☆お勉強しようUz☆ 数学.積分

2016/8-2012/11 Yuji.W

root(A^2-x^2)がある式の積分

◎ root(A^2-x^2)の積分 分母にroot(A^2-x^2)がある式の積分

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇root(A^2-x^2) の積分◇

◎ I=${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2] を求めたい。円の一部の面積を求めればよい。扇形と三角形の面積の公式が使えれば求められる。

◆ 円 x^2+y^2=R^2 半径 R>0 0<x<R 0<y<R の範囲内の円を考える

直線 x=x1 , x=x2 で円を切る ∠YOP1=a1 ∠YOP2=a2 R*sin(a1)=x1 R*sin(a2)=x2

 I
=${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=[上図で、x1,x2,P2,P1を結ぶ台形のような図形の面積]

■ @ 中心角 Pi/2 の扇形[原点,R,Y]=Pi*R^2/4

A 扇形[原点,P1,Y]=(Pi*R^2)*(a1/2Pi)=(R^2/4)*(2*a1)

B 直角三角形[原点,x1,P1]
=R*cos(a1)*x1/2
=R^2*cos(a1)*sin(a1)/2
=(R^2/4)*sin(2*a1)

C 扇形[原点,R,P2]=(Pi*R^2)*[Pi/2-a2)/2Pi]=(R^2/4)*(Pi-2*a2)

D 直角三角形[原点,x2,P2]
=R*cos(a2)*x2/2
=R^2*cos(a2)*sin(a2)/2
=(R^2/4)*sin(2*a2)

 A+B+C-D
=(R^2/4)*[2*a1+sin(2*a1)+(Pi-2*a2)-sin(2*a2)]
=(R^2/4)*{Pi-2*(a2-a1)-[sin(2*a2)-sin(2*a1)]}

 I
=@-(A+B+C-D)
=Pi*R^2/4-(R^2/4)*{Pi-2*(a2-a1)-[sin(2*a2)-sin(2*a1)]}
=(R^2/4)*{[2*a2+sin(2*a2)]-[2*a1+sin(2*a1)]}

≫ ${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=(R^2/4)*{[2*a2+sin(2*a2)]-[2*a1+sin(2*a1)]} 

〔a1=arcsin(x1/R) , a2=arcsin(x2/R)〕

■ I=${root(R^2-x^2)*dx} a=arcsin(x/R) とおいて、

 I=${root(R^2-x^2)*dx}=(R^2/4)*[2*a+sin(2*a)] 

● 正の数 R -R<x<R a=arcsin(x/R) と置いて、

 ${root(R^2-x^2)*dx}=(R^2/4)*[2*a+sin(2*a)]

★ I=[半径3、中心角90°の扇形の面積]=${root(9-x^2)*dx}[x:0~3]

R=3 x=0 のとき arcsin(0)=0

 x=3 のとき arcsin(3/3)=Pi/2

 I=(9/4)*Pi

★ I=${root(4-x^2)*dx}[x:1~root3]

R=2 x=1 のとき arcsin(1/2)=Pi/6  x=root3 のとき arcsin(root3/2)=Pi/3

 I
=(2^2/4)*{[2Pi/3+sin(2*Pi/3)]-[Pi/3+sin(Pi/3)]
=[2Pi/3+root3/2]-[Pi/3+root3/2]
=Pi/3

◇root(A^2-x^2) の積分◇

◎ 計算で求める{難しくない!2015/8}

● cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2 sin(2*a)=2*cos(a)*sin(a)

◆ I=${root(R^2-x^2)*dx}〔R:正の定数 -R<x<R〕

x=R*sin(a) と置く -Pi/2<a<Pi/2 a は単調増加関数 cos(a)>0

■  dx=R*cos(a)*da

 root(R^2-x^2)=R*root[1-sin(a)^2]=R*root[cos(a)^2]=R*cos(a)

 I
=${[R*cos(a)]*[R*cos(a)*da]}
=R^2*${cos(a)^2*da}
=(R^2/2)*${[1+cos(2*a)]*da}
=R^2*[a/2+sin(2*a)/4]
=(R^2/4)*[2*a+sin(2*a)] 

◇1/root(1-x^2) の積分◇

◆ -1<x<1 ${[1/root(1-x^2)]*dx} ?

