数学 積分  2017/11-2012/11 Yuji.W

☆ 円に関する量の積分

root(A^2-x^2)の積分 分母にroot(A^2-x^2)がある式の積分 円に関する量の積分 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 円の面積 ${root(1-x^2)*dx} 〓

◎ 円に関する積分である。すべての円は相似であるから、半径 1 の円について考えればよい。

● cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2 sin(2*a)=2*cos(a)*sin(a)

◆ I=${root(1-x^2)*dx}

■ x=sin(a) arcsin(x)=a -Pi/2≦a≦Pi/2 0≦cos(a) と置く

 dx=cos(a)*da

 root(1-x^2)=root[1-sin(a)^2]=cos(a)

 I
=${cos(a)*[cos(a)*da]}
=${cos(a)^2*da}
=(1/2)*${[1+cos(2*a)]*da}
=(1/2)*[a+sin(2*a)/2]
=a/2+sin(2*a)/4
=arcsin(x)/2+sin[2*arcsin(x)]/4
={2*arcsin(x)+sin[2*arcsin(x)]}/4

》 ${root(1-x^2)*dx}={2*arcsin(x)+sin[2*arcsin(x)]}/4 _円の面積の一部

また a=arcsin(x/R) と置いて

 ${root(R^2-x^2)*dx}={2*arcsin(x/R)+sin[2*arcsin(x/R)]]}*R^2/4 _

I=${root(1-x^2)*dx}[x:0~1/2]

arcsin(0)=0 arcsin(1/2)=Pi/6

 ${root(1-x^2)*dx}[x:0~1/2]
=[Pi/12+sin(Pi/3)/4]-0
=Pi/12+root3/8
~0.26+0.22
=0.48

扇形[半径 1 中心角 Pi/12]の面積と、三角形[底辺 1/2 高さ root3/2]の面積の和を求めているのと同じ

〓 円を使って求める 〓

◎ I=${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2] を求めたい。円の一部の面積を求めればよい。扇形と三角形の面積の公式が使えれば求められる。

◆ 円 x^2+y^2=R^2 半径 R>0 0<x<R 0<y<R の範囲内の円を考える

直線 x=x1 , x=x2 で円を切る ∠YOP1=a1 ∠YOP2=a2 R*sin(a1)=x1 R*sin(a2)=x2

 I
=${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=[上図で、x1,x2,P2,P1を結ぶ台形のような図形の面積]

■ @ 中心角 Pi/2 の扇形[原点,R,Y]=Pi*R^2/4

A 扇形[原点,P1,Y]=(Pi*R^2)*(a1/2Pi)=(R^2/4)*(2*a1)

B 直角三角形[原点,x1,P1]
=R*cos(a1)*x1/2
=R^2*cos(a1)*sin(a1)/2
=(R^2/4)*sin(2*a1)

C 扇形[原点,R,P2]=(Pi*R^2)*[Pi/2-a2)/2Pi]=(R^2/4)*(Pi-2*a2)

D 直角三角形[原点,x2,P2]
=R*cos(a2)*x2/2
=R^2*cos(a2)*sin(a2)/2
=(R^2/4)*sin(2*a2)

 A+B+C-D
=(R^2/4)*[2*a1+sin(2*a1)+(Pi-2*a2)-sin(2*a2)]
=(R^2/4)*{Pi-2*(a2-a1)-[sin(2*a2)-sin(2*a1)]}

 I
=@-(A+B+C-D)
=Pi*R^2/4-(R^2/4)*{Pi-2*(a2-a1)-[sin(2*a2)-sin(2*a1)]}
=(R^2/4)*{[2*a2+sin(2*a2)]-[2*a1+sin(2*a1)]}

≫ arcsin(x1/R)=a1 arcsin(x2/R)=a2

 ${root(R^2-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=(R^2/4)*[2*(a2-a1)+sin(2*a2)-sin(2*a1)] 

〓 {計算例} root(A^2-x^2) の定積分 〓

◆ I=${root(9-x^2)*dx}[x:0~3]

■ arcsin(0/3)=0 arcsin(3/3)=Pi/2

 ${root(9-x^2)*dx}[x:x1~x2]
=(9/4)*[2*(Pi/2-0)+sin(2*Pi/2)-sin(0)]
=(9/4)*Pi _

{別解} 半径 3 の円の面積の 1/4 を求めればよいから、

 I=(1/4)*9Pi=(9/4)*Pi

◆ I=${root(4-x^2)*dx}[x:1~root3]

■ arcsin(1/2)=Pi/6 arcsin(root3/2)=Pi/3

 ${root(4-x^2)*dx}[x:1~root3]
=(4/4)*[2*(Pi/3-Pi/6)+sin(2*Pi/3)-sin(2*Pi/6)]
=Pi/3+root3-root3
=Pi/3 _

{別解} 半径 2 の円の面積の 1/12 を求めればよいから、

 I=4*Pi/12=Pi/3

=(2^2/4)*{[2Pi/3+sin(2*Pi/3)]-[Pi/3+sin(Pi/3)]
=[2Pi/3+root3/2]-[Pi/3+root3/2]
=Pi/3

〓 ${dx/root(1-x^2)} 〓

◆ -1<x<1 I=${[1/root(1-x^2)]*dx}

→x

0

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

0.9

1

1/root(1-x^2)

