数学-積分  2014/4-2011  Yuji.W

☆体積分(3重積分)☆

◎ 3重積分 デカルト座標 円柱座標 球座標 円錐 球

〔表記141004〕微分;x 時間微分' ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積# e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x) cos(a)=Ca cos(2*x)=C2x sin(b)=Sb tan(x)=Tx〔

☆体積分☆

■ デカルト座標(x,y,z) 体積分=$$${f(x,y,z)*dx*dy*dz}

■ 密度 f(x,y,z) 体積分=その体積分の重さ

■ f(x,y,z)=1 体積分=体積

■ 三角錐[底面:等辺が1の直角二等辺三角形 高さ 1]の体積 V

 ● V=(1/3)*(1/2)*1=1/6 なぜ 1/3 を掛けるのか?

z,y,x の順に積分することにする。{別にどの順でもいい!}

z の領域を、x,y で制限して 0<z<1-x-y 
y の領域を、x で制限して 0<y<1-x 

x の領域は 0<x<1 

※ 積分の順を変えたら、制限の順を変える{!}
ここを間違えると、直方体の体積を求めてしまうことになる{!}

まず、z で積分して、

 ${1*dz}[z:0~1-x-y]=[z]*[z:0~1-x-y]=1-x-y

次に、y で積分して、

 ${(1-x-y)*dy}[y:0<y<1-x]
=[(1-x)*y-y^2/2][y:0<y<1-x]
=(1-x)*(1-x)-(1-x)^2/2
=+(1-x)^2/2

最後に、x で積分して、

 V=(1/2)*${(1-x)^2*dx}[x:0~1]=[(1-x)^3/6][x:0~1]=1/6

☆体積分-円柱座標(r.,b,z)☆

◆ 円柱座標(r.,b,z)

■ dx*dy*dz=r.*dr.*db*dz 

 方位角 b に依らない関数 f(r.,z)

 $$${f(r.,z)*r.*dr.*db*dz}[b:0~2Pi]=2Pi*$${f(r.,z)*r.*dr.*dz} 

■ 円錐[半径 R 高さ H] の体積 V

z,r. の順に微分するとする [z:0~H-r.*H/R] [r.:0~<R]

まず、zで積分すると、

 ${1*dz}[z:0~H-r.*H/R]=[z][z:0~H-r.*H/R]=H-r.*H/R

 V
=2Pi*${(H-r.*H/R)*r.dr.}[r.:0~<R]
=2Pi*[H*r.^2/2-r.^3*H/(3*R)][r.:0~<R]
=2Pi*[H*R^2/3-H*R^2/3]
=Pi*H*R^2/3 

{別解} r.,z の順に微分するとする [r.:0~R-z*R/H] [z:0~H]

まず、r.で積分すると、

 ${1*r.*dr.}[r.:0~R-z*R/H]
=[r.^2/2][r.:0~R-z*R/H]
=(R-z*R/H)^2/2
=(1/2)*(R/H)^2*(H^2-2*H*z+z^2)

 V
=2Pi*(1/2)*(R/H)^2*${(H^2-2*H*z+z^2)*dz}[z:0~H]
=2Pi*(1/2)*(R/H)^2*[H^2*z-H*z^2+z^3/3][z:0~H]
=2Pi*(1/2)*(R/H)^2*[H^3-H^3+H^3/3]
=2Pi*(1/2)*(R/H)^2*H^3/3
=Pi*H*R^2/3 

☆体積分-球座標(r,a,b)☆

◆ 球座標(r,a,b)

■ dx*dy*dz=r^2*Sa*dr*da*db

球対称の関数 f(r) $$${f(r)*r^2*Sa*dr*da*db}[a:0~Pi][b:0~2Pi]

まず、b で積分して、

 ${f(r)*r^2*Sa*db}[b:0~2Pi]=2Pi*f(r)*r^2*Sa

次に、a で積分して、

 ${f(r)*r^2*Sa*da}[a:0~Pi]
=2Pi*f(r)*r^2*[-Ca][a:0~Pi]
=4Pi*f(r)*r^2

 $$${f(r)*r^2*Sa*dr*da*db}[a:0~Pi/2][b:0~2Pi]
=4Pi*${f(r)*r^2*dr} 
…球対称

■ 球[半径 R] の体積 V

 V=4Pi*${1*r^2*dr}[r:0~R]=4Pi*[r^3/3][r:0~R]=4*Pi*R^3/3 

球の体積

◎ 半径1の球の体積を求めよう。半径Rの球の体積は、相似の関係より、その値を R^3 倍すればよい。

◆ 座標平面上で 球 x^2+y^2+z^2=1 球の体積 V

■ 球を、高さ z の平面と、高さ z+dz の平面で切り、その2つの平面に囲まれた図形の体積を dV とする。 V=${dV} となる。

dz は小さいので、高さが非常に小さい円柱と見なすことができる。

その半径 root(1-z^2) だから、

 dV=Pi*(1-z^2)*dz .

 V/2
=Pi*${(1-z^2)*dz}[z:0~1]
=Pi*[z-(1/3)*z^3] [z:0~1]
=(2/3)*Pi    V=(4/3)*Pi
.

{中学校以来の謎が解けた!}

円錐の体積

■ x-y-z平面上の半径R、高さHの円錐の体積Vを求める。水平な2つの平面で切って,

z〜z+d(z)の、半径(R/H)(H-z)、薄くスライスした円柱の体積dVを考える。

 dV=Pi*[((R/H)(H-z)]^2*d(z)

V=$Pi*[((R/H)(H-z)]^2dz [0~H]=Pi*(R/H)^2$(H-z)^2dz [0~H]

H-z=t  とおいて、dt/dz=-1  dz/dt=-1  [t:H->0]

 V=-Pi*(R/H)^2*${t^2}dt[t:H->0]=-Pi*(R/H)^2*${t^2}dt[t:H->0]

=-Pi*(R/H)^2[(t)^3/3][t:H->0]=-Pi*(R/H)^2[-(H)^3/3]
=(1/3)Pi*H*R^2=(1/3)*(高さ)*(底面積) ★中学校以来の謎が解けた{!}

 体積分 

inserted by FC2 system