→x

0

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

0.9

1

1/root(1-x^2)

1

1.02

1.09

1.15

1.25

1.67

2.29

■ ${[1/root(1-x^2)]*dx}=arcsin(x)

{確かめ} arcsin(x)=y〔-Pi/2<y<Pi/2〕と置く

 sin(y)=x x;y=cos(y)=root[1-sin(y)^2]=root(1-x^2)

 y;x=1/x;y=1/root(1-x^2)

 arcsin(x);x=1/root(1-x^2)

■ x=sin(a) -Pi/2<a<Pi/2 x と a は、1対1に対応 0<cos(a)

 dx=cos(a)*da root(1-x^2)=root[1-sin(a)^2]=root[cos(a)^2]=cos(a)

 ${[1/root(1-x^2)]*dx}=${[1/cos(a)]*cos(a)*da}=${1*da}=a

x=sin(a) と置いて ${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x) 

→x

0

0.2

0.4

0.5

0.707

0.866

1

arcsin(x)

0

0.20

0.41

0.52

0.79

1.05

1.57

arcsin(x)

0

*

*

Pi/6

Pi/4

Pi/3

Pi/2

▲ |x|<<1 で arcsin(x)=x

★ I=${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~0.2]

x=sin(a) a=arcsin(x) [x:0~0.2]=[a:0~0.2]

 I=[a][a:0~0.2]=0.2

★ I=${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~1/2]  x=sin(a) [x:0~1/2]=[a:0~Pi/6]

 I=[a][a:0~Pi/6]=Pi/6-0=Pi/6


◆ 正の数 A -A<x<A ${[1/root(A^2-x^2)]*dx} ?

■ x=A*sin(a) -Pi/2<a<Pi/2 x と a は、1対1に対応 0<cos(a)

 dx=A*cos(a)*da root(A^2-x^2)=A*cos(a)

 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=${(1/[A*cos(a)])*A*cos(a)*da}=${1*da}=a

x=A*sin(a) と置いて ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A) 

● 正の数 A -A<x<A a=arcsin(x/A) と置いて ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a

◇1/[x^2*root(A^2-x^2)] の積分◇

■ 1/x=u x=1/u dx=-(1/u^2)*du=-x^2*du

◇分母に root(x^2+A^2) の積分◇

★ (x^2+A^2)^(-3/2)}dx x=a*tan(a) と置くと、

${(x^2+A^2)^(-3/2)}dx=(1/A^3)*${cos(a)^3}*{A/cos(a)^2}da
=(1/A^2)*${cos(a)}da=(1/A^2)*sin(t)

{さらに}定積分 ${(x^2+A^2)^(-3/2)}dx[x:-X->X]
=2X/{A^2*root[X^2+A^2]}

{使用例}線分(-X〜X)から逆2乗の力を受け、その線分の垂直二等分線上(線分からの距離A)での合力


★ 1/(x^2+A^2)}dx x=A*tan(a) と置くと、

${1/(x^2+A^2)}dx=(1/A^2)*${cos(a)^2}*{A/cos(a)^2}da
=(1/A)*${1}da=(1/A)*t 三角関数がなくなる{!}


★ (x^2+A^2)^(-2)}dx x=A*tan(a) と置くと、

${(x^2+A^2)^(-2)}dx=(1/A^4)*${cos(a)^4}*{A/cos(a)^2}da
=(1/A^3)*${cos(a)^2}da=(1/A^3)*(1/2)${1+cos(2*a)}da
=1/(2*A^3)*[t+(1/2)*sin(2*a)]

「分母に x^2+A^2 がある関数の積分 tan を使う」

■ x=A*tan(a) と置く {注}-∞<x<∞ の値に対応できる{!}

x^2+A^2=A^2*[1+tan(a)^2]=A^2/cos(a)^2

dx=A*{d[tan(a)]/da}da={A/cos(a)^2}da

  root(A^2-x^2)がある式の積分  

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