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2015/12-2012/10 Yuji.W

random walk

◎ コインを10回振る。5回表が出る ?

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆シミュレイション-random walk☆

◆ 一直線上を移動する。始めは原点にいる。コインを振り、表なら+1、裏なら-1移動する。それを繰り返す。最終的にどこにいることが多いだろうか。表の出る回数と裏の出る回数は、ほぼ同じになるだろうから、原点やその周辺にいる事が多くなると予想される。

■ excel の乱数関数を利用し、模擬実験をしてみた。100回コインを振り、どこにいったかを調べる。その実験を100回してみた。合計10000回コインを振ったことになる。集計しグラフにしてみた。

表100回 +100 表99回 +98 … 表50回で 0 … 表0回 -100

横軸が原点からの距離、縦軸がその位置に来た実験の回数を表す。

最終的位置は、原点から出発し、コインは偶数回振ったので、偶数に限られる。奇数は出てこない。

もちろん、 0 を中心に集まるのだが、思ったほど真ん中に集中していない。けっこう散らばり(ゆらぎ)がある。

0は8回、最大+24、最小-20であった。平均は、0.36 になった。

また、原点からの差を2乗したものの平均は、109.28 であって、root(109.28)~10 
 (コインを振った回数)=root(ずれの2乗の平均) になることがわかる。今の場合は 100 である。平方根を求めれば、10。グラフを見れば、ずれの幅の目安は左右にそれぞれ 10 であることが納得できる。

☆randomwalk 4方向☆

▲ 上下左右4方向に適当に進む。距離は1ずつである。200回で、どこに行くか。その1例である。

☆randomwalk☆

◆ 点が直線上を動く。初め原点にあり、その後、1試行ごとに距離 1 動く。 (+方向に動く確率)=(-方向に動く確率)=1/2 試行を n回繰り返す。

n回の試行後の点の位置 x その確率 p(n,x) x^2 の平均 @(n,x^2)

※ x の平均は 0

■ n 回の試行中、+方向に k 回、-方向に (n-k)回 x=k-(n-k)=2*k-n {核心!}

 p(n,2*k-n)=C(n,k)/2^n

n=1 のとき

 k=0 x=-1 p(1,-1)=C(1,0)/2=1/2
 k=1 x=1 p(1,1)=C(1,1)/2=1/2

 @(1,x^2)=1^2*(1/2)*2=1

n=2 のとき 2^2=4

 k=0 x=-2 p(2,-2)=C(2,0)/4=1/4
 k=1 x=0 p(2,0)=C(2,1)/4=1/2
 k=2 x=2 p(2,2)=C(2,2)/4=1/4

 @(2,x^2)=2^2*(1/4)*2+0=2

n=3 のとき 2^3=8

 k=0 x=-3 p(3,-3)=C(3,0)/8=1/8
 k=1 x=-1 p(3,-1)=C(3,1)/8=3/8
 k=2 x=1 p(3,1)=C(3,2)/4=3/8
 k=3 x=3 p(3,3)=C(3,3)/4=1/8

 @(3,x^2)=3^2*(1/8)*2+1^2*(3/8)*2=9/4+3/4=3

n=10 のとき 2^10=1024

 @(10,x^2)
=2*[10^2*P(0,10)+8^2*P(1,10)+6^2*P(2,10)
+4^2*P(3,10)+2^2*P(4,10)]+0
=2*[100+64*10+36*10!/(8!*2!)+16*10!/(7!*3!)+4*10!/(6!*4!)]/2^10
=2*(100+640+1620+1920+840)/1024
=10240/1024
=10

■ @(n-1,x^2)=n-1 と仮定すると、n-1 回の試行で、平均 ±root(n-1) の位置にいる。

次の n 回目の試行で、次の4つの位置に移動する。その確率は 1/4

 root(n-1)+1 root(n-1)-1 -root(n-1)+1 -root(n-1)-1

 @(n,x^2)
={[root(n-1)+1]^2+[root(n-1)-1]^2
+[-root(n-1)+1]^2+[-root(n-1)-1]^2}/4
=(n-1)+1
=n 

■ randomwalk の場合、+方向が1つ増え、-方向が1つ減ると、+2変化した。その結果が、

 @(n,x^2)=n

+方向が1つ増え、-方向が1つ減ると、+1 変化する場合は、

 @(n,x^2)=n/4 root[@(n,x^2)]=root(n)/2 

『random walk』 2015/5

◆ 点が直線上を動く。初め原点にあり、その後、1試行ごとに距離 1 動く。

 (+方向に動く確率)=(-方向に動く確率)=1/2 試行を n回繰り返す。

n回の試行後の点の位置 x x^2の平均 @(n,x^2)

■ @(n,x^2)=n root[@(n,x^2)]=root(n)

★ コインを100枚振る。(100回振るでもよい。)そのうち、k 枚表が出る確率を考える。

表が出る確率は 1/2 だから、おおよそ50枚が表になるが、ずれがあって、その目安は、

 標準偏差 root[@(100,k^2)]=root(100)/2=5

おおよそ 70%の確率で、45枚〜55枚になる。

☆randomwalk☆

◎ 動かない場合も考える

◆ 1次元運動 1点が試行ごとに距離 1 動く 試行の回数 n n=0 のとき x=0

(+方向に動く確率)=(-方向に動く確率)=p (動かない確率)=1-2*p

点の位置 x その平均 @x=0 2乗の平均 @(n,x^2) n 回の試行後、点が x にいる確率 p(n,x)

n=1 のとき p(1,-1)=p(1,1)=p p(1,0)=1-2*p 確率の和=2*p+(1-2*p)=1

 @(1,x^2)=2*1^2*p+0=2*p

n=2 のとき -1 や 1 に、止まったままの場合がある

 p(2,-2)=p(2,2)=p(1,1)*p=p^2
 p(2,-1)
=p(2,1)
=p(1,0)*p+p(1,1)*(1-2*p)
=(1-2*p)*p+p*(1-2*p)
=2*p*(1-2*p)
 p(2,0)=2*p(1,1)*p+p(1,0)*(1-p)=2*p^2+(1-2*p)^2=6*p^2-4*p+1

 確率の和=2*p^2+2*2*p*(1-2*p)+(6*p^2-4*p+1)=1

 @(2,x^2)
=2*2^2*p^2+2*1^2*2*p*(1-2*p)
=8*p^2+(4*p-8*p^2)
=4*p

■ 事象は、+方向と-方向は対称に起きているから、+方向だけ考える。

@(n-1,x^2)=2*p*(n-1) と仮定すると、平均 root[2*p*(n-1)] の位置にいる。

 @(n,x^2)
={root[2*p*(n-1)]-1}^2*p
+{root[2*p*(n-1)+1]}^2*p+{root[2*p*(n-1)}^2*(1-2*p)
=2*2*p*(n-1)*p+2*p+2*p*(n-1)*(1-2*p)
=4*p^2*(n-1)+2*p+(2*p-4*p^2)*(n-1)
=2*p*n〔

■ 距離 d だけ移動する場合だと、

 @(n,x^2)=2*p*n*d^2〔

■ 試行が、時間に関して平均的に起きる場合 1回に起きる平均時間 Tau

時間 t での試行回数 n=t/Tau 拡散係数 D=p*d^2/Tau

 @(t,x^2)=2*D*t root[@(t,x^2)]=root(2*D*t)〔

  randomwalk  

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