〓　面積分の不定積分　〓 .

■【 1変数の積分 】

1変数の場合、不定積分と定積分の2種類がある。

不定積分 F(x)=${f(x)*dx} の定義　F(x);x=f(x)

定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b] の定義　[x:a~b]の微少変化量 dx に対して、

　積 f(x)*dx の集まり

2つの積分の関係　${f(x)*dx}[x:a~b]=F(b)-F(a)

{2つの積分の関係を、定積分の定義と教わるから、わけがわからなくなるのだ!2016/10}

■【 2変数の不定積分 】

関数 f(x,y) の不定積分 F(x,y) の定義　F(x,y);x=f(x,y)　&　F(x,y);y=f(x,y)

例えば　[f(x,y)=1 の不定積分]=x+y　(x+y);x=(x+y);y=1

ただし、上の定義が成り立つのは　f(x,y)=定数　に限られる。一般に、2変数の不定積分の関数は存在しない。したがって、2変数の不定積分は普通考えない。 ★.

{40年間、あいまいのまま来てしまった!2016/10}

■【 2変数の定積分 】

x と y の考える範囲を決める。その領域 D に対して、

定積分 $${f(x,y)*dx*dy}[D] の定義
　領域内の微少変化量 dx*dy に対して　積 f(x,y)*dx*dy の集まり

〓　面積分　〓 .

■ 2次元デカルト座標(x,y)　関数 f(x,y)

　面積分 $${f(x,y)*dx*dy}[xの領域][yの領域] ★.

f(x,y) xy平面からの高さ　面積分=体積
f(x,y) 面密度　面積分=その面の重さ
f(x,y)=1　面積分=面積

原則、内側の量から積分する。積分領域が長方形の場合　x,y、どちらから積分してもよい。

★ 2点P(a,0),Q(0,h)と原点を結ぶ三角形の面積 S ★

2点を結ぶ直線　x/a+y/h=1　y=-x*h/a+h　x=-y*a/h+a

まず、xの値を固定し、yで積分すると、

　${1*dy}[y:0~(-x*h/a+h)]=-x*h/a+h

次に x で積分して、

　S
=${(-x*h/a+h)*dx}[x:0~a]
=[-x^2*h/(2*a)+h*x][x:0~a]
=-h*a/2+h*a
=a*h/2

{別解}　まず、yの値を固定し、xで積分すると、

　${1*dx}[x:0~(-y*a/h+a)]=-y*a/h+a

次に y で積分して、

　S
=${(-y*a/h+a)*dy}[y:0~h]
=[-y^2*a/(2*h)+a*y][y:0~h]
=-h*a/2+h*a
=a*h/2

〓　1/root(x^2+y^2) の面積分　〓 .

◆ 領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)]　$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]

※ 原点で　1/root(x^2+y^2)　は定義できていない

■ x を固定すると　0<y<x

　${dx/root(x^2+y^2)}[x:0~y]
={ln[x+root(x^2+y^2)]}[x:0~y]
=ln(y+y*root2)-ln(y)
=ln[(y+y*root2)/y]
=ln(1+root2)　定数になった{!}

　$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]
=ln(1+root2)*${1*dy}[y:0~1]
=ln(1+root2)

≫　領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)]

　$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]=ln(1+root2)~0.881 ★.

◆ 領域D:正方形[原点-(1,0)-(1,1)-(0,1)]

　$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]

● ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

■ 関数 1/root(x^2+y^2) は、x と y を入れ替えても同じ式であるから、

　$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]
=2*$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]

　　ただし　領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)]

　$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]=2*ln(1+root2)~1.762 ★.

〓　{計算例}面積分　〓 .

◆ 直線 y=2*x+6　0<x<1　6<y<8

直線とx軸に囲まれた台形の面積 S1　直線とy軸に囲まれた三角形の面積

　x=y/2-3

■【 S1 】

xを固定　0<y<2*x+6 ★.

　S1=$${1*dy*dx}[y:0~2*x+6][x:0~1]

　${1*dy*dx}[y:0~2*x+6]=2*x+6

　S1=${(2*x+6)*dx}[x:0~1]=[x^2+6*x][x:0~1]=7 ★.

■【 S2 】

yを固定　0<x<y/2-3 ★.

　S2=$${1*dx*dy}[x:0~y/2-3][y:6~8]

　${1*dx}[x:0~y/2-3]=y/2-3

　S2=${(y/2-3)*dy}[y:6~8]=[y^2/4-3*y][y:6~8]=(16-24)-(9-18)=1 ★.

◆ 半径1の円 (x-1)^2+y^2=1　0<x<1　0<y<1

円とx軸に囲まれた面積 S1　円とy軸に囲まれた面積 S2　S1>S2　S1+S2=1

　y=root[1-(x-1)^2]　x=-root(1-y^2)+1　{核心!}

■【 S1 】

xを固定　0<y<root[1-(x-1)^2] ★.

　S1=$${1*dy*dx}[y:0~root[1-(x-1)^2]][x:0~1]

　${1*dy}[y:0~root[1-(x-1)^2]=root[1-(x-1)^2]

　S1=${root[1-(x-1)^2]*dx}[x:0~1]

　S1=Pi/4 ★.円の 1/4

■【 S2 】

yを固定　0<x<root(1-y^2)+1 ★.

　S2=${[-root(1-y^2)+1]*dy}[y:0~1]

　S2=-Pi/4+1 ★.

{面積分がやっとわかってきたぞ!2016/9}

〓　面積分の利用　〓 .

 exp(-x^2)

◆ 上記のグラフとx軸との間の　-∞<x<∞　の面積を求めたい。
おおよそ　△[4 & 1]=2　になるはず。
xのみの関数ではあるが、面積分を使うと、求めることができる。 ◆

■ f(x,y)=exp[-(x^2+y^2)]=exp(-x^2)*exp(-y^2)　として、

[x:0~∞]　[y:0~∞]　で積分すると、

　$${f(x,y)}dxdy=${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]*${exp(-y^2)}dy[y:0~∞]
=「${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]」^2

同じ事を、円座標(r,a)で積分すると、[r:0~∞]　[a:0~Pi/2]

　$${f(x,y)}dxdy=$${r*exp(-r^2)*dr*da}=Pi/2*${r*exp(-r^2)}dr
=Pi/2*[-(1/2)*exp(-r^2)][r:0~∞]=Pi/4

したがって、「${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]」^2=Pi/4
　${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]=root[Pi]/2

　${exp(-x^2)}dx[x:-∞~∞]=root[Pi]　』

※ ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1

■ exp[-(x-0.5)^2]　exp[-(x+0.5)^2]　その和

〓　面積分の利用-2-　〓 .

■ 半径Rの円盤　面密度ρ(r)=(ρ0)(1+(r/R)^2)　総質量 M
ρ(0)=(ρ0)　ρ(R)=2*(ρ0)　外側ほど、密度は高い

　dM=(ρ0)*(1+(r/R)^2)*r*dr*da}

　M
=$${(ρ0)*(1+(r/R)^2)*r*dr*da}
=2Pi*(ρ0)*${(1+(r/R)^2)*r*dr}[r:0~R]

　${[(1+(r/R)^2)]*r*dr}[r:0~R]
=${(r+r^3/R^2)*dr}[r:0~R]
=[r^2/2+r^4/(4*R^2)][r:0~R]
=(3/4)*R^2

　M
=2Pi*(ρ0)*(3/4)*R^2
=(3/2)*Pi*(ρ0)*R^2
=(3/2)*(ρ0)*(円盤の面積)