◎  ★_

〓　シミュレイション-random walk　〓　.

◆ 一直線上を移動する。始めは原点にいる。コインを振り、表なら+1、裏なら-1移動する。それを繰り返す。最終的にどこにいることが多いだろうか。表の出る回数と裏の出る回数は、ほぼ同じになるだろうから、原点やその周辺にいる事が多くなると予想される。

■ excel の乱数関数を利用し、模擬実験をしてみた。100回コインを振り、どこにいったかを調べる。その実験を100回してみた。合計10000回コインを振ったことになる。集計しグラフにしてみた。

表100回 +100　表99回 +98　…　表50回で 0　…　表0回 -100

横軸が原点からの距離、縦軸がその位置に来た実験の回数を表す。

最終的位置は、原点から出発し、コインは偶数回振ったので、偶数に限られる。奇数は出てこない。

もちろん、 0 を中心に集まるのだが、思ったほど真ん中に集中していない。けっこう散らばり(ゆらぎ)がある。

0は8回、最大+24、最小-20であった。期待値は、0.36 になった。

また、原点からの差を2乗したものの期待値は、109.28 であって、root(109.28)~10　
　(コインを振った回数)=root(ずれの2乗の期待値)　になることがわかる。今の場合は 100 である。平方根を求めれば、10。グラフを見れば、ずれの幅の目安は左右にそれぞれ 10 であることが納得できる。

〓　randomwalk 4方向　〓　.

▲ 上下左右4方向に適当に進む。距離は1ずつである。200回で、どこに行くか。その1例である。

〓　random walk　〓　.

◆ 点が直線上を動く。初め原点にあり、その後、1試行ごとに距離 1 動く。　(+方向に動く確率)=(-方向に動く確率)=1/2　試行を n回繰り返す。

n回の試行後の点の位置 x(n)　その確率 p(n,x)

x の期待値 @x(n)=0　|x| の期待値 @|x(n)|　x^2 の期待値 @x(n)^2

■【 n=1 】

　p(1,1)=p(1,-1)=1/2

　@|x(1)|=1*(1/2)*2=1

　@x(1)^2=1^2*(1/2)*2=1

■【 n=2 】

　p(2,2)=p(2,-2)=1/4　p(2,0)=1/2

　@|x(2)|=2*(1/4)*2=1

　@x(2)^2=4*(1/4)*2+0^2*(1/2)=2

■【 n=3 】

　p(3,3)=p(3,-3)=1/8　p(3,1)=p(3,-1)=3/8

　@|x(3)|=3*(1/8)*2+1*(3/8)*2=1.5

　@x(3)^2=9*(1/8)*2+1*(3/8)*2=3

■【 n=4 】

　p(4,4)=p(4,-4)=1/16　p(4,2)=p(4,-2)=4/16=1/4　p(4,0)=6/16=3/8

　@|x(4)|=4*(1/16)*2+2*(1/4)*2+0*(3/8)=1.5

　@x(4)^2=16*(1/16)*2+4*(1/4)*2+0*(3/8)=4

■【 n=5 】

　p(5,5)=p(5,-5)=1/32　p(5,3)=p(5,-3)=5/32　p(5,1)=p(5,-1)=10/32=5/16

　@|x(5)|=5*(1/32)*2+3*(5/32)*2+1*(5/16)*2=30/16=15/8

　@x(5)^2=25*(1/32)*2+9*(5/32)*2+1*(5/16)*2=80/16=5

▲ 次のように予想できる　@x(n)^2=n ★_

〓　randomwalk　〓　.

◆ 点が直線上を動く。初め原点にあり、その後、1試行ごとに距離 1 動く。　(+方向に動く確率)=(-方向に動く確率)=1/2　試行を n回繰り返す。

n回の試行後の点の位置 x　その確率 p(n,x)　x^2 の期待値 @x(n)^2

※ x の期待値は 0

■ n 回の試行中、+方向に k 回、-方向に (n-k)回　x=k-(n-k)=2*k-n　{核心!}

　p(n,2*k-n)=C(n,k)/2^n

n=1 のとき

　k=0　x=-1　p(1,-1)=C(1,0)/2=1/2
　k=1　x=1　p(1,1)=C(1,1)/2=1/2

　@x(1)^2=1^2*(1/2)*2=1

n=2 のとき　2^2=4

　k=0　x=-2　p(2,-2)=C(2,0)/4=1/4
　k=1　x=0　p(2,0)=C(2,1)/4=1/2
　k=2　x=2　p(2,2)=C(2,2)/4=1/4

