お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2011/7 Yuji.W

☆連立方程式.行列☆

◎ 行列を使って、連立方程式を解く 逆行列 行基本変形

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆逆行列を使って、連立方程式を解く☆

◆ 2元連立方程式 a*x+b*y=p c*x+d*y=q

係数行列 [A]=[a b|c d] その逆行列 [Ai]

■ 2元連立方程式 [A]*<x y)=<p q)

左から[A]の逆行列を掛けて [Ai]*[A]*<x y)=[Ai]*<p q)

 <x y)=[Ai]*<p q) .

※ 未知数の数が増えても、同様にできる

{計算例}☆

★ 2元連立方程式 2*x+y=3 & 3*x-y=7 [A]=[2 1|3 -1]

det[A]=-5 [Ai]=[-1 -1|-3 2]/(-5)=[1 1|3 -2]/5

 <x y)=[1 1|3 -2]*<3 7)/5=<10 -5)/5=<2 -1)

★ 2元連立方程式 3*x-4*y=15 & 5*x+6*y=-13 [A]=[3 -4|5 6]

det[A]=38 [Ai]=[6 4|-5 3]/38

 <x y)=[6 4|-5 3]*<15 -13)/38=<38 -114)/38=<1 -3)

★ 3元連立方程式 x+y+2*z=1 & 2*x+y+4*z=0 3*x+2*y+4*z=3

 [A]=[1 1 2|2 1 4|3 2 4] [Ai]=[-4 0 2|4 -2 0|1 1 -1]/2

 <x y z)=(1/2)*[-4 0 2|4 -2 0|1 1 -1]*<1 0 3)=(1/2)*<2 4 -2)=<1 2 -1)

☆行基本変形☆

■ 連立方程式を加減法で解く過程を考えると、次のような事をしていることがわかる。

@ ある行を k倍 する。
A ある行に、他の行を加える。
B ある行に、他の行を k 倍して加える。
C 2つの行を入れ替える。

それは、次の行列に対応している。

@ [k 0|0 1]*[a b|c d]=[k*a k*b|c d] 1行目を k倍

 [1 0|0 k]*[a b|c d]=[a b|k*c k*d] 2行目を k倍

A [1 1|0 1]*[a b|c d]=[a+c b+d|c d] 1行目に2行目を足す

 [1 0|1 1]*[a b|c d]=[a b|a+c b+d] 2行目に1行目を足す

B [1 k|0 1]*[a b|c d]=[a+k*c b+k*d|c d] 1行目に2行目のk倍を足す

  [1 0|k 1]*[a b|c d]=[a b|k*a+c k*b+d] 2行目に1行目のk倍を足す

C [0 1|1 0]*[a b|c d]=[c d|a b] 行の入れ替え

◆ 係数行列 [A] その逆行列 [Ai] 未知数縦ベクトル <X) 定数縦ベクトル <C)

連立方程式 [A]*<X)=<C) と解きたい 解 <X)=[Ai]*<C)

■ [A]と<C)を並べた行列 [[A] & <C)]

適当に行基本変形をして [A]が[E]になるようにする。掛けた行基本変形行列の積は [A]の逆行列 [Ai] になっている。

  [[A] & <C)] ⇒ [[Ai]*[A] & [Ai]*<C)] ⇒ [[E] & [Ai]*<C)]

 [Ai]*<C) は、連立方程式の解になっている .

{計算例}

★ 2元連立方程式 2*x+y=3 & 3*x-y=7

係数行列 [2 1|3 -1] 定数縦ベクトル <3 7) 並べた行列 [2 1 3|3 -1 7]

行基本変形を使って [2 1 3|3 -1 7] ⇒ [1 1/2 3/2|3 -1 7] ⇒

 [1 1/2 3/2|0 -5/2 5/2] ⇒ [1 1/2 3/2|0 1 -1] ⇒ [1 0 2|0 1 -1]

[1 0 2|0 1 -1]=[[1 0|0 1]&<2 -1)] 単位行列ができた そのとき 解 <2 -1)

★ 2元連立方程式 3*x-4*y=15 5*x+6*y=-13

 [3 -4 15|5 6 -13] [-2 -10 28|5 6 -13] [1 5 -14|5 6 -13]

 [1 5 -14|0 -19 57] [1 5 -14|0 1 -3] [1 0 1|0 1 -3] x=1,y=-3  //

★ 3元1次連立方程式 x+y+z=6 , x-y+2z=5 , 3x+y-z=2

 [1 1 1 6|1 -1 2 5|3 1 -1 2] [1 1 1 6|0 -2 1 -1|0 -2 -4 -16]

 [1 1 1 6|0 1 -1/2 1/2|0 1 2 8] [1 1 1 6|0 1 -1/2 1/2|0 0 1 3]

 [1 1 1 6|0 1 0 2|0 0 1 3] [1 0 0 1|0 1 0 2|0 0 1 3] x=1,y=2,z=3

★ 3元1次連立方程式 x+y+2*z=2 , -y+2z=-3 , -y+z=-1

 [1 1 2 2|0 -1 2 -3|0 -1 1 -1] [1 1 2 2|0 1 -2 3|0 0 1 -2]

 [1 0 0 7|0 1 0 -1|0 0 1 -2] x=7,y=-1,z=-2

  行列.連立方程式  

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