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◎ マクローリン展開の利用 |
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◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数- ★. |
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◆ x の関数 f(x) x=0 を含む領域で、何回でも微分可能 f(x)=f(0)+A*x+B*x^2+C*x^3+D*x^4+… と表す事を考える A,B,C,D,… 定数 ◇ 1階微分 f'(x) 2階微分 f''(x) 3階微分 f'''(x) … 微分したものに x=a を代入した値 f'(a) f''(a) f'''(a) … ■ f(x)=f(0)+f'(0)*x+[f''(0)/2]*x^2+[f'''(0)/3!]*x^3+[f''''(0)/4!]*x^4+… |
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◎ マクローリン展開を利用して、無限級数の和を求める ■ ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5-x^6/6+… x=1 として 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…=ln(2)~0.693147 ★. ■ exp(x)=1+x+(1/2)*x^2+(1/3!)*x^3+… x=1 として 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+…=exp(1)=e~2.7 ネイピア数 |
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■ y=arctan(x) x=tan(y) x;y=[sin(y)/cos(y)];y=1/cos(y)^2=1+tan(y)^2=1+x^2 arctan(x);x=y;x=1/(x;y)=1/(1+x^2) |
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■ マクローリン展開より 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-… 積分すると、 左辺=${dx/(1+x^2)}=arctan(x) 右辺=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-… x=1 として、 左辺=arctan(1)=Pi/4 右辺=1-1/3+1/5-1/7+1/9-… ≫ 1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=Pi/4~0.785 ★. {確かめ} 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13~0.744+0.077=0.821 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15~0.821-0.067=0.754 |
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★ 無限級数の和 ★ |