☆ 積分 root(x^2+1) ☆

お勉強しよう 数学 Python 2022.6-2012.1 Yuji.W

〇   

【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 〔22.6〕 000 py- 0table
微分 ; 偏微分 : 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x) 

ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #
 

〓  〓 

『root(x^2+1)
I={x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)}/2

x

0

1

2

3

4

10

100

root(x^2+1)

1

1.41

2.23

3.16

4.12

10.05

100.00

I

0

1.43

2.96

5.65

9.29

51.75

5003.27

▷ ▷ I=${root(x^2+1)*dx}[x:0~X] その近似値 \I
x>1 のとき 2つの台形の面積で近似して、
 \I
=(1+1.41)*1/2+(1.41+X)*(X-1)/2
=1.2+X^2/2+0.2*X-0.7
=X^2/2+0.2*X+0.5
≫ ${root(x^2+1)*dx}[x:0~X]~X^2/2+0.2*X+0.5 ★.

I=${root(x^2+1)*dx}[x:0~X] \I=X^2/2+0.2*X+0.5

x

0

1

2

3

4

10

100

I

0

1.43

2.96

5.65

9.29

51.75

5003.27

\I

-

1.2

2.9

5.6

9.3

52

5020

▲ {なかなかよい近似だ!2016/8}

〓 積分 root(x^2+1) 〓 

▢ 正の変数 x

 2*${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]+積分定数  

▷ {確かめ} 

右辺第1項

 [x*root(x^2+1)];x
=root(x^2+1)+x^2/root(x^2+1)
=(2*x^2+1)/root(x^2+1)

右辺第2項

 [x+root(x^2+1)];x=1+x/root(x^2+1)=[x+root(x^2+1)]/root(x^2+1)

 {ln[x+root(x^2+1)]};x
={[x+root(x^2+1)]/root(x^2+1)}/[x+root(x^2+1)]
=1/root(x^2+1)

まとめて、

 {x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]};x
=(2*x^2+1)/root(x^2+1)+1/root(x^2+1)
=2*(x^2+1)/root(x^2+1)
=2*root(x^2+1)

 (右辺);x=2*root(x^2+1)

一方 (左辺);x=2*root(x^2+1)

〓 積分 root(x^2+A^2) 〓 

▢ 正の実数の定数 A 正の変数 x

 2*${root(x^2+A^2)*dx}
=x*root(x^2+A^2)+A^2*ln[x+root(x^2+A^2)]+積分定数  

▷ {確かめ} 

右辺第1項

 [x*root(x^2+A^2)];x
=root(x^2+A^2)+x^2/root(x^2+A^2)
=(2*x^2+A^2)/root(x^2+A^2)

右辺第2項

 [x+root(x^2+A^2)];x=1+x/root(x^2+A^2)=[x+root(x^2+A^2)]/root(x^2+A^2)

 {ln[x+root(x^2+A^2)]};x
={[x+root(x^2+A^2)]/root(x^2+A^2)}/[x+root(x^2+A^2)]
=1/root(x^2+A^2)

 A^2*{ln[x+root(x^2+A^2)]};x=A^2/root(x^2+A^2)

まとめて、

 {x*root(x^2+A^2)+A^2*ln[x+root(x^2+A^2)]};x
=(2*x^2+A^2)/root(x^2+A^2)+A^2/root(x^2+A^2)
=2*(x^2+A^2)/root(x^2+A^2)
=2*root(x^2+A^2)

 (右辺);x=2*root(x^2+A^2)

一方 (左辺);x=2*root(x^2+A^2)

〓 積分 root(1+A^2*x^2) 〓 

▢ 正の実数の定数 A 正の実数の変数 x 

 2*${root(1+A^2*x^2)*dx}
=x*root(1+A^2*x^2)+(1/A)*ln[A*x+root(1+A^2*x^2)]+積分定数  

▷ {確かめ} 

右辺第1項

 [x*root(1+A^2*x^2)];x
=root(1+A^2*x^2)+A^2*x^2/root(1+A^2*x^2)
=(1+2*A^2*x^2)/root(1+A^2*x^2)

右辺第2項

 [A*x+root(1+A^2*x^2)];x
=A+A^2*x/root(1+A^2*x^2)
=A*[A*x+root(1+A^2*x^2)]/root(1+A^2*x^2)

 {ln[A*x+root(1+A^2*x^2)]};x
={A*[A*x+root(1+A^2*x^2)]/root(1+A^2*x^2)}/[A*x+root(1+A^2*x^2)]
=A/root(1+A^2*x^2)

 (1/A)*ln[A*x+root(1+A^2*x^2)];x=1/root(1+A^2*x^2)

まとめて、

 {x*root(1+A^2*x^2)+(1/A)*ln[A*x+root(1+A^2*x^2)]};x
=(1+2*A^2*x^2)/root(1+A^2*x^2)+1/root(1+A^2*x^2)
=2*(1+A^2*x^2)/root(1+A^2*x^2)
=2*root(1+A^2*x^2)

 (右辺);x=2*root(1+A^2*x^2)

一方 (左辺);x=2*root(1+A^2*x^2)

