お勉強しよう 〕 数学.積分

2016/10-2011 Yuji.W

2重積分

◎ 積分 2変数 不定積分 定積分 1/root(x^2+y^2) の2重積分

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数 .〕
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇2重積分の不定積分◇

■【 1変数の積分 】

1変数の場合、不定積分と定積分の2種類がある。

不定積分 F(x)=${f(x)*dx} の定義 F(x);x=f(x)

定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b] の定義 [x:a~b]の微少変化量 dx に対して、

 積 f(x)*dx の集まり

2つの積分の関係 ${f(x)*dx}[x:a~b]=F(b)-F(a)

{2つの積分の関係を、定積分の定義と教わるから、わけがわからなくなるのだ!2016/10}

■【 2変数の不定積分 】

関数 f(x,y) の不定積分 F(x,y) の定義 F(x,y);x=f(x,y) & F(x,y);y=f(x,y)

例えば [f(x,y)=1 の不定積分]=x+y (x+y);x=(x+y);y=1

ただし、上の定義が成り立つのは f(x,y)=定数 に限られる。一般に、2変数の不定積分の関数は存在しない。したがって、2変数の不定積分は普通考えない。 .

{40年間、あいまいのまま来てしまった!2016/10}

■【 2変数の定積分 】

x と y の考える範囲を決める。その領域 D に対して、

定積分 $${f(x,y)*dx*dy}[D] の定義
 領域内の微少変化量 dx*dy に対して 積 f(x,y)*dx*dy の集まり

◇2重積分◇

■ 2次元デカルト座標(x,y) 関数 f(x,y)

 2重積分 $${f(x,y)*dx*dy}[xの領域][yの領域] .

f(x,y) xy平面からの高さ 2重積分=体積
f(x,y) 面密度 2重積分=その面の重さ
f(x,y)=1 2重積分=面積

原則、内側の量から積分する。積分領域が長方形の場合 x,y、どちらから積分してもよい。

★ 2点P(a,0),Q(0,h)と原点を結ぶ三角形の面積 S ★

2点を結ぶ直線 x/a+y/h=1 y=-x*h/a+h x=-y*a/h+a

まず、xの値を固定し、yで積分すると、

 ${1*dy}[y:0~(-x*h/a+h)]=-x*h/a+h

次に x で積分して、

 S
=${(-x*h/a+h)*dx}[x:0~a]
=[-x^2*h/(2*a)+h*x][x:0~a]
=-h*a/2+h*a
=a*h/2

{別解} まず、yの値を固定し、xで積分すると、

 ${1*dx}[x:0~(-y*a/h+a)]=-y*a/h+a

次に y で積分して、

 S
=${(-y*a/h+a)*dy}[y:0~h]
=[-y^2*a/(2*h)+a*y][y:0~h]
=-h*a/2+h*a
=a*h/2

◇1/root(x^2+y^2) の2重積分◇

◆ 領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)] $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]

※ 原点で 1/root(x^2+y^2) は定義できていない

■ x を固定すると 0<y<x

 ${dx/root(x^2+y^2)}[x:0~y]
={ln[x+root(x^2+y^2)]}[x:0~y]
=ln(y+y*root2)-ln(y)
=ln[(y+y*root2)/y]
=ln(1+root2) 定数になった{!}

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]
=ln(1+root2)*${1*dy}[y:0~1]
=ln(1+root2)

≫ 領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)]

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]=ln(1+root2)~0.881 .


◆ 領域D:正方形[原点-(1,0)-(1,1)-(0,1)]

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]

● ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

■ 関数 1/root(x^2+y^2) は、x と y を入れ替えても同じ式であるから、

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]
=2*$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]

  ただし 領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)]

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]=2*ln(1+root2)~1.762 .

■ 領域D:直角二等辺三角形[原点-(1,0)-(1,1)]

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[D]=ln(1+root2)~0.881

■ $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~1][y:0~1]=2*ln(1+root2)~1.762

{計算例}2重積分

◆ 直線 y=2*x+6 0<x<1 6<y<8

直線とx軸に囲まれた台形の面積 S1 直線とy軸に囲まれた三角形の面積

 x=y/2-3

■【 S1 】

xを固定 0<y<2*x+6 .

 S1=$${1*dy*dx}[y:0~2*x+6][x:0~1]

 ${1*dy*dx}[y:0~2*x+6]=2*x+6

 S1=${(2*x+6)*dx}[x:0~1]=[x^2+6*x][x:0~1]=7 .

