数学 積分  2017/11-2013/2 Yuji.W

☆ スカラー関数の線積分

曲線に沿った物理量の積分 lineintegral pathintegral _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 線積分-スカラー場 〓

スカラー関数 F(x,y,z) F(x,y,z)*長さ が意味のある場合を考える

■ スカラー関数 F(x,y,z) 線素 ds=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

 線積分=${F(x,y,z)*ds}

経路がx軸 ds=dx 経路がy軸 ds=dy

■ y=y(x),z=z(x) であれば ds=root[1+(y;x)^2+(z;x)^2]*dx

 線積分=${F(x)*root[1+(y;x)^2+(z;x)^2]*dx}

■ 経路 パラメータ t x=x(t),y=y(t),z=z(t) t1<t<t2

 ds=root[(x;t)^2+(y;t)^2+(z;t)^2]*dt

 線積分=${F(t)*root[(x;t)^2+(y;t)^2+(z;t)^2]*dt}[t:t1->t2]

■ 経路の長さ=${ds} ds=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

〓 金属線の質量 〓

◆ x軸上に直線金属線 0<x<1 線密度 λ(x)=1+x^2 質量 m ?

■ 例えば λ(0)=1 λ(1)=2 λ(root2/2)=1+(root2/2)^2=1+1/2=3/2

■ m
=${λ(x)*dx}[x:0~1]
=${(1+x^2)*dx}[x:0~1]
=[x+x^3/3][x:0~1]
=1+1/3
=4/3


◆ xy平面上に直線金属線 y=(4/3)*x+1 0<x<3 0<y<5

パラメータ t を使って x=3*t y=4*t+1 としたとき 線密度 λ(t)=1+t^2

金属線の長さ L ? 質量 m ?

■【 線密度の値の例 】

t=0 x=0,y=1 λ(0)=1  t=1 x=3,y=5 λ(1)=2

■【 線素 】

 ds=root[(x;t)^2+(y;t)^2]*dt=root[3^2+4^2]*dt=5*dt

■【 長さ L 】

直線だから L^2=(3-0)^2+(5-1)^2=9+16=25 L=5

{別解} L=${ds}=${5*dt}[t:0~1]=[5*t][t:0~1]=5

■【 質量 m の概算値 】

 (質量 m の概算値)~1.5*5=7.5

■【 質量 m  】

 m
=${λ*ds}
=${(1+t^2)*5*dt}[t:0~1]
=5*[t+t^3/3][t:0~1]
=20/3~6.7{そういう事だったんだね!わかってなかった!2017/11}

〓 {計算例}線積分 〓

◆ F(x,y)=a*x+b*y 原点から (1,1) までの線積分を考える。経路を変えてみる。

■【 経路@ 原点-x軸-y軸と平行-(1,1) 】

 線積分
=${a*x*dx}[x:0~1]+${(a*1+b*y)*dy}[y:0~1]
=[a*x^2/2][x:0~1]+[a*y+b*y^2/2][y:0~1]
=a/2+(a+b/2)
=3*a/2+b/2

■【 経路A 原点-y軸-x軸と平行-(1,1) 】

 線積分
=${b*y*dy}[y:0~1]+${(a*x+b)*dx}[x:0~1]
=[b*y^2/2][y:0~1]+[a*x^2/2+b*x][x:0~1]
=b/2+(a/2+b)
=a/2+3*b/2 経路 @とは、異なる値{!}

■【 経路B x=t y=t [t:0~1] 】

 F(t)=(a+b)*t

 ds=root[(x;t)^2+(y;t)^2]*dt=root2*dt

 線積分
=${F(x,y)*ds}
=${F(t)*root2*dt}[t:0~1]
=root2*(a+b)*${t*dt}[t:0~1]
=root2*(a+b)*[t^2/2][t:0~1]
=(a+b)*root2/2

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