無理数Uz

☆お勉強しようwithUz☆　数学.関数

2015/10-2011/12　Yuji.W

☆無理数☆

◎ 無理数乗の近似値　平方根の近似値　☆ 無理数 irrational number

【数学】微分 ;　積分 $　10^x=Ten(x)　√3=root(3)
ネイピア数 e　e^x=exp(x)　虚数単位 i　e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

☆平方根の近似値☆

◇ Avg(a,b)=(a+b)/2

『相加平均、相乗平均』　2015/10

a≧0 , b≧0 のとき　Avg(a,b)≧root(a*b)　等号は a=b のとき

■ a>0 , N>0 のとき　Avg(a,N/a) と root(N) の大小関係　

　Avg(a,N/a)≧root[a*(N/a)]=root(N)

　Avg(a,N/a) は root(N) の上限を与える ★.

★ root2 を求めたい　答 1.41421356

　root2~1.4　とすると

　Avg(1.4,2/1.4)=(1.4+1.4285714)/2=1.4142857

　Avg(1.4142857,2/1.4142857)=1.4142135

　Avg(1.4142135,2/1.4142135)=1.4142135=root2 ★.

★ root(10) を求めたい　答 3.16227766

　root(10)~3　とすると

　Avg(3,10/3)=(3+3.333…)/2=3.1666…

　Avg(3.1666…,10/3.1666…)=(3.1666…+)/2=3.1622807

　Avg(3.1622807,10/3.1622807)=3.1622776

　Avg(3.1622776,10/3.1622776)=3.1622776=root(10) ★.

☆4乗根の近似値☆

◎ 平方根を求める方法を使って、4乗根、8乗根、…と求める事ができる

★ root(10)=3.1622776

　1.7^4=8.3521　1.8^4=10.4976

　10^(1/4)=1.7　とすると

　Avg(1.7,3.1622776/1.7)=1.78000816

　Avg(1.78000816,3.1622776/1.78000816)=1.7742307

　Avg(1.7742307,3.1622776/1.7742307)=1.778284

　Avg(1.778284,3.1622776/1.778284)=1.7782793

　Avg(1.7782793,3.1622776/1.7782793)=1.7782793=10^(1/4) ★.

★ 1.3^8=8.1573072　1.4^8=14.75789

　10^(1/8)=1.3　とすると

　Avg(1.3,1.7782793/1.3)=1.3339535

　Avg(1.3339535,1.7782793/1.3339535)=1.3335214

　Avg(1.3335214,1.7782793/1.3335214)=1.3335213

　Avg(1.3335213,1.7782793/1.3335213)=1.3335213=10^(1/8) ★.

☆無理数乗の意味☆

◎ root2乗?

■ 無理数の近似値を求めることができれば、(小数でも分数でも)、無理数の累乗の近似値を求めることができる。

★ 10^root2 を求めたい

root2=1.41421356　Ten(1.41421356)=25.954 5533

　Ten(1.41421357)=25.954 5539

　10^root2~25.954 553

☆root2 の近似値を求める☆

■ ある項が、分数 n/m であるとき、次の項が [(m+n)+m]/(m+n) である数列を考える。第1項は、1/1 とする。

　1/1　3/2　7/5　17/12　41/29　99/70　…

この値が root2 に近づく。

「root2」

■ {An}=n/m　{A(n+1)}=[(m+n)+m]/(m+n)
=[(分母+分子)+分母]/(分母+分子)

　root2~{A(n+1)}

第6項＝99/70=1.41428…　小数第4位まで正しい！

第13項＝47321/33461＝1.414213562　小数第9位まで正しい！

　★　無理数　★　