1

1.02

1.09

1.15

1.25

1.67

2.29

→x

0

0.2

0.4

0.5

0.707

0.866

1

arcsin(x)

0

0.20

0.41

0.52

0.79

1.05

1.57

arcsin(x)

0

*

*

Pi/6

Pi/4

Pi/3

Pi/2

■ x=sin(a) a=arcsin(x) -Pi/2<a<Pi/2 x と a は、1対1に対応 0<cos(a) と置く dx=cos(a)*da

 root(1-x^2)=root[1-sin(a)^2]=root[cos(a)^2]=cos(a)

 I=${[cos(a)*da/cos(a)}=${1*da}=a=arcsin(x)

》 ${[1/root(1-x^2)]*dx}=arcsin(x) 

また A>0 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=arcsin(x/A) 

★ I=${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~1/2]

 I=arcsin(1/2)-arcsin(0)=Pi/6-0=Pi/6

〓 弧の長さ ${root[1+(y;x)^2]*dx} 〓

◎ 円に関する積分である。すべての円は相似であるから、半径 1 の円について考えればよい。

● cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2 sin(2*a)=2*cos(a)*sin(a)

y=root(1-x^2) y;x=-x/root(1-x^2)

 1+(y;x)^2=1+x^2/(1-x^2)=1/(1-x^2)

 root[1+(y;x)^2]=1/root(1-x^2)

y=root(1-x^2) I=${root[1+(y;x)^2]*dx}

■ a=arcsin(x) と置く dx=cos(a)*da

 I=${dx/root(1-x^2)}=a=arcsin(x)

》 y=root(1-x^2) ${root[1+(y;x)^2]*dx}=arcsin(x) _弧の長さ

〓 弧の質量の中心 ${y*root[1+(y;x)^2]*dx} 〓

◎ 円に関する積分である。すべての円は相似であるから、半径 1 の円について考えればよい。

曲線の質量の中心 線密度 1 として求める

◆ 円 y=root(1-x^2)の円周上の弧[0≦x<X≦1 y≧0]

弧の長さ L 弧の質量の中心のy成分 Gy

a=arcsin(x) sin(a)=x A=arcsin(X) L=1*(A-0)=A

■ dx=cos(a)*da root(1-x^2)=cos(a)

 root[1+(y;x)^2]=1/root(1-x^2)=1/cos(a)

 Gy
=${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~X]/L
=${cos(a)*[cos(a)*da]/cos(a)}[a:0~A]/A
=${cos(a)*da}[a:0~A]/A
=[sin(a)][a:0~A]/A
=sin(A)/A
=X/arcsin(X)

》 Gy=X/arcsin(X) _

★ 0<x<1/2 Gy=(1/2)/(Pi/6)=3/Pi~0.96

★ 0<x<1 Gy=1/(Pi/2)=2/Pi~0.64

〓 面積の質量の中心 ${y*root[1+(y;x)^2]*dx} 〓

◎ 円に関する積分である。すべての円は相似であるから、半径 1 の円について考えればよい。

面積の質量の中心 面密度 1 として求める

◆ 次の4つの曲線または直線に囲まれた面積の質量の中心のy成分 Gy

@ 円 y=root(1-x^2) A x軸 B y軸 C 直線 x=X 0<X≦1

a=arcsin(x) sin(a)=x A=arcsin(X)

■ dx=cos(a)*da root(1-x^2)=cos(a)

 Gy=${(y/2)*dx}[x:0~X]/X=(1/2)*${root(1-x^2)*dx}[x:0~X]/X

ここで ${root(1-x^2)*dx}[x:0~X]
={arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4}-{arcsin(0)/2+sin[2*arcsin(0)]/4}
=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4

 Gy={2*arcsin(X)+sin[2*arcsin(X)]}/(8*X) _

★ 0<x<1/2

 arcsin(1/2)=Pi/6

 Gy
={2*(Pi/6)+sin[2*(Pi/6)]}/[8*(1/2)]
=Pi/12+root3/8
~0.26+0.22
=0.48

★ 0<x<1

 arcsin(1)=Pi/2

 Gy={2*(Pi/2)+sin[2*(Pi/2)]}/(8*1)=Pi/8~0.39

〓 円に関する量の積分 〓

■ 面積=${root(1-x^2)*dx}={2*arcsin(x)+sin[2*arcsin(x)]}/4

 ${root(R^2-x^2)*dx}={2*arcsin(x/R)+sin[2*arcsin(x/R)]}*R^2/4

■ ${[1/root(1-x^2)]*dx}=arcsin(x)

A>0 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=arcsin(x/A)

■ y=root(1-x^2) 弧の長さ=${root[1+(y;x)^2]*dx}=arcsin(x)

■ 円 y=root(1-x^2)の円周上の弧[0≦x<X≦1 y≧0]質量の中心のy成分 Gy

 弧の質量の中心 Gy=X/arcsin(X)

■ 次の4つの曲線または直線に囲まれた面積の質量の中心のy成分 Gy

@ 円 y=root(1-x^2) A x軸 B y軸 C 直線 x=X 0<X≦1

 Gy={2*arcsin(X)+sin[2*arcsin(X)]}/(8*X)

〓 1/[x^2*root(A^2-x^2)] の積分 〓

■ 1/x=u x=1/u dx=-(1/u^2)*du=-x^2*du

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