お勉強しようUz 数学.関数

2016/12-2011 Yuji.W

対数関数

. 対数関数 log ln ネイピア数 e ln|x| {理解が不十分!使えていないなあ!2015/7}

◇ 底 a の対数関数 log_a(x) 底 e の対数関数 ln(x) 底 10 の対数関数 LOG(x)

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x) 〔物理定数〕 .

☆底が10の対数関数

◎ log_10(x)=LOG(x)

■ {定義} LOG(x)=(10 を何乗すると x になるか) .

 LOG(100)=(10を2乗すると100になる)=2

 LOG(1000)=(10を3乗すると0100になる)=3

■ 数 x の桁数={[LOG(x)]の整数部分}+1

 LOG(100)=2 100は3桁

 LOG(200)~2.3 200は3桁

 LOG(4000)~3.6 4000は4桁

 LOG(0.1)=LOG(1/10)=LOG(1)-LOG(10)=0-1=-1 小数1桁

{こんなに簡単な事なのに、難しく習ってしまった!2015/10}

対数関数の定義

◎ log_a(x)

■ 対数関数 log_a(x) の定義 log_a(x)=[a を何乗すると x になるか] .{まず、これを覚えよう!}

 a  log_a(x) 底aのときの、xの対数 

2^3=8 log_2(8)=[2を何乗すると8になるか]=3

5^2=25 log_5(25)=[5を何乗すると25になるか]=2

 log_a(1)=0 log_a(a)=1

■ 底がネイピア数 e~2.71828 のとき、次のように表す log_e(x)=ln(x)

 ln(e^4)=log_e(e^4)=[e を何乗すると e^4 になるか]=4

対数の性質

■ 対数関数は、指数関数の裏返しだから、まず指数関数の性質を復習する。

『指数法則』 2015/10

■ a^m*a^n=a^(m+n) (a*b)^m=(a^m)*(a^n) (a^m)^n=a^(m*n)

※ a,b,m,n は、整数のみならず、複素数まで拡張できる

■ x,y が 底 a に対して x=a^m , y=a^n と表せるとしよう。

 log_a(x)=m , log_a(y)=n である。

 x*y=(a^m)*(a^n)=a^(m+n)

 log_a(x*y)=m+n=log_a(x)+log_a(y) .

{別解} a^[log_a(x)+log_a(y)]=a^log_a(x)*a^log_a(y)=x*y

 log_a(x*y)=log_a(x)+log_a(y) {シンプルでいい!}

■ x が 底 a に対して x=a^m log_a(x)=m と表せるとしよう。

 x^p=(a^m)^p=a^(m*p)

 log_a(x^p)=m*p=p*log_a(x) .

{別解} a^[p*log_a(x)]=[a^[log_a(x)]^p=x^p

 log_a(x^p)=p*log_a(x)

『対数の性質』 2015/10

■ log_a(x*y)=log_a(x)+log_a(y) log_a(x^p)=p*log_a(x)

底の変換

■【 ln(x) と LOG(x) 】

ネイピア数 e~2.7183 を底とする対数関数 ln(x) 10 を底とする対数関数 LOG(x)

 ln(x)=A LOG(x)=B とすると、

 x=e^A=10^B

e を底として対数をとれば ln(x)=A=B*ln(10)

 ln(x)/LOG(x)=A/B=ln(10)

≫ ln(x)/LOG(x)=ln(10)~2.3026 .

■【 ln(x) と log_a(x) 】

a を底とする対数関数 log_a(x)

上項と同様にして ln(x)/log_a(x)=ln(a) .

■【 log_a(b) と log_b(a) 】

 log_a(b)=ln(b)/ln(a) log_b(a)=ln(a)/ln(b) だから、

 log_a(b)*log_b(a)=1 .

★ LOG(500)
=LOG(100*5)=LOG(100)+LOG(5)=2+ln(5)/ln(10)~2+1.609/2.303~2.70

☆exp(x) と Ten(x)☆

◇ e^x=exp(x) 10^x=Ten(x)

◎ exp(x) から Ten(x) を求める

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)/exp(x)=(10/e)^x

対数をとると、

 ln[Ten(x)]-ln[exp(x)]=x*[ln(10)-ln(e)]

 ln[Ten(x)]-x=x*[ln(10)-1]

 ln[Ten(x)]=x*ln(10)

 Ten(x)=exp[x*ln(10)] .

★ root(10)=Ten(0.5)=exp(0.5*2.3026)=exp(1.1513)~3.1623

 3.1623^2~10.0001

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

 Ten(x)=exp[x*ln(10)]=[exp(x)]^ln(10)=(1+x)^ln(10)=1+x*ln(10) .

★ Ten(1/1024)=1+2.3026/1024~1.002

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

両辺の対数をとると x=ln(1+x)

また LOG(1+x)=ln(1+x)/ln(10)=x/ln(10)

★ LOG(1+0.001)=0.001/2.3026~0.0004

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)=exp[x*ln(10)] LOG(x)=ln(x)/ln(10)

■ |x|<<1 のとき

 exp(x)=1+x Ten(x)=1+x*ln(10) ln(1+x)=x LOG(1+x)=x/ln(10)

☆ln[a+root(a^2+b)]☆

. ln(1+root2)~ln(2.414)~0.881 ln(-1+root2)~ln(0.414)~-0.881 不思議

■ ln(1+root2)+ln(-1+root2)
=ln[(1+root2)*(-1+root2)]
=ln[(root2)^2-1]
=ln(1)
=0

■ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]
=ln{[a+root(a^2+1)]*[-a+root(a^2+1)]}
=ln[(a^2+1)-a^2]
=ln(1)
=0

≫ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]=0 .

