☆お勉強しようUz☆ 数学.積分

2016/8-2013/2 Yuji.W

☆線積分☆

◎ 曲線に沿った物理量の積分

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

線積分-スカラー場

■ スカラー関数 F(x,y,z) 線要素 ds=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

 線積分=${F(x,y,z)*ds}

経路がx軸 ds=dx 経路がy軸 ds=dy

■ y=y(x),z=z(x) であれば ds=root[1+(y;x)^2+(z;x)^2]*dx

 線積分=${F*root[1+(y;x)^2+(z;x)^2]*dx}

■ 経路 パラメータ t x=x(t),y=y(t),z=z(t) t1<t<t2

 ds=root[(x;t)^2+(y;t)^2+(z;t)^2]*dt

 線積分=${F*root[(x;t)^2+(y;t)^2+(z;t)^2]*dt}[t:t1->t2]

■ 経路の長さ=${ds} ds=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

☆計算例-線積分-スカラー場

★ F(x,y)=2*x+y 原点から (1,1) までの線積分を考える。

経路1 原点-x軸-y軸と平行-(1,1)

 線積分
=${2*x*dx}[x:0~1]+${(2+y)*dy}[y:0~1]
=[x^2][x:0~1]+[2*y+(1/2)*y^2][y:0~1]
=1+2+1/2
=7/2

経路2 原点-y軸-x軸と平行-(1,1)

 線積分
=${y*dy}[y:0~1]+${(2*x+1)*dx}[x:0~1]
=[(1/2)*y^2][y:0~1]+[x^2+x][y:0~1]
=1/2+2
=5/2 経路1とは、異なる値{!}

経路3 x=t y=t [t:0~1] F=3*t s=root(x^2+y^2)=√2*t

 線積分
=${3*t*√2*dt}[t:0~1]
=[(1/2)*3*√2*t^2][t:0~1]
=3*√2/3

★ 経路 半径 R の円

 x=R*Ca y=R*Sa dx=-R*Sa*da dy=R*Ca*da

 ds=root(dx^2+dy^2)=R*da

 円周の長さ=4*${1*R*da}[a:0~Pi/2]=2Pi*R

★ f(x,y,z)=x^3+y^4 経路 原点-直線-(1,1,1)

 x=t y=t z=t 0<t<1 f=t^3+t^4

 dx=dy=dz=dt ds=√3*dt

 線積分
=√3*${(t^3+t^4)*dt}[t:0~1]
=√3*[t^4/4+t^5/5][t:0~1]
=√3*(1/4+1/5)
=√3*9/20

★ 直線y=-x+1 0<x<1 の時の長さL

x=t,y=1-t s;t=√2 L=${√2}dt[t:0->1]=√2

★ y=(2/3)x^(3/2) 0<x<1 の長さL

dy/dx=x^(1/2) ds=(1+x)^(1/2)dx

 L=${(1+x)^(1/2)}dx[x:0->1]=(2/3)[(1+x)^(3/2)][x:0->1]
=4*√2/3-2/3

★ 金属線 y=-4x/3+1 0<x<3 x=3t y=1-4t 線密度=1+t^2

s;t=root[9+16]=5

長さ=${5}[t:0->1]=5 3,4,5の直角三角形ができている

d(重さ)=線密度*ds => 重さ=${1+t^2}*5dt[t:0->1]
=5*[t+t^3/3][t:0->1]=20/3

★ y^2=x 0<x<1 x=t^2 y=t 0<t<1 F(x(t),y(t))=t

s;t=root[4*t^2+1]

Fの線積分=${t}*root[4*t^2+1]dt[t:0->1]
=(1/12)*[(4*t^2+1)^(3/2)][t:0->1]=(5*root[5]-1)/12

★ 経路x=cos(t),y=sin(t) 0<t<Pi/2 s;t=1

xの線積分=${cos(t)}dt[t:0->Pi/2]=[sin(t)][t:0->Pi/2]=1

y^2=sin(t)^2=[1-cos(2t)]/2

y^2の線積分=${[1-cos(2t)]/2}dt[t:0->Pi/2]
=[t/2-sin(2t)/4][t:0->Pi/2]=Pi/4

★ f(x,y,z)=x+y+z 原点から点(12,16,20)までの直線で、線積分する

x=3*t,y=4*t,z=5*t と置けば、直線はt、0<t<4 f(x,y,z)=12*t

 s;t=root[3^2+4^2+5^2]=5*√2

 線積分=${12t*5*√2}dt[t:0->4]=60*√2[(1/2)t^2][t:0->4]
=60*√2*8=480*√2

★ f(x,y,z)=x+y+z 原点O-A(12,16,0)-B(12,16,20)

x=3*t,y=4*t,z=0 と置けば、直線はt、f(x,y,z)=7*t

O->A 0<t<4 s;t=root[3^2+4^2]=5

 線積分=${7t*5}dt[t:0->4]=35*[(1/2)t^2][t:0->4]=280

A->B x=12,y=16 f(x,y,z)=28+z 0<z<20

 ${28+z}dz[z:0->20]=[28z+z^2/2][z:0->20]=560+200=760

O->A 線積分=280+760=1040

★ f(x,y,z)=x^2-2y*z+y

直線(1,1,0)->(1,1,1) z=s [s:0->1] f(x,y,z)=2-2s
${2-2s}ds[0->1]=[2s-s^2]:[0->1]=2-1=1

直線(0,0,0)->(1,1,1) x=y=z=s/root(3) [s:0->root(3)]
f(x,y,z)=-s^2/3+s/root(3)
 ${-s^2/3+s/root(3)}ds[0->1]
={-s^3/9+s^2/[2*rooot(3)}:[0->root(3)]
=-root(3)/3+root(3)/2=root(3)/6

  線積分  

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