t/Tau)
(累積)確率分布関数 CD(t) 確率密度関数 PD(t)
■ 確率変数:時間t 事象:崩壊が起きる {核心!}
CD(t)=[時刻 t までに崩壊が起きる確率]=Q(t)/N0=[N0-N(t)]/n0=1-exp(-t/Tau) ★.
PD(t)=CD(t);t=(1/Tau)*exp(-t/Tau) ★.
{確かめ} CD(0)=0 CD(∞)=1
▲ 多数の粒子の崩壊数と考えたが、確率であるから、1つの粒子の崩壊する確率と解釈することもできる。
{まとめるのに10日ぐらいかかった!2013/12}{3つの関数の関係がやっとわかってきた!2014/8}{やっと本当に理解できてきた!2015/5}{なんか、わかっちゃった!2015/12}
| ◇指数分布◇ |
◎ 崩壊のような確率分布を 指数分布 exponential distribution と言う
■ 指数分布 exponential distribution 確率変数 t 0≦t
確率分布関数 CD(t)=1-exp(-t/Tau)
確率密度関数 PD(t)=(1/Tau)*exp(-t/Tau)
P(t~t+dt)=PD(t)*dt=(dt/Tau)*exp(-t/Tau)
確率 p(a~b)=CD(b)-CD(a)
CD(tau)=1-1/e~0.63 CD(2*tau)=1-1/e^2~0.86
CD(3*tau)=1-1/e^3~0.95
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■ ${x*exp(-a*x)*dx}[x:0~∞]=1/a^2 ${x^2*exp(-a*x)*dx}[x:0~∞]=2/a^3 |
■ 確率変数 t 事象は [t:0~∞] で起きる。その平均 E(t)
E(t)
=${t*PD(t)*dt}[t:0~∞]
=(1/Tau)*${t*exp(-t/Tau)*dt}[t:0~∞]
=(1/Tau)*Tau^2
=Tau
★.
▲ 1つの粒子が崩壊するまでにかかる時間の平均と解釈する事もできる
★ Tau=60_sec/個 1つの粒子が60秒ごとに崩壊する
1/Tau=1/60_個/sec 1秒ごとに崩壊する確率
■ 1/Tau=λ 崩壊定数(単位時間(1秒間)に崩壊する確率)
■ 崩壊するのにかかる時間の分散 Var(t)
=${t^2*PD(t)*dt}[t:0~∞]-E(t)^2
=(1/Tau)*${t^2*exp(-t/Tau)*dt}[t:0~∞]-E(t)^2
=(1/Tau)*(2*Tau^3)-Tau^2
=Tau^2
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『指数分布』 2015/12 ■ 指数分布 確率変数 t 0≦t 確率分布関数(事象が時刻 0~t の間に起きる確率) CD(t)=1-exp(-t/Tau) 確率密度関数 PD(t)=CD(t);t=(1/Tau)*exp(-t/Tau) 確率 P(a~b)=CD(b)-CD(a) ■ 平均 E(t)=Tau 分散 Var(t)=Tau^2 1/Tau 崩壊定数(単位時間に崩壊する確率) 半減期 T2.=ln(2)*Tau~0.69315*Tau P(0~Tau)=CD(Tau)-CD(0)=1-exp(-Tau/Tau)~0.632 {事象が起きない確率も 4割近くある!}
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| ◇指数分布の例◇ |
◎ 故障 お客の来店 電話の通話時間
★ ある製品はランダムに故障が起きる 確率変数:時間_年
故障が起きる平均年数 Tau=5_年 ∥
CD(t)=1-exp(-t/5)
P(0~1)=CD(1)-CD(0)=1-exp(-1/5)~0.18 2割近く1年で故障する{!}
★ お店に客がランダムに来る 確率変数:時間 t_分
1人が来る平均時間 Tau=10_分 ∥
P(0~t)=CD(t)=1-exp(-t/10)
P(0~10)=CD(10)=1-exp(-10/10)~0.632
P(0~30)=CD(30)=1-exp(-30/10)=1-1/e^3~0.950
30分以内に来ない確率=1-P(0~30)~0.05 20回に1回ぐらい起きる
{30分お客が来ないからといってうろたえるなという事!20回に1回ぐらいは起きるのだから!2015/12}
★ 電話の通話時間を考える。電話は無作為に切れるとする。確率変数:電話の通話時間 t_分 0≦t 無限に話す人もいるとしている 平均の通話時間 Tau=5_分 ∥
P(0~t)=CD(t)=1-exp(-t/5)
P(0~1)=CD(1)=1-exp(-1/5)~0.18
P(0~5)=CD(5)=1-exp(-5/5)~0.63
P(10~)=1-P(0~10)=1-CD(10)=exp(-10/5)~0.14 1割以上が10分以上話す
{指数分布の利用の仕方がやっとわかってきた!2015/12}
★ 指数分布 ★