〓　円周の長さ　〓

◎ 円周の長さ=2*Pi*半径　ですけどね。積分を使う練習{!}

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　x^2+y^2=1

y軸と作る角 a を使って　x=sin(a)　y=cos(a)

円周の長さ L

■ x;a=cos(a)　y;a=-cos(a)　(x;a)^2+(y;a)^2=cos(a)^2+sin(a)^2=1

　root[(x;a)^2+(y;a)^2]=1

　L/4
=${root[(x;a)^2+(y;a)^2]*da}[a:0~Pi/2]
=${1*da}[a:0~Pi/2]
=[a][a:0~Pi/2]
=Pi/2

　L=4*(Pi/2)=2*Pi ★_半径1の円の周の長さ

{無事できた!2017/11}

〓　円の面積　〓

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　x^2+y^2=1

y軸と作る角 a を使って　x=sin(a)　y=cos(a)

円の面積 S

■ dx=cos(a)*da

　S/4
=${y*dx}[x:0~1]
=${y*cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=${cos(a)^2*da}[a:0~Pi/2]

ここで　cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2　だから、

　S/4
=(1/2)*${[1+cos(2*a)]*da}[a:0~Pi/2]
=(1/2)*[a+sin(2*a)/2][a:0~Pi/2]
=(1/2)*[Pi/2+sin(Pi)/2]
=Pi/4

》 S=4*(Pi/4)=Pi ★_半径1の円の面積

{簡単な例を考えないと、先に繋がらない!2017/11}

〓　スライスした円の面積　〓

◎ 円を縦にスライスする

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　x^2+y^2=1

y軸と作る角 a を使って　x=sin(a)　y=cos(a)

次の４つの曲線や直線に囲まれた図形の面積 S

�@ 半径1の円　�A x軸　�B y軸　�C 直線 x=X　〔 X:1より小さい正の定数 〕

　X=sin(A)　arcsin(X)=A

■ dx=cos(a)*da

　S
=${y*dx}[x:0~X]
=${cos(a)*cos(a)*da}[a:0~A]
=${cos(a)^2*da}[a:0~A]

ここで　cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2　だから、

　S
=(1/2)*${[1+cos(2*a)]*da}[a:0~A]
=(1/2)*[a+sin(2*a)/2][a:0~A]
=(1/2)*[A+sin(2*A)/2]
=A/2+sin(2*A)/4
=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4

》 S=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4 ★_半径1の円を縦にスライスした図形の面積

★ X=1/2　のとき　arcsin(1/2)=Pi/6

　S=Pi/12+sin(Pi/3)/4=Pi/12+root3/8~0.26+0.22=0.48

扇形[半径 1　中心角 Pi/12]の面積と、三角形[底辺 1/2　高さ root3/2]の面積の和を求めているのと同じ

　(残りの 1/2<x<1 の図形の面積)
=Pi/4-(Pi/12+root3/8)
=Pi/6-root3/8
~0.52-0.22
~0.30

〓　円を使って求める　〓

◎ I=${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]　を求めたい。円の一部の面積を求めればよい。扇形と三角形の面積の公式が使えれば求められる。

◆ 円 x^2+y^2=R^2　半径 R>0　0<x<R　0<y<R　の範囲内の円を考える

直線 x=x1 , x=x2 で円を切る　∠YOP1=a1　∠YOP2=a2　R*sin(a1)=x1　R*sin(a2)=x2

　I
=${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=[上図で、x1,x2,P2,P1を結ぶ台形のような図形の面積]

■ �@ 中心角 Pi/2 の扇形[原点,R,Y]=Pi*R^2/4

�A 扇形[原点,P1,Y]=(Pi*R^2)*(a1/2Pi)=(R^2/4)*(2*a1)

�B 直角三角形[原点,x1,P1]
=R*cos(a1)*x1/2
=R^2*cos(a1)*sin(a1)/2
=(R^2/4)*sin(2*a1)

�C 扇形[原点,R,P2]=(Pi*R^2)*[Pi/2-a2)/2Pi]=(R^2/4)*(Pi-2*a2)

�D 直角三角形[原点,x2,P2]
=R*cos(a2)*x2/2
=R^2*cos(a2)*sin(a2)/2
=(R^2/4)*sin(2*a2)

　�A+�B+�C-�D
=(R^2/4)*[2*a1+sin(2*a1)+(Pi-2*a2)-sin(2*a2)]
=(R^2/4)*{Pi-2*(a2-a1)-[sin(2*a2)-sin(2*a1)]}

