お勉強しようUz 数学.積分

2016/10-2011 Yuji.W

対数関数の積分

◎ ln|x| の積分 ln(x) の積分 log|x| の積分 log(x) の積分

ln[x+root(x^2+1)] の積分 log[x+squre(x^2+1)] の積分

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔 物理定数. 〕
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{復習}ln|x| の微分

■ ln|x|;x=1/x

☆ln|x|の積分☆

■【 関数 ln|x| 】

0<x で ln|x| 単調増加関数 x=1 で ln|x|=0

x<0 で ln|x| 単調減少関数 x=-1 で ln|x|=0

■【 ${ln|x|} 】

0 を除く実数で定義できる関数 ln|x| を考える

 (x*ln|x|);x=(x;x)*ln|x|+x*(ln|x|;x)=ln|x|+x*(1/x)=ln|x|+1

 (x*ln|x|-x);x=ln|x|

 ${ln|x|*dx}=x*ln|x|-x+積分定数 .

■【 x>1 ln|x| の面積 】

ln|x| とx軸に挟まれ、範囲 1~x〔 x>1 〕の面積 S(1~x)

 S(1~x)
=${ln|x|*dx}[x:1~x]
=[x*ln|x|-x][x:1~x]
=x*ln(x)-x-1*ln(1)+1
=x*ln(x)-x+1

≫ S(1~x)=x*ln(x)-x+1 .

 S(1~1)=0 S(1~2)=2*ln(2)-2+1=2*ln(2)-1~0.386

{確かめ} ln(1)=0 ln(1.5)~0.405 ln(2)~0.693 次のように近似すれば、

 S(1~2)
=三角形(x=0~0.5)+台形(x=0.5~1)
=0.5*0.405/2+0.5*(0.405+0.693)/2
~0.101+0.275
=0.376 {いい感じ!2016/10}

■【 x<-1 ln|x| の面積 】

ln|x| とx軸に挟まれ、範囲 x~-1〔 x<-1 〕の面積 S(x~-1)

 S(x~-1)
=${ln|x|*dx}[x:x~-1]
=[x*ln|x|-x][x:x~-1]
=ln|-1|+1-x*ln|x|+x

=-x*ln|x|+x+1 .

★ S(-2~-1)=+2*ln|-2|-2+1=2*ln(2)-10.386

◇ln[x+root(x^2+1)] の積分◇

■ 任意の x に対して x+root(x^2+1) > 0

 ${[ln[x+root(x^2+1)]*dx}=x*ln[x+root(x^2+1)]-root(x^2+1) .

{確かめ} [root(x^2+1)];x=(1/2)*2*x/root(x^2+1)=x/root(x^2+1)

 {ln[x+root(x^2+1)]};x
=[1+x/root(x^2+1)]/[x+root(x^2+1)]
=[x+root(x^2+1)]/{root(x^2+1)*[x+root(x^2+1)]}
=1/root(x^2+1)

 {x*ln[x+root(x^2+1)]};x=ln[x+root(x^2+1)]+x/root(x^2+1)

 (右辺);x
=ln[x+root(x^2+1)]+x/root(x^2+1)-x/root(x^2+1)
=ln[x+root(x^2+1)] ‖

★ ${[ln[x+root(x^2+1)]*dx}[x:0~1]
=ln(1+root2)-root2+1

  対数関数の積分  

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