■ b>0 のとき、

 ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]
=ln{[a+root(a^2+b)]*[-a+root(a^2+b)]}
=ln[(a^2+b)-a^2]
=ln(b)

≫ ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]=ln(b) .

■ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]=0

■ b>0 のとき ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]=ln(b)

{当たり前なんだろうが、気づいてなかった!2016/12}

☆関数 y=ln|x|☆

■ 関数 y=ln(x) 〔x,y:実数〕

 exp(y)=x x>0 であるから、ln(x) は x≦0 で、定義できない

それに対して、x=0 以外の、すべての実数で定義できる次の関数を考える ln|x|

ln|x| を定義する 

x>0 で y=ln|x|=ln(x) x=exp(y)

x<0 で y=ln|x|=ln(-x) -x=exp(y)

{ln|x| が出てきた、y軸対称であるグラフをイメージすればよいと思う!2015/9

☆ln|x|の積分☆

■【 ln|x| の積分 】

 (x*ln|x|);x=(x;x)*ln|x|+x*(ln|x|;x)=ln|x|+x*(1/x)=ln|x|+1

 (x*ln|x|-1);x=ln|x|

 ${ln|x|*dx}=x*ln|x|-1 

● ln|x|;x=1/x ${(1/x)*dx}=ln|x|  ${ln|x|*dx}=x*ln|x|-1

☆lim[x→0]{x^x} ?☆

◎ lim[x→0]{x^x}=0 にならない

■ lim[x→0]{x}=0 lim[x→0]{ln(x)}=-∞

 lim[x→0]{x*ln(x)}=0*(-∞)=?

x=0.1 のとき x*ln(x)=-0.230 x=0.01 のとき x*ln(x)=-0.046

■ 2^x と x^2 を比べる

x

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

2^x

1

1.07

1.15

1.23

1.32

1.41

1.52

1.62

1.74

1.87

2

4

x^2

0.001

0.01

0.04

0.09

0.16

0.25

0.36

0.49

0.64

0.81

1

4

x→+0 で より早く小さくなるのは x^2

■ x^x と ln(x^x)=x*ln(x) を 求める

x

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

x^x

0.95

0.79

0.72

0.70

0.69

0.70

0.74

0.78

0.84

0.91

1

4

x*ln(x)

-0.05

-0.23

-0.32

-0.36

-0.37

-0.35

-0.31

-0.25

-0.18

-0.09

0

1.39

x → +0 で x → +0 ln(x) → -∞ x*ln(x) は x → +0 の効果が勝って、

 x*ln(x) → -0 したがって x → +0 で x^x=1

 lim[x→0]{x^x}=1 .{不思議!知らなかった!2016/7}

■《 x*ln(x) の最小値 》

 y=x*ln(x)

 y;x=ln(x)+1

y;x=0 を解くと ln(x)+1=0 ln(x)=-1

 x=exp(-1)=1/exp(1)=1/e=1/2.7183=0.37

そのとき y=(1/e)*ln(1/e)=-1/e=-0.37

≫ x*ln(x) の最小値 -1/e=-0.37 〔x=1/e=0.37 のとき〕 .

■《 x^x の最小値 》

x=1/e~0.37 のとき 最小値=exp(-1/e)~0.69

■《 x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値 》

x=0.5 のとき 最小値=0.5*ln(0.5)+(1-0.5)*ln(1-0.5)=ln(0.5)=-ln(2)~-0.69

『x*ln(x)』 2016/7

■ x=1/e~0.37 のとき x*ln(x) の最小値=-1/e~-0.37

■ x=0.5 のとき x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値=-ln(2)~-0.69

■ x=1/e~0.37 のとき x^x の最小値=exp(-1/e)~0.69

☆LOG(2) を求める☆

◎ LOG(2)=log_10(2) の近似値を求める

● ln_10(2)=ln(2)/ln(10)~0.69315/2.3026~0.30103

■ 無理数を求める計算から root(10)~3.162 root(3.162)~1.778 などと求める事ができる。これは、10^(1/2) , 10^(1/4) を求める事と同じである。以下、繰り返せば、

x

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

1/128

1/256

1/512

1/1024

LOG(y)

10^x

3.162

1.778

1.334

1.155

1.075

1.037

1.018

1.009

1.005

1.002

y

この表を利用して、LOG(2) を求める。

表より LOG(1.778)=1/4 , LOG(3.162)=1/2

 1/4<LOG(2)<1/2

■ a,b,c は上記の表の 10^x の値 2~a*b*c と近似できたとしよう

 LOG(2)=LOG(a*b*c)=LOG(a)+LOG(b)+LOG(c) .

※ 積の数は、いくつでも同じ

■ 上記の表の値の積で表す事を考える

 2/1.778~1.125 1.125/1.075~1.047 1.047/1.037~1.010 1.010/1.009~1.00099

ここで 表にはない値

 LOG(1.00099)=0.00099/ln(10)=0.00099/2.3026~0.00043

 LOG(2)
=LOG(1.778)+LOG(1.075)+LOG(1.037)+LOG(1.009)+LOG(1.0000457)
=1/4+1/32+1/64+1/256+0.00002
=(64+8+4+1)/256+0.00043
=77/256+0.00043
=0.30078+0.00043
=0.30121
.

◇指数関数のグラフ◇

◎ 指数関数のグラフを対数グラフに書く

◆ y=a*x^k

■ 対数をとると ln(y)=ln(a)+k*ln(x)

対数グラフで 縦軸 ln(y) 横軸 ln(x) をとれば、直線になる

{知らなかった!2015/8}

★ y=x^2 ln(y)=2*ln(x)

★ 反比例 y=a/x ln(y)=ln(a)-ln(x)

  対数関数  

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