〓 積分 root(x^2+1) 〓 

〇 正の変数 x

 2*${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]+積分定数

〇 正の実数の定数 A 正の変数 x 

 2*${root(x^2+A^2)*dx}
=x*root(x^2+A^2)+A^2*ln[x+root(x^2+A^2)]+積分定数 

〇 正の実数の定数 A 正の実数の変数 x 

 2*${root(1+A^2*x^2)*dx}
=x*root(1+A^2*x^2)+(1/A)*ln[A*x+root(1+A^2*x^2)]+積分定数 

〓  〓 

〓  〓 

〓  〓 

▢ root(x^2+1) の積分 〓.
▷ [root(x^2+1)];x=(1/2)*2*x/root(x^2+1)=x/root(x^2+1)
 [x*root(x^2+1)];x
=root(x^2+1)+x*[x/root(x^2+1)]
=(2*x^2+1)/root(x^2+1)
▷ [x+root(x^2+1)];x=1+x/root(x^2+1)=[x+root(x^2+1)]/root(x^2+1)
 {ln[x+root(x^2+1)]};x
={1/[x+root(x^2+1)]}*{[x+root(x^2+1)]/root(x^2+1)}
=1/root(x^2+1)
▷ {x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]};x
=(2*x^2+1)/root(x^2+1)+1/root(x^2+1)
=2*(x^2+1)/root(x^2+1)
=2*root(x^2+1)
》{x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]};x=2*root(x^2+1) ★_
▷ ${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)/2+ln[x+root(x^2+1)]/2

〓  〓 

▢ root(x^2+A^2) の積分 〓.
▷ [root(x^2+A^2)];x=x/root(x^2+A^2)
 [x*root(x^2+A^2)];x
=root(x^2+A^2)+x*[x/root(x^2+A^2)]
=(2*x^2+A^2)/root(x^2+A^2)
▷ [x+root(x^2+A^2)];x
=1+x/root(x^2+A^2)
=[x+root(x^2+A^2)]/root(x^2+A^2)
 {ln[x+root(x^2+A^2)]};x
={1/[x+root(x^2+A^2)]}*{[x+root(x^2+A^2)]/root(x^2+A^2)}
=1/root(x^2+A^2)
▷ {x*root(x^2+A^2)+A^2*ln[x+root(x^2+A^2)]};x
=(2*x^2+A^2)/root(x^2+A^2)+A^2/root(x^2+A^2)
=2*(x^2+A^2)/root(x^2+A^2)
=2*root(x^2+A^2)
》{x*root(x^2+A^2)+A^2*ln[x+root(x^2+A^2)]};x=2*root(x^2+A^2) ★_
▷ ${root(x^2+A^2)*dx}
=x*root(x^2+A^2)/2+A^2*ln[x+root(x^2+A^2)]/2

〓  〓 

▢ 導出 〓.
▢ F(x)=root(x^2+A^2) I=${F(x)*dx} ▢
▷ 次のように置く x+F=t ★.
 F=t-x 両辺を2乗すると、
 左辺=x^2+A^2 右辺=t^2-2*t*x+x^2 だから、
 x^2+A^2=t^2-2*t*x+x^2 x=(t-A/t)/2
※ 初めから x=(t-A/t)/2 と置くと考えてもよい。
 x^2=(t^2-2*A+A^2/t^2)/4
 x^2+A^2=(t^2+2*A+A^2/t^2)/4=(t+A/t)^2/4
 F=(t+A/t)/2 x+F=(t-A/t)/2+(t+A/t)/2=t
とにかく、x も x+F も t だけで表す事ができている。
▷ x+F=t x=(t-A/t)/2 より、
 F=t-x=t-(t-A/t)/2=(t+A/t)/2
 x*F=[(t-A/t)/2]*[(t+A/t)/2]=(t^2-A^2/t^2)/4
 x;t=(1+A/t^2)/2
 4*F*dx=(t+A/t)*(1+A/t^2)*dt=(t+2*A/t+A^2/t^3)*dt
 4*I
=${(t+2*A/t+A^2/t^3)*dt}
=t^2/2+2*A*ln|t|-(A^2/t^2)/2
=(t^2-A^2/t^2)/2+2*A*ln|t| 積分できた x に戻して、
 4*I=2*x*F+2*A*ln|x+F|
 2*I=x*F+A*ln|x+F| 』{素晴らしい!2012/2}

〓  〓 

▢ 導出2 〓.
▢ F(x)=root(x^2+A^2) I=${F(x)*dx} F;x=2*x/[2*root(x^2+A^2)]=x/F
▷ (ln|x+F|);x=1/F だったから ${(1/F)*dx}=ln|x+F|
※ 双曲線関数を利用して、次の積分を求めることもできる。
 ${[1/root(x^2+A^2)]*dx}=ln|x+root(x^2+A^2)|
また x*(F;x)=x*(x/F)=x^2/F=(F^2-A)/F=F-A/F を利用して、
 I
=${(x;x)*F*dx}
=x*F-${x*(F;x)dx}
=x*F-${(F-A/F)*dx}
=x*F-${F*dx}+A*${(1/F)*dx}
=x*F-I+A*ln|x+F|
 2*I=x*F+A*ln(x+F) 』{最も鮮やか!2014/4}

〓  〓 

▢ 導出3 〓.
@ 双曲線関数を使う
▢ I=${root(x^2+1)*dx}
▷ x=sinh(t) とおくと dx=cosh(t)*dt
 x^2+1=sinh(t)^2+1=cosh(t)^2 root(x^2+1)=cosh(t)
 I=${cosh(t)*cosh(t)*dt}=${cosh(t)^2*dt}
ここで cosh(t)^2=[exp(t)+exp(-t)]^2/4=[exp(2*t)+2+exp(-2*t)]/4
 I
=(1/4)*${[exp(2*t)+2+exp(-2*t)]*dt}
=(1/4)*[exp(2*t)/2+2*t-exp(-2*t)/2]
=[exp(2*t)+4*t-exp(-2*t)]/8
=sinh(2*t)/4+t/2
 I=sinh(2*t)/4+t/2
積分できたから、パラメータ t を、x に戻せばよい。
 sinh(2*t)=2*sinh(t)*cosh(t)=2*x*root(x^2+1)
 t=arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)] だから、
 2*I=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)]
 2*${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)+ln[x+root(x^2+1)] ∥

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