数学 関数 2018/4-2011 Yuji.W

☆ 対数関数

log ln ネイピア数 e ln|x| {理解が不十分!使えていないなあ!2015/7} _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <hu>,<a>,<z> 球座標 <ru>,<a>,<b>

◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
 i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 対数関数の定義 〓 

■ 2 の累乗を考える。

 2^2=4 2^3=8 2^4=16

[2 を何乗すると x になるか] を log(2,x) と表す事にする

 対数 log(2,x)=[2 を何乗すると x になるか] _

 log(2,4)=2 log(2,8)=3 log(2,16)=4

■ 一般に log(a,x)=[a を何乗すると x になるか] _

 a  log(a,x) 底aのときの、xの対数 

★ log(5,25)=2 log(10,1000)=3 log(3,1/3)=-1 log(9,3)=1/2 log(8,2)=1/3

■ a^1=a log(a,a)=1 また a^0=1 log(a,1)=0

■ 特別に、

底 10 のとき log(10,x)=LOG(x)

底 e のとき log(e,x)=ln(x) と表すことにする。

〓 底が10の対数関数 〓 

■ LOG(x)=(10 を何乗すると x になるか)

 LOG(100)=2 LOG(1000)=3

■ 数 x の桁数={[LOG(x)]の整数部分}+1 _

 LOG(100)=2 100は3桁

 LOG(200)~2.3 200は3桁

 LOG(4000)~3.6 4000は4桁

 LOG(0.1)=LOG(1/10)=LOG(1)-LOG(10)=0-1=-1 小数1桁

{こんなに簡単な事なのに、難しく習ってしまった!2015/10}

〓 対数関数と指数関数 〓 

■ 対数関数の定義より log(a,a^x)=x _

■ x=a^y のとき log(a,x)=y x=a^y=a^log(a,x)

》 a^log(a,x)=x _

〓 対数関数 〓 

■ log(a,x)=[a を何乗すると x になるか]

 log(a,a)=1 log(a,1)=0 log(a,a^x)=x a^log(a,x)=x

■ log(10,x)=LOG(x) log(e,x)=ln(x)〔 e:ネイピア数 〕

〓 指数法則 〓 

■ a^m*a^n=a^(m+n) (a*b)^m=(a^m)*(a^n) (a^m)^n=a^(m*n)

〓 対数の性質 〓 

■ 底 a のとき、

指数法則より a^[log(a,x)+log(a,y)]=a^log(a,x)*a^log(a,y)=x*y

底 a を [log(a,x)+log(a,y)]乗すると x*y になるのだから、

 log(a,x*y)=log(a,x)+log(a,y) _

■ 底 a のとき、

 a^[p*log(a,x)]={a^[log(a,x)}^p=x^p

底 a を [p*log(a,x)]乗すると x^p になるのだから、

 log(a,x^p)=p*log(a,x) _

■ 底 e のとき ln(x*y)=ln(x)+ln(y) ln(x^p)=p*ln(x) _

■ 底 10 のとき LOG(x*y)=LOG(x)+LOG(y) LOG(x^p)=p*LOG(x) _

〓 対数の性質 〓 

■ 底 a のとき log(a,x*y)=log(a,x)+log(a,y) log(a,x^p)=p*log(a,x)

■ 底 e のとき ln(x*y)=ln(x)+ln(y) ln(x^p)=p*ln(x)

■ 底 10 のとき LOG(x*y)=LOG(x)+LOG(y) LOG(x^p)=p*LOG(x)

〓 底の変換 〓 

■ a^[log(a,b)*log(b,c)]=[a^log(a,b)]^log(b,c)=b^log(b,c)=c

 log(a,c)=log(a,b)*log(b,c)

》 log(a,b)*log(b,c)=log(a,c) _

■ log(a,b)*log(b,a)=log(a,a)=1 _

★ log(2,8)*log(8,2)=3*(1/3)=1

■ log(a,x)/log(b,x)=[log(a,b)*log(b,x)]/log(b,x)=log(a,b) _

★ log(2,9)/log(3,9)=log(2,3)

■ ln(x)/LOG(x)=log(e,x)/log(10,x)=log(e,10)=ln(10)

》 ln(x)/LOG(x)=ln(10)~2.3026 _

{以上簡単な事なのに、難しく習ってしまった気がする!2017/12}

〓 底の変換 〓 

■ log(a,b)*log(b,c)=log(a,c) log(a,b)*log(b,a)=log(a,a)=1

 log(a,x)/log(b,x)=log(a,b) ln(x)/LOG(x)=ln(10)~2.3026

〓 exp(x) と Ten(x) 〓 

◇ e^x=exp(x) 10^x=Ten(x)

◎ exp(x) から Ten(x) を求める

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)/exp(x)=(10/e)^x

対数をとると、

 ln[Ten(x)]-ln[exp(x)]=x*[ln(10)-ln(e)]

 ln[Ten(x)]-x=x*[ln(10)-1]

 ln[Ten(x)]=x*ln(10)

 Ten(x)=exp[x*ln(10)] .

★ root(10)=Ten(0.5)=exp(0.5*2.3026)=exp(1.1513)~3.1623

 3.1623^2~10.0001

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

 Ten(x)=exp[x*ln(10)]=[exp(x)]^ln(10)=(1+x)^ln(10)=1+x*ln(10) .

★ Ten(1/1024)=1+2.3026/1024~1.002

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

両辺の対数をとると x=ln(1+x)

また LOG(1+x)=ln(1+x)/ln(10)=x/ln(10)

★ LOG(1+0.001)=0.001/2.3026~0.0004

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)=exp[x*ln(10)] LOG(x)=ln(x)/ln(10)

■ |x|<<1 のとき

 exp(x)=1+x Ten(x)=1+x*ln(10) ln(1+x)=x LOG(1+x)=x/ln(10)

〓 ln[a+root(a^2+b)] 〓 

. ln(1+root2)~ln(2.414)~0.881 ln(-1+root2)~ln(0.414)~-0.881 不思議

■ ln(1+root2)+ln(-1+root2)
=ln[(1+root2)*(-1+root2)]
=ln[(root2)^2-1]
=ln(1)
=0

■ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]
=ln{[a+root(a^2+1)]*[-a+root(a^2+1)]}
=ln[(a^2+1)-a^2]
=ln(1)
=0

≫ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]=0 .

■ b>0 のとき、

 ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]
=ln{[a+root(a^2+b)]*[-a+root(a^2+b)]}
=ln[(a^2+b)-a^2]
=ln(b)

≫ ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]=ln(b) .

{当たり前なんだろうが、気づいてなかった!2016/12}

〓 ln[a+root(a^2+b)] 〓 

■ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]=0

■ b>0 のとき ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]=ln(b)

〓 指数関数のグラフ 〓 

◎ 指数関数のグラフを対数グラフに書く

◆ y=a*x^k

■ 対数をとると ln(y)=ln(a)+k*ln(x)

対数グラフで 縦軸 ln(y) 横軸 ln(x) をとれば、直線になる

{知らなかった!2015/8}

★ y=x^2 ln(y)=2*ln(x)

★ 反比例 y=a/x ln(y)=ln(a)-ln(x)

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