☆お勉強しようUz☆ 数学.積分

2016/8-2012/2 Yuji.W

root(x^2+A)の積分

◎ {簡単そうだが、難しい。先人達も苦労したようだ!}

 2*${root(x^2+A)*dx}=x*root(x^2+A)+A*ln[x+root(x^2+A)]

 2*${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)

◇root(x^2+1)◇

『root(x^2+1)
I={x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)}/2

x

0

1

2

3

4

10

100

root(x^2+1)

1

1.41

2.23

3.16

4.12

10.05

100.00

I

0

1.43

2.96

5.65

9.29

51.75

5003.27

■ I=${root(x^2+1)*dx}[x:0~X] その近似値 \I

x>1 のとき 2つの台形の面積で近似して、

 \I
=(1+1.41)*1/2+(1.41+X)*(X-1)/2
=1.2+X^2/2+0.2*X-0.7
=X^2/2+0.2*X+0.5

≫ ${root(x^2+1)*dx}[x:0~X]~X^2/2+0.2*X+0.5 .

I=${root(x^2+1)*dx}[x:0~X] \I=X^2/2+0.2*X+0.5

x

0

1

2

3

4

10

100

I

0

1.43

2.96

5.65

9.29

51.75

5003.27

\I

-

1.2

2.9

5.6

9.3

52

5020

{なかなかよい近似だ!2016/8}

☆確かめ☆

■ F(x)=root(x^2+A) I=${F(x)*dx}=[x*F+A*ln(x+F)]/2 .

 2*${root(x^2+A)*dx}=x*root(x^2+A)+A*ln[x+root(x^2+A)]

{確かめ}  F;x=2*x/[2*root(x^2+A)]=x/F だから

 (x*F);x=F+x*(F;x)=F+x^2/F=(F^2+x^2)/F=(2*x^2+A)/F @

また (x+F);x=1+F;x=1+(x/F)=(x+F)/F より、

 (ln|x+F|);x=(x+F);x/(x+F)=(x+F)/[F*(x+F)]=1/F A

@Aより、

 x*F+A*(ln|x+F|);x
=(2*x^2+A)/F+A/F
=2*(x^2+A)/F
=2*F^2/F
=2*F 』{素晴らしい!2012/2}

※ 以下、導出法を書く。でも、以上のような確かめさえあれば、それで終わってもいいかなと思う。

☆導出☆

◆ F(x)=root(x^2+A) I=${F(x)*dx} ◆

■ 次のように置く x+F=t .

 F=t-x 両辺を2乗すると、

 左辺=x^2+A 右辺=t^2-2*t*x+x^2 だから、

 x^2+A=t^2-2*t*x+x^2 x=(t-A/t)/2

※ 初めから x=(t-A/t)/2 と置くと考えてもよい。
 x^2=(t^2-2*A+A^2/t^2)/4
 x^2+A=(t^2+2*A+A^2/t^2)/4=(t+A/t)^2/4

 F=(t+A/t)/2 x+F=(t-A/t)/2+(t+A/t)/2=t

とにかく、x も x+F も t だけで表す事ができている。

■ x+F=t x=(t-A/t)/2 より、

 F=t-x=t-(t-A/t)/2=(t+A/t)/2
 x*F=[(t-A/t)/2]*[(t+A/t)/2]=(t^2-A^2/t^2)/4
 x;t=(1+A/t^2)/2

 4*F*dx=(t+A/t)*(1+A/t^2)*dt=(t+2*A/t+A^2/t^3)*dt

 4*I
=${(t+2*A/t+A^2/t^3)*dt}
=t^2/2+2*A*ln|t|-(A^2/t^2)/2
=(t^2-A^2/t^2)/2+2*A*ln|t| 積分できた x に戻して、

 4*I=2*x*F+2*A*ln|x+F|

 2*I=x*F+A*ln|x+F| 』{素晴らしい!2012/2}

☆導出2☆

◆ F(x)=root(x^2+A) I=${F(x)*dx} F;x=2*x/[2*root(x^2+A)]=x/F

■ (ln|x+F|);x=1/F だったから ${(1/F)*dx}=ln|x+F|

※ 双曲線関数を利用して、次の積分を求めることもできる。
 ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln|x+root(x^2+A)|

また x*(F;x)=x*(x/F)=x^2/F=(F^2-A)/F=F-A/F を利用して、

 I
=${(x;x)*F*dx}
=x*F-${x*(F;x)dx}
=x*F-${(F-A/F)*dx}
=x*F-${F*dx}+A*${(1/F)*dx}
=x*F-I+A*ln|x+F|

 2*I=x*F+A*ln(x+F) 』{最も鮮やか!2014/4}

☆導出3☆

@ 双曲線関数を使う

◆ I=${root(x^2+1)*dx}

■ x=sinh(t) とおくと dx=cosh(t)*dt

 x^2+1=sinh(t)^2+1=cosh(t)^2 root(x^2+1)=cosh(t)

 I=${cosh(t)*cosh(t)*dt}=${cosh(t)^2*dt}

ここで cosh(t)^2=[exp(t)+exp(-t)]^2/4=[exp(2*t)+2+exp(-2*t)]/4

 I
=(1/4)*${[exp(2*t)+2+exp(-2*t)]*dt}
=(1/4)*[exp(2*t)/2+2*t-exp(-2*t)/2]
=[exp(2*t)+4*t-exp(-2*t)]/8
=sinh(2*t)/4+t/2

 I=sinh(2*t)/4+t/2

積分できたから、パラメータ t を、x に戻せばよい。

 sinh(2*t)=2*sinh(t)*cosh(t)=2*x*root(x^2+1)

 t=arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)] だから、

 2*I=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]

 2*${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)] ‖

  root(x^2+A) の積分  

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