数学 三角関数 2018/4-2012/1 Yuji.W
☆ tan の積分 ☆
◎ 積分 tan 1/tan ★_
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
〓 tan(a) の定積分 〓 .
◆ -Pi/2<a<Pi/2 ${tan(a)*da}[a:0~a] ? cos(a)≧0
■ cos(a)=t と置けば、-sin(a)*da=dt [a:0~a] ⇔ [t:1~cos(a)]
tan(a)*da=da*sin(a)/cos(a)=-dt/t
${tan(a)*da}[a:0~a]
=-${dt/t}[t:1~cos(a)]
=-[ln|t|][t:1~cos(a)]
=ln|1|-ln|cos(a)|
=0-ln[cos(a)]
=-ln[cos(a)]
》-Pi/2<a<Pi/2 で ${tan(a)*da}[a:0~a]=-ln[cos(a)] ★_
★ ${tan(a)*da}[a:0~Pi/4]=-ln(root2/2)~+0.35
{確かめ} tan(Pi/4)=1 三角形[底辺 Pi/4 高さ 1]の面積=Pi/8~0.39
〓 1/tan 〓 .
■ 1/tan(0)=1/0=∞ ★_
1/tan(Pi/4)=1/1=1
1/tan(Pi/2)=1/∞=0
0<a<Pi で 1/tan(a)≧0
〓 1/tan の積分 〓 .
◆ 0<a<Pi で ${da/tan(a)}[a:a~Pi/2] ? sin(a)≧0
■ sin(a)=t と置けば cos(a)*da=dt [a:a~Pi/2] ⇔ [t:sin(a)~1]
da/tan(a)=da*cos(a)/sin(a)=dt/t
${da/tan(a)}[a:a~Pi/2]
=${dt/t}[t:sin(a)~1]
=[ln|t|][t:sin(a)~1]
=ln|1|-ln|sin(a)|
=0-ln[sin(a)]
=-ln[sin(a)]
》0<a<Pi で ${da/tan(a)}[a:a~Pi/2]=-ln[sin(a)] ★_
★ ${da/tan(a)}[a:Pi/4~Pi/2]=-ln[sin(Pi/4)]=-ln(root2/2)=+0.35
〓 tan , 1/tan の積分 〓 .
■ -Pi/2<a<Pi/2 ${tan(a)*da}[a:0~a]=-ln[cos(a)]
■ 0<a<Pi ${da/tan(a)}[a:a~Pi/2]=-ln[sin(a)]
〓 tan(a) と 1/tan(a) 〓 .
■ tan(a) と 1/tan(a) は Pi/4 を軸として対称 ただし、0〜Pi/2 で。
{証明} tan[x+Pi/4]=1/tan[-x+Pi/4] を言えばよい。
tan[x+Pi/4]*tan[-x+Pi/4]
=sin[x+Pi/4]*sin[-x+Pi/4]/{cos[x+Pi/4]*cos[-x+Pi/4]}
={cos(2x)-cos[Pi/2]}/{cos[Pi/2]+cos(2x)}
=cos(2x)/cos(2x)=1
tan[x+Pi/4]=1/tan[-x+Pi/4] 』