■【 S2 】

yを固定 0<x<y/2-3 .

 S2=$${1*dx*dy}[x:0~y/2-3][y:6~8]

 ${1*dx}[x:0~y/2-3]=y/2-3

 S2=${(y/2-3)*dy}[y:6~8]=[y^2/4-3*y][y:6~8]=(16-24)-(9-18)=1 .


◆ 半径1の円 (x-1)^2+y^2=1 0<x<1 0<y<1

円とx軸に囲まれた面積 S1 円とy軸に囲まれた面積 S2 S1>S2 S1+S2=1

 y=root[1-(x-1)^2] x=-root(1-y^2)+1 {核心!}

■【 S1 】

xを固定 0<y<root[1-(x-1)^2] .

 S1=$${1*dy*dx}[y:0~root[1-(x-1)^2]][x:0~1]

 ${1*dy}[y:0~root[1-(x-1)^2]=root[1-(x-1)^2]

 S1=${root[1-(x-1)^2]*dx}[x:0~1]

● 正の数 R -R<x<R a=arcsin(x/R) と置いて、

 ${root(R^2-x^2)*dx}=(R^2/4)*[2*a+sin(2*a)]

■ ${root[1-(x-1)^2]*dx}[x:0~1]

x-1=h と置いて [x:0~1]=[h:-1~0] dx=dh

 a1=arcsin(-1)=-Pi/2 a2=arcsin(0)=0

 ${root[1-(x-1)^2]*dx}[x:0~1]
=${root[1-h^2]*dx}[h:-1~0]
=(1/4)*[2*(0+Pi/2)+sin(2*0)-sin(-Pi)]
=Pi/4

 S1=Pi/4 .円の 1/4

■【 S2 】

yを固定 0<x<root(1-y^2)+1 .

 S2=${[-root(1-y^2)+1]*dy}[y:0~1]

● 正の数 R -R<x<R a=arcsin(x/R) と置いて、

 ${root(R^2-x^2)*dx}=(R^2/4)*[2*a+sin(2*a)]

■ ${root(1-x^2)*dx}[x:0~1]

 a1=arcsin(0)=0 a2=arcsin(1)=Pi/2

 ${root(1-x^2)*dx}[x:0~1]
=(1/4)*[Pi+sin(Pi)-sin(0)]
=Pi/4

■ ${1*dx}[x:0~1]=1

 S2=-Pi/4+1 .

{2重積分がやっとわかってきたぞ!2016/9}

◇面積を求める-円座標(r,a)◇

■ 図形の面積 S

y=f(x) >0 S=${f(x)*dx}[xの領域] .

 S=${1*dx*dy}[xの領域][yの領域] .

円座標(r,a) S=$${1*r*dr*da}[rの領域][aの領域] .

2重積分では、領域を間違えなく指定する事がポイントとなる{!}

★ 円(半径 R) 円の面積 S ★

 S
=$${1*r*dr*da}[a:0~2Pi][r:0~R]
=2Pi*${r*dr}[r:0~R]
=Pi*[r^2][r:0~R]
=Pi*R^2

{別解} dS=(半径 r〜r+dr のドーナッツの面積)=2Pi*r*dr

 S=2Pi*${r*dr}[r:0~R]=Pi*[r^2][r:0~R]=Pi*R^2

{別解} dS=(半径 R 角 a〜a+da の扇形の面積=(1/2)*R^2*da

 S=(1/2)*R^2*${1*da}[a:0~2Pi]=Pi*R^2 {ほとんど積分してない!}

{別解} x,y座表面上で 円 x^2+y^2=R^2 y=root(R^2-x^2)

 dS=root(R^2-x^2)*dx

 S/4=${root(R^2-x^2)*dx}[x:0~R]

x=R*sin(t) [x:0~R]=[t:0~Pi/2]
root(R^2-x^2)=R*cos(t) dx=R*cos(t)*dt

 cos(t)^2=[1+cos(2*t)]/2 に注意して、

 S/4
=R^2*${cos(t)^2*dt}[t:0~Pi/2]
=(1/2)*R^2*${[1+cos(2*t)]*dt}[t:0~Pi/2]
=(1/2)*R^2*[t-(1/2)*sin(2*t)][t:0~Pi/2]
=(1/2)*R^2*[Pi/2-(1/2)*sin(Pi)]
=Pi*R^2*/4    S=Pi*R^2

