数学　微分　2018/4-2011　Yuji.W

☆ 対数関数の微分 ☆

◎ ln(x);x　ln|x|　1/x の積分  ★_

〓　ネイピア数　〓　

■ h->∞　で、

　(1+1/h)^h -> e~2.718281828=ネイピア数{定義}

　(1+x/h)^h -> e^x　[1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)] -> √e

■ h->0　で、

　(1+h)^(1/h) -> e

　ln(1+h)/h -> 1　(e^h-1)/h -> 1　(a^h-1)/h -> ln(a)　x*ln(x) -> 0

〓　対数関数の微分　〓　

◎ 実数関数 ln(x)　x>0 でしか扱えない

■  lim[h->+0]{ln(1+h)/h}=1　より、

　lim[h->+0]{ln(1+h/x)/(h/x)}=1

　lim[h->+0]{x*ln(1+h/x)/h}=1

　lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}=1/x

微分の定義より、

　ln(x);x
=lim[h->+0]{[ln(x+h)-ln(x)]/h}
=lim[h->+0]{ln[(x+h)/x]/h}
=lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}

ここで　lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}=1/x　だったから、

　ln(x);x=lim[h->+0]{ln(1+h/x)/h}=1/x

》 ln(x);x=1/x ★_

{別解}　正の実数 x　y=ln(x)　x=e^y

　x;y=e^y=e^ln(x)=x

　ln(x);x=y;x=1/(x;y)=1/x ★_

■ {ln(x);x x=1}=1　{ln(x);x x=2}=0.5　{ln(x);x x=0.5}=2

〓　x<0　ln(-x);x　〓　

x	-2	-1	-0.5	0	0.5	1	2
ln(x)	×	×	×	×	-0.69	0	0.69
ln(x);x=1/x	×	×	×	×	2	1	0.5
ln(-x)	0.69	0	-0.69	×	×	×	×
ln(-x);x=1/x	-0.5	-1	-2	×	×	×	×

■ x<0　ln(-x);x=[ln(-x);(-x)]*[(-x);x]=[1/(-x)]*(-1)=1/x ★_

■ {ln(-x);x x=-2}=-0.5　{ln(-x);x x=-1}=-1　{ln(-x);x x=-0.5}=-2

----- まとめ -----

x>0　のとき　ln(x);x=1/x > 0　　x<0　のとき　ln(-x);x=1/x < 0

正負まとめて　ln|x|;x=1/x　※ 微分係数の値は マイナス であってよい

〓　1/x の積分　〓　

■ 正負まとめて　ln|x|;x=1/x　※ 微分係数の値は マイナス であってよい

　${dx/x}=ln|x|+積分定数 ★_

　${dx/(-x)}=-${dx/x}=-ln|x|+積分定数 ★_

{全然わかってなかった!18/07}

〓　ln(k*x);x　〓　

@ ln(x) を実数で考えるとき、x>0　{核心!}

■ x>0　の範囲で　ln(3*x);x=[ln(3*x);(3*x)]*[(3*x);x]=[1/(3*x)]*3=1/x

　1/x>0　ln(3*x);x>0　ln(3*x) は増加関数

■ x<0　の範囲で、

　ln(-3*x);x=[ln(-3*x);(-3*x)]*[(-3*x);x]=[1/(-3*x)]*(-3)=1/x

　1/x<0　ln(-3*x);x<0　ln(-3*x) は減少関数

■ x>0　&　k>0　のとき　ln(k*x);x=1/x

x<0　&　k<0　のとき　ln(k*x);x=1/x

x の値に関わらず　ln(k*x);x=1/x〔 k*x>0 〕 ★_

{こういう基本がわかってないんだなあ!2016/12}

〓　関数 y=ln|x|　〓　

● 関数を実数の範囲で考えれば　ln(x) において　x>0　でなければならない。負の数は扱えない。

@ ln(x)　x>0 という制限がある　　ln(-x)　x<0 という制限がある

 ln|x| を考える。ln(x) とは異なる新しい関数としてとらえた方がよい。
　x=0 を除く、任意の x について定義できる。

■ x>0　で　ln|x|=ln(x)　　x<0　で　ln|x|=ln(-x)

y軸に対して対称　x=0 では定義できない

〓　ln|x| の微分　〓　

■ x>0　で　[ln|x|];x=[ln(x)];x=1/x

x<0　で　[ln|x|];x=[ln(-x)];x=1/x　※ - はつかない{核心!}

　ln|x|は減少関数だから　1/x < 0　で、つじつまが合う

まとめて　x の正負に関係なく　[ln|x|];x=1/x ★_

▲ ln(x) は正の数に対してしか定義できない。

ln|x| は、0 を除く実数に対して定義でき、その微分は 1/x

■ (ln|k*x|);x=1/x ★_

〓　log(a,x);x　〓　

■ 正の実数 a　底 a に対する対数関数 log(a,x)

ネイピア数 e　log(a,x)=log(e,x)/log(e,a)=ln(x)/ln(a)

　log(a,x);x=ln(x);x/ln(a)=1/[ln(a)*x] ★_

》 log(a,x);x=1/[ln(a)*x] ★_

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji Watanabe ☆