　@x(2)^2=2^2*(1/4)*2+0=2

n=3 のとき　2^3=8

　k=0　x=-3　p(3,-3)=C(3,0)/8=1/8
　k=1　x=-1　p(3,-1)=C(3,1)/8=3/8
　k=2　x=1　p(3,1)=C(3,2)/4=3/8
　k=3　x=3　p(3,3)=C(3,3)/4=1/8

　@x(3)^2=3^2*(1/8)*2+1^2*(3/8)*2=9/4+3/4=3

n=10 のとき　2^10=1024

　@x(10)^2
=2*[10^2*P(0,10)+8^2*P(1,10)+6^2*P(2,10)
+4^2*P(3,10)+2^2*P(4,10)]+0
=2*[100+64*10+36*10!/(8!*2!)+16*10!/(7!*3!)+4*10!/(6!*4!)]/2^10
=2*(100+640+1620+1920+840)/1024
=10240/1024
=10

■ @x(n-1)^2=n-1　と仮定すると、n-1 回の試行で、期待値 ±root(n-1) の位置にいる。

次の n 回目の試行で、次の4つの位置に移動する。その確率は 1/4

　root(n-1)+1　root(n-1)-1　-root(n-1)+1　-root(n-1)-1

　@x(n)^2
={[root(n-1)+1]^2+[root(n-1)-1]^2
+[-root(n-1)+1]^2+[-root(n-1)-1]^2}/4
=(n-1)+1
=n ★

■ randomwalk の場合、+方向が1つ増え、-方向が1つ減ると、+2変化した。その結果が、

　@x(n)^2=n

+方向が1つ増え、-方向が1つ減ると、+1 変化する場合は、

　@x(n)^2=n/4　root[@x(n)^2]=root(n)/2 ★

★ コインを100枚振る。(100回振るでもよい。)そのうち、k 枚表が出る確率を考える。

表が出る確率は 1/2 だから、おおよそ50枚が表になるが、ずれがあって、その目安は、

　標準偏差 root[@(100,k^2)]=root(100)/2=5

おおよそ 70%の確率で、45枚〜55枚になる。

〓　randomwalk　〓　.

◎ 動かない場合も考える

◆ 1次元運動　1点が試行ごとに距離 1 動く　試行の回数 n　n=0 のとき x=0

(+方向に動く確率)=(-方向に動く確率)=p　(動かない確率)=1-2*p

点の位置 x　その期待値 @x=0　2乗の期待値 @x(n)^2　n 回の試行後、点が x にいる確率 p(n,x)

■ n=1 のとき　p(1,-1)=p(1,1)=p　p(1,0)=1-2*p　確率の和=2*p+(1-2*p)=1

　@x(1)^2=2*1^2*p+0=2*p

n=2 のとき　-1 や 1 に、止まったままの場合がある

　p(2,-2)=p(2,2)=p(1,1)*p=p^2
　p(2,-1)
=p(2,1)
=p(1,0)*p+p(1,1)*(1-2*p)
=(1-2*p)*p+p*(1-2*p)
=2*p*(1-2*p)
　p(2,0)=2*p(1,1)*p+p(1,0)*(1-p)=2*p^2+(1-2*p)^2=6*p^2-4*p+1

　確率の和=2*p^2+2*2*p*(1-2*p)+(6*p^2-4*p+1)=1

　@x(2)^2
=2*2^2*p^2+2*1^2*2*p*(1-2*p)
=8*p^2+(4*p-8*p^2)
=4*p

■ 事象は、+方向と-方向は対称に起きているから、+方向だけ考える。

@x(n-1)^2=2*p*(n-1)　と仮定すると、期待値 root[2*p*(n-1)] の位置にいる。

　@x(n)^2
={root[2*p*(n-1)]-1}^2*p
+{root[2*p*(n-1)+1]}^2*p+{root[2*p*(n-1)}^2*(1-2*p)
=2*2*p*(n-1)*p+2*p+2*p*(n-1)*(1-2*p)
=4*p^2*(n-1)+2*p+(2*p-4*p^2)*(n-1)
=2*p*n〔★〕

■ 距離 d だけ移動する場合だと、

　@x(n)^2=2*p*n*d^2〔★〕

■ 試行が、時間に関して期待値的に起きる場合　1回に起きる期待値時間 Tau

時間 t での試行回数 n=t/Tau　拡散係数 D=p*d^2/Tau

　@(t,x^2)=2*D*t　root[@(t,x^2)]=root(2*D*t)〔★〕

☆ お勉強しよう　2019-2011　Yuji.W ☆