◇2重積分-円座標(r,a)◇

■ 円座標(r,a) 2重積分=$${f(r,a)*r*dr*da}[rの領域][aの領域] 【

★ 円錐(半径 R 高さ H) 体積 V ★

 f(r,a)=H-H*r/R

 V
=${f(r,a)*r*dr*da}[a:0~2Pi][r:0~R]
=2Pi*${(H*r-H*r^2/R)*dr}[r:0~R]
=2Pi*[H*r^2/2-H*r^3/(3*R)][r:0~R]
=2Pi*[H*R^2/2-H*R^2/3]
=Pi*H*R^2/3

★ 球(半径 R) 体積 V ★

 高さ f(r,a)=root(R^2-r^2)

 V/8
=$${root(R^2-r^2)*r*dr*da}[a:0~Pi/2][r:0~R]
=(Pi/2)*${root(R^2-r^2)*r*dr}[r:0~R]

R^2-r^2=h と置く -2*r*dr=dh [r:0~R]=[h:R^2~0]

 ${root(R^2-r^2)*r*dr}[r:0~R]
=-(1/2)*${root(h)*dh}[h:R^2~0]
=-(1/2)*[(2/3)*h^(3/2)][h:R^2~0]
=+(1/3)*R^3

 V/8=(Pi/2)*(1/3)*R^3

 V=(4/3)*Pi*R^3 {素晴らしい!}

球の表面積

★ 球(半径 r) 体積 V ★

極座標(r,a,b)  球を2つの平行平面で薄く切る。リンゴの皮をむくときの感じである。そのa〜a+d(a)の薄い輪切りの皮の表面積をdSとする。

 dS=(ドーナツ型の面積 半径 r*Ca 幅 r*da)=2Pi*r^2*cos(a)*da

 S/2
=2Pi*r^2*${cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=2Pi*r^2*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=2Pi*r^2    S=4Pi*r^2

{別解} 球の体積 V(r)=(4/3)*Pi*r^3 表面積 S(r)

 V(r)=${S*dr}[r:0~r] r で微分すると、

 V;r=S

 S=V;r=(4/3)*Pi*(r^3);r=(4/3)*Pi*3*r^2=4Pi*r^2 {かしこい!}

2重積分の利用


 exp(-x^2)

◆ 上記のグラフとx軸との間の -∞<x<∞ の面積を求めたい。
おおよそ △[4 & 1]=2 になるはず。
xのみの関数ではあるが、2重積分を使うと、求めることができる。 ◆

■ f(x,y)=exp[-(x^2+y^2)]=exp(-x^2)*exp(-y^2) として、

[x:0~∞] [y:0~∞] で積分すると、

 $${f(x,y)}dxdy=${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]*${exp(-y^2)}dy[y:0~∞]
=「${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]」^2

同じ事を、円座標(r,a)で積分すると、[r:0~∞] [a:0~Pi/2]

 $${f(x,y)}dxdy=$${r*exp(-r^2)*dr*da}=Pi/2*${r*exp(-r^2)}dr
=Pi/2*[-(1/2)*exp(-r^2)][r:0~∞]=Pi/4

したがって、「${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]」^2=Pi/4
 ${exp(-x^2)}dx[x:0~∞]=root[Pi]/2

 ${exp(-x^2)}dx[x:-∞~∞]=root[Pi] 』

■ ${exp(-x^2)*dx}[x:-∞~∞]=root(Pi)~1.77

※ ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1

■ exp[-(x-0.5)^2] exp[-(x+0.5)^2] その和

2重積分の利用-2-

■ 半径Rの円盤 面密度ρ(r)=(ρ0)(1+(r/R)^2) 総質量 M
ρ(0)=(ρ0) ρ(R)=2*(ρ0) 外側ほど、密度は高い

 dM=(ρ0)*(1+(r/R)^2)*r*dr*da}

 M
=$${(ρ0)*(1+(r/R)^2)*r*dr*da}
=2Pi*(ρ0)*${(1+(r/R)^2)*r*dr}[r:0~R]

 ${[(1+(r/R)^2)]*r*dr}[r:0~R]
=${(r+r^3/R^2)*dr}[r:0~R]
=[r^2/2+r^4/(4*R^2)][r:0~R]
=(3/4)*R^2

 M
=2Pi*(ρ0)*(3/4)*R^2
=(3/2)*Pi*(ρ0)*R^2
=(3/2)*(ρ0)*(円盤の面積)

  2重積分  

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