数学 微分 2018/4-2011 Yuji.W

☆ 対数関数の微分

ln(x);x ln|x| 1/x の積分  _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <hu>,<a>,<z> 球座標 <ru>,<a>,<b>

◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
 i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 ネイピア数 〓 

■ h->∞ で、

 (1+1/h)^h -> e~2.718281828=ネイピア数{定義}

 (1+x/h)^h -> e^x [1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)] -> √e

■ h->0 で、

 (1+h)^(1/h) -> e

 ln(1+h)/h -> 1 (e^h-1)/h -> 1 (a^h-1)/h -> ln(a) x*ln(x) -> 0

〓 対数関数の微分 〓 

◎ 正の実数 x ln(x);x ?

■  lim[h->+0]{ln(1+h)/h}=1 より、

 lim[h->+0]{ln(1+h/x)/(h/x)}=1

 lim[h->+0]{x*ln(1+h/x)/h}=1

 lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}=1/x

微分の定義より、

 ln(x);x
=lim[h->+0]{[ln(x+h)-ln(x)]/h}
=lim[h->+0]{ln[(x+h)/x]/h}
=lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}

ここで lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}=1/x だったから、

 ln(x);x=lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}=1/x

》 ln(x);x=1/x _

{別解} 正の実数 x y=ln(x) x=e^y

 x;y=e^y=e^ln(x)=x

 ln(x);x=y;x=1/(x;y)=1/x _

〓 ln(k*x);x 〓 

@ ln(x) を実数で考えるとき、x>0 {核心!}

■ x>0 の範囲で ln(3*x);x=[ln(3*x);(3*x)]*[(3*x);x]=[1/(3*x)]*3=1/x

 1/x>0 ln(3*x);x>0 ln(3*x) は増加関数

■ x<0 の範囲で、

 ln(-3*x);x=[ln(-3*x);(-3*x)]*[(-3*x);x]=[1/(-3*x)]*(-3)=1/x

 1/x<0 ln(-3*x);x<0 ln(-3*x) は減少関数

■ x>0 & k>0 のとき ln(k*x);x=1/x

x<0 & k<0 のとき ln(k*x);x=1/x

x の値に関わらず ln(k*x);x=1/x〔 k*x>0 〕 _

{こういう基本がわかってないんだなあ!2016/12}

〓 関数 y=ln|x| 〓 

関数を実数の範囲で考えれば ln(x) において x>0 でなければならない。負の数は扱えない。

@ ln(x) x>0 という制限がある  ln(-x) x<0 という制限がある

 ln|x| を考える。ln(x) とは異なる新しい関数としてとらえた方がよい。
 x=0 を除く、任意の x について定義できる。

■ x>0 で ln|x|=ln(x)  x<0 で ln|x|=ln(-x)

y軸に対して対称 x=0 では定義できない

〓 ln|x| の微分 〓 

■ x>0 で [ln|x|];x=[ln(x)];x=1/x

x<0 で [ln|x|];x=[ln(-x)];x=1/x ※ - はつかない{核心!}

 ln|x|は減少関数だから 1/x < 0 で、つじつまが合う

まとめて x の正負に関係なく [ln|x|];x=1/x _

▲ ln(x) は正の数に対してしか定義できない。

ln|x| は、0 を除く実数に対して定義でき、その微分は 1/x

■ (ln|k*x|);x=1/x _

〓 log(a,x);x 〓 

■ 正の実数 a 底 a に対する対数関数 log(a,x)

ネイピア数 e log(a,x)=log(e,x)/log(e,a)=ln(x)/ln(a)

 log(a,x);x=ln(x);x/ln(a)=1/[ln(a)*x] _

》 log(a,x);x=1/[ln(a)*x] _

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