　I
=�@-(�A+�B+�C-�D)
=Pi*R^2/4-(R^2/4)*{Pi-2*(a2-a1)-[sin(2*a2)-sin(2*a1)]}
=(R^2/4)*{[2*a2+sin(2*a2)]-[2*a1+sin(2*a1)]}

≫　arcsin(x1/R)=a1　arcsin(x2/R)=a2

　${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=(R^2/4)*[2*(a2-a1)+sin(2*a2)-sin(2*a1)] ★

〓　(1/4)*円の弧の質量の中心　〓

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　第1象限にある弧を考える

y軸と作る角 a を使って　x=sin(a)　y=cos(a)

弧の長さ L=Pi/2　弧の質量の中心のy座標 GLy

■ root[1+(y;x)^2]*dx=root[(x;a)^2+(y;a)^2]*da=1*da

　GLy
=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~1])/L
=(${cos(a)*1*da}[a:0~Pi/2])/(Pi/2)
=([sin(a)][a:0~Pi/2])/(Pi/2)
=1/(Pi/2)
=2/Pi
~0.64

　GLy=2/Pi/2~0.64 ★_

対称より、扇形[半径1　中心角90度]の弧の質量の中心の座標 (Pi/2 , Pi/2)

〓　弧の質量の中心　〓

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　弧[0<x<X<1]

y軸と作る角 a を使って　x=sin(a)　y=cos(a)　X=sin(A)

弧の長さ L=A　弧の質量の中心のy座標 GLy

■ root[1+(y;x)^2]*dx=root[(x;a)^2+(y;a)^2]*da=1*da

　GLy
=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~X])/L
=(${cos(a)*1*da}[a:0~A])/A
=([sin(a)][a:0~A])/A
=sin(A)/A
=X/arcsin(X)

　GLy=X/arcsin(X) ★_

★ X=1/2　arcsin(1/2)=Pi/6

　GLy=(1/2)/(Pi/6)=3/Pi~0.96

〓　(1/4)*円の質量の中心　〓

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　y=root(1-x^2)　第1象限にある(1/4)*円を考える

面積 A=Pi/4　(1/4)*円の質量の中心のy座標 GAy

■ GAy
=(1/2)*(${(y^2*dx}[x:0~1])/A
=(1/2)*(${(1-x^2)*dx}[x:0~1])/(Pi/4)
=(1/2)*([x-x^3/3][x:0~1])/(Pi/4)
=(1/2)*(1-1/3)/(Pi/4)
=(4/3)/Pi

》 GAy=(4/3)/Pi~0.42 ★_

対称性より、(1/4)*円[半径1]の質量の中心の座標 (0.42 , 0.42)

〓　縦にスライスした円の質量の中心　〓

◎ 円を縦にスライスする

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　y=root(1-x^2)

次の４つの曲線や直線に囲まれた図形を考える

�@ 半径1の円　�A x軸　�B y軸　�C 直線 x=1/2

面積 A=Pi/12+root3/8　面積Aの質量の中心のy座標 GAy

■ GAy
=(1/2)*(${(y^2*dx}[x:0~1/2])/A
=(1/2)*(${(1-x^2)*dx}[x:0~1/2])/(Pi/12+root3/8)
=(1/2)*([x-x^3/3][x:0~1/2])/(Pi/12+root3/8)
=(1/2)*(1/2-1/24)/(Pi/12+root3/8)
=(11/48)/(Pi/12+root3/8)

》 GAy=(11/48)/(Pi/12+root3/8)~(11/48)/0.48~0.48 ★_

〓　縦にスライスした円の質量の中心-2-　〓

◎ 円を縦にスライスする

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　y=root(1-x^2)

次の４つの曲線や直線に囲まれた図形を考える

�@ 半径1の円　�A x軸　�B y軸　�C 直線 x=X　〔 X:1より小さい正の定数 〕

面積 A=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4　面積Aの質量の中心のy座標 GAy

■ GAy=(1/2)*(${(y^2*dx}[x:0~X])/A

ここで　${(y^2*dx}[x:0~X]
=${(1-x^2)*dx}[x:0~X]
=[x-x^3/3][x:0~X]
=X-X^3/3

》 A=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4　GAy=(1/2)*(X-X^3/3)/A ★_

★ X=1　のとき　A=Pi/4　GAy=(1/2)*(1-1/3)/(Pi/4)=(4/3)/Pi~0.42