お勉強しよう.Uz 〕 数学.微分

2016/12-2011 Yuji.W

対数関数の微分

◎ ln(3*x);x=1/x [ln|x|];x なにゆえ絶対値記号が出てくる?

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 〔物理定数〕 .
ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{復習}ネイピア数

『ネイピア数』 2016/9

■ h->∞ で、

 (1+1/h)^h -> e~2.718281828=ネイピア数{定義}

 (1+x/h)^h -> e^x [1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)] -> √e

■ h->0 で、

 (1+h)^(1/h) -> e

 ln(1+h)/h -> 1 (e^h-1)/h -> 1 (a^h-1)/h -> ln(a) x*ln(x) -> 0

◇対数関数の微分◇

 ■【 [ln(x)];x〔 x>0 〕 】

{定義} [ln(x)];x=lim[h->0]{[ln(x+h)-ln(x)]/h}

ここで ln(x+h)-ln(x)=ln[(x+h)/x]=ln(1+h/x)

また lim[h->0]{ln(1+h/x)/(h/x)}=1 {核心!} だから、

 [ln(x)];x=(1/x)*lim[h->0]{ln(1+h/x)/(h/x)}=1/x .

{うまくできてる!2016/9}

■【 ln(k*x);x 】 k:正の定数 x>0

k*x=X と置けば X;x=k

 [ln(k*x)];x=[ln(X);X]*(X;x)=(1/X)*k=[1/(k*x)]*k=1/x

≫ [ln(k*x)];x=1/x .k の値に依らない

{別解} [ln(k*x)];x=[ln(k)+ln(x)];x=0+1/x=1/x

{こういう基本がわかってないんだなあ!2016/12}

☆関数 y=ln|x|☆

■【 ln|x| 】

関数を実数の範囲で考えれば ln(x) において x>0 でなければならない。負の数は扱えない。

ln|x| を考える。ln(x) とは異なる新しい関数としてとらえた方がよい。

x>0 で ln|x|=ln(x)  x<0 で ln|x|=ln(-x)

y軸に対して対称 x=0 では定義できない

☆ln|x| の微分☆

■【 [ln|x|];x 】

x>0 で [ln|x|];x=[ln(x)];x=1/x .

x<0 で [ln|x|];x=[ln(-x)];x=1/x ※ - はつかない{核心!}

 ln|x|は減少関数だから 1/x < 0 で、つじつまが合う

まとめて x の正負に関係なく [ln|x|];x=1/x .

▲ ln(x) は正の数に対してしか定義できない。

ln|x| は、0 を除く実数に対して定義でき、その微分は 1/x

  対数関数の微分  

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