数学 2021.5-2011 Yuji.W
◎ {対数関数が出てくるたびに復習している。なかなか身につかない!} ★
2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000
py- 0table-202012
微分 ; 2階微分 ;; 偏微分 : 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル
<A) 単位ベクトル <Au> 内積 *
外積 # 2021.5
〓〓〓 対数関数の定義 〓〓〓
◎ 対数関数とは、指数を求める関数のこと ★ {ここがわかってないから、いつも、もたもたする!2019.8!2021.5}
■ log(2,8)=(2 を何乗すると 8 になるか)=3 2^log(2,8)=8
. log(10,100)=(10 を何乗すると 100 になるか)=2 10^log(10,100)=100
元になった数 2 や 10 を「底(てい)」 答えの 8 や 100 を「対数」
★ log(5,25)=2 log(10,1000)=3 log(3,1/3)=-1 log(9,3)=1/2 log(8,2)=1/3
■ 2^0=1 ⇒ log(2,1)=0
■ log(2,4)+log(2,8)=2+3=5 一方 log(2,4*8)=log(2,32)=5
. log(2,4)+log(2,8)=log(2,4*8) ★ 対数の和差は簡単にまとめることができる
■ log(2,8)+log(2,1/8)=log(2,1)=0
. log(2,1/8)=-log(2,8) ★
▶ log(10,x)=LOG(x) ネイピア数 e log(e,x)=ln(x)
〓〓〓 底が10の対数関数 〓〓〓
■ LOG(x)=(10 を何乗すると x になるか)
. LOG(100)=2 LOG(1000)=3
■ 数 x の桁数={[LOG(x)]の整数部分}+1 ★
. LOG(100)=2 100は3桁
LOG(200)~2.3 200は3桁
. LOG(4000)~3.6 4000は4桁
. LOG(0.1)=LOG(1/10)=LOG(1)-LOG(10)=0-1=-1 小数1桁
{こんなに簡単な事なのに、難しく習ってしまった!2015/10}
〓〓〓 対数関数と指数関数 〓〓〓
■ 対数関数の定義より log(a,a^x)=x ★
■ x=a^y のとき log(a,x)=y x=a^y=a^log(a,x)
》 a^log(a,x)=x ★
〓〓〓 対数の性質 〓〓〓
❖ 指数法則 a^m*a^n=a^(m+n) (a*b)^m=(a^m)*(a^n) (a^m)^n=a^(m*n)
■ 底 a のとき、
指数法則より a^[log(a,x)+log(a,y)]=a^log(a,x)*a^log(a,y)=x*y
底 a を [log(a,x)+log(a,y)]乗すると x*y になるのだから、
. log(a,x*y)=log(a,x)+log(a,y) ★
■ 底 a のとき、
. a^[p*log(a,x)]={a^[log(a,x)}^p=x^p
底 a を [p*log(a,x)]乗すると x^p になるのだから、
. log(a,x^p)=p*log(a,x) ★
■ 底 e のとき ln(x*y)=ln(x)+ln(y) ln(x^p)=p*ln(x) ★
■ 底 10 のとき LOG(x*y)=LOG(x)+LOG(y) LOG(x^p)=p*LOG(x) ★
〓〓〓 底の変換 〓〓〓
■ a^[log(a,b)*log(b,c)]=[a^log(a,b)]^log(b,c)=b^log(b,c)=c
. log(a,c)=log(a,b)*log(b,c)
》 log(a,b)*log(b,c)=log(a,c) ★
■ log(a,b)*log(b,a)=log(a,a)=1 ★
★ log(2,8)*log(8,2)=3*(1/3)=1
■ log(a,x)/log(b,x)=[log(a,b)*log(b,x)]/log(b,x)=log(a,b) ★
★ log(2,9)/log(3,9)=log(2,3)
■ ln(x)/LOG(x)=log(e,x)/log(10,x)=log(e,10)=ln(10)
》 ln(x)/LOG(x)=ln(10)~2.3026 ★
{以上簡単な事なのに、難しく習ってしまった気がする!2017/12}
〓〓〓 exp(x) と Ten(x) 〓〓〓
▢ ネイピア数 e~2.7183 e^x=exp(x) 10^x=Ten(x)
. ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026
■ Ten(x)/exp(x)=(10/e)^x
対数をとると、
. ln[Ten(x)]-ln[exp(x)]=x*[ln(10)-ln(e)]
. ln[Ten(x)]-x=x*[ln(10)-1]
. ln[Ten(x)]=x*ln(10)
. Ten(x)=exp[x*ln(10)] ★
★ root(10)=Ten(0.5)=exp(0.5*2.3026)=exp(1.1513)~3.1623
. 3.1623^2~10.0001
■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x
. Ten(x)=exp[x*ln(10)]=[exp(x)]^ln(10)=(1+x)^ln(10)=1+x*ln(10) ★
★ Ten(1/1024)=1+2.3026/1024~1.002
■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x
両辺の対数をとると x=ln(1+x)
また LOG(1+x)=ln(1+x)/ln(10)=x/ln(10)
★ LOG(1+0.001)=0.001/2.3026~0.0004
〓〓〓 ln[a+root(a^2+b)] 〓〓〓
◎ ln(1+root2)~ln(2.414)~0.881 ln(-1+root2)~ln(0.414)~-0.881 不思議
■ ln(1+root2)+ln(-1+root2)=ln[(1+root2)*(-1+root2)]
. (1+root2)*(-1+root2)=-1+2=1
. ln(1+root2)+ln(-1+root2)=ln(1)=0 ★
■ [a+root(a^2+1)]*[-a+root(a^2+1)]=-a^2+(a^2+1)=1
. ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]
=ln{[a+root(a^2+1)]*[-a+root(a^2+1)]}
=ln(1)
=0
≫ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]=0 ★
■ b>0 のとき、
. [a+root(a^2+b)]*[-a+root(a^2+b)]=-a^2+(a^2+b)=b
. ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]
=ln{[a+root(a^2+b)]*[-a+root(a^2+b)]}
=ln(b)
≫ ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]=ln(b) ★
{当たり前なんだろうが、気づいてなかった!2016/12}
〓〓〓 指数関数のグラフ 〓〓〓
◎ 指数関数のグラフを対数グラフに書く
■ y=a*x^k
対数をとると ln(y)=ln(a)+k*ln(x)
対数グラフで 縦軸 ln(y) 横軸 ln(x) をとれば、直線になる ★
{知らなかった!2015/8}
★ y=x^2 ln(y)=2*ln(x)
★ 反比例 y=a/x ln(y)=ln(a)-ln(x)
☆ お勉強しよう since 2011 Yuji Watanabe