〓　球の体積　〓 .

◆ 球座標(r,a,b)　半径 r の球の体積 V

■ 球座標(r,a,b)の体積要素 r^2*sin(a)*dr*da*db

　V
=$$${r^2*sin(a)*dr*da*db}[r:0~r][a:0~Pi][b:0~2Pi]
=2Pi*$${r^2*sin(a)*dr*da}[r:0~r][a:0~Pi]

ここで　${sin(a)*da}[a:0~Pi]=[-cos(a)][a:0~Pi]=2

　V=2Pi*2*${r^2*dr}[r:0~r]=4Pi*[r^3/3][r:0~r]=(4Pi/3)*r^3

》 V=(4Pi/3)*r^3 ★_

〓　{別解}球の体積　〓 .

◎ 半径1の球の体積を求めよう。半径Rの球の体積は、相似の関係より、その値を R^3 倍すればよい。

◆ 座標平面上で　球 x^2+y^2+z^2=1　球の体積 V

■ 球を、高さ z の平面と、高さ z+dz の平面で切り、その2つの平面に囲まれた図形の体積を dV とする。　V=${dV}　となる。

dz は小さいので、高さが非常に小さい円柱と見なすことができる。

その半径 root(1-z^2)　だから、

　dV=Pi*(1-z^2)*dz ★_

　V/2
=Pi*${(1-z^2)*dz}[z:0~1]
=Pi*[z-(1/3)*z^3] [z:0~1]
=(2/3)*Pi

　V=(4/3)*Pi ★_

{中学校以来の謎が解けた!}

〓　円錐の体積　〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z)　円錐[半径 R　高さ H]　体積 V ?

■ (体積要素)=dh*(h*da)*dz=h*dh*da*dz

座標を適当に定めれば　h/R=z/H

積分の順を　a,h,z　にする。[h:0~z*R/H] とする事に注意して、

　V
=$$${h*dh*da*dz}[h:0~z*R/H][z:0~H][a:0~2Pi]
=2Pi*$${h*dh*dz}[h:0~z*R/H][z:0~H]

ここで　${h*dh}[h:0~z*R/H]=[h^2/2][h:0~z*R/H]=(1/2)*(z*R/H)^2

　V
=2Pi*(1/2)*${(z*R/H)^2*dz}[z:0~H]
=Pi*(R^2/H^2)*[z^3/3][z:0~H]
=Pi*(R^2/H^2)*(H^3/3)
=Pi*R^2*H/3 ★_

〓　三角錐の体積　〓 .

◆ 三角錐[底面:等辺が1の直角二等辺三角形　高さ 1]の体積 V

■ z,y,x の順に積分することにする。{別にどの順でもいい!}

z の領域を、x,y で制限して　0<z<1-x-y　★…
y の領域を、x で制限して　0<y<1-x　★…
x の領域は　0<x<1　★…

※ 積分の順を変えたら、制限の順を変える{!}
ここを間違えると、直方体の体積を求めてしまうことになる{!}

まず、z で積分して、

　${1*dz}[z:0~1-x-y]=[z]*[z:0~1-x-y]=1-x-y

次に、y で積分して、

　${(1-x-y)*dy}[y:0<y<1-x]
=[(1-x)*y-y^2/2][y:0<y<1-x]
=(1-x)*(1-x)-(1-x)^2/2
=+(1-x)^2/2

最後に、x で積分して、

　V=(1/2)*${(1-x)^2*dx}[x:0~1]=[(1-x)^3/6][x:0~1]=1/6