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2015/10-2011/12 Yuji.W

無理数

◎ 無理数乗の近似値 平方根の近似値 ☆ 無理数 irrational number

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆平方根の近似値☆

◇ Avg(a,b)=(a+b)/2

『相加平均、相乗平均』 2015/10

a≧0 , b≧0 のとき Avg(a,b)≧root(a*b) 等号は a=b のとき

a>0 , N>0 のとき Avg(a,N/a) と root(N) の大小関係 

 Avg(a,N/a)≧root[a*(N/a)]=root(N)

 Avg(a,N/a) は root(N) の上限を与える .

★ root2 を求めたい 答 1.41421356

 root2~1.4 とすると

 Avg(1.4,2/1.4)=(1.4+1.4285714)/2=1.4142857

 Avg(1.4142857,2/1.4142857)=1.4142135

 Avg(1.4142135,2/1.4142135)=1.4142135=root2 .

★ root(10) を求めたい 答 3.16227766

 root(10)~3 とすると

 Avg(3,10/3)=(3+3.333…)/2=3.1666…

 Avg(3.1666…,10/3.1666…)=(3.1666…+)/2=3.1622807

 Avg(3.1622807,10/3.1622807)=3.1622776

 Avg(3.1622776,10/3.1622776)=3.1622776=root(10) .

☆4乗根の近似値☆

◎ 平方根を求める方法を使って、4乗根、8乗根、…と求める事ができる

★ root(10)=3.1622776

 1.7^4=8.3521 1.8^4=10.4976

 10^(1/4)=1.7 とすると

 Avg(1.7,3.1622776/1.7)=1.78000816

 Avg(1.78000816,3.1622776/1.78000816)=1.7742307

 Avg(1.7742307,3.1622776/1.7742307)=1.778284

 Avg(1.778284,3.1622776/1.778284)=1.7782793

 Avg(1.7782793,3.1622776/1.7782793)=1.7782793=10^(1/4) .

★ 1.3^8=8.1573072 1.4^8=14.75789

 10^(1/8)=1.3 とすると

 Avg(1.3,1.7782793/1.3)=1.3339535

 Avg(1.3339535,1.7782793/1.3339535)=1.3335214

 Avg(1.3335214,1.7782793/1.3335214)=1.3335213

 Avg(1.3335213,1.7782793/1.3335213)=1.3335213=10^(1/8) .

☆無理数乗の意味☆

◎ root2乗?

■ 無理数の近似値を求めることができれば、(小数でも分数でも)、無理数の累乗の近似値を求めることができる。

★ 10^root2 を求めたい

root2=1.41421356 Ten(1.41421356)=25.954 5533

 Ten(1.41421357)=25.954 5539

 10^root2~25.954 553

☆root2 の近似値を求める☆

■ ある項が、分数 n/m であるとき、次の項が [(m+n)+m]/(m+n) である数列を考える。第1項は、1/1 とする。

 1/1 3/2 7/5 17/12 41/29 99/70 …

この値が root2 に近づく。

「root2」

■ {An}=n/m {A(n+1)}=[(m+n)+m]/(m+n)
=[(分母+分子)+分母]/(分母+分子)

 root2~{A(n+1)}

第6項=99/70=1.41428… 小数第4位まで正しい!

第13項=47321/33461=1.414213562 小数第9位まで正しい!